3 giải pháp và tổ chức, thực hiện

Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm

nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4



Bước 3: Tính độ dài đoạn OI :

Do ∆SAC vuông cân tại A ( SA = AC = 2a ) nên ∆OIC vuông cân tại I .

Vậy OI =



OC a 2

a 2

=

hay d ( O, SC ) =

.

2

2

2



b. Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SB .

Bước 1: Xác định mp (α ) đi qua O và vuông góc với SB :

- Trong mp ( ABCD ) kẻ OJ ⊥ AB . Vì SA ⊥ OJ nên OJ ⊥ ( SAB ) hay OJ ⊥ SB

- Trong mp (SAB) kẻ JH ⊥ SB . Khi đó ta có SB ⊥ ( OJH ) hay mp (OJH) là

mp (α ) cần xác định.

Bước 2: Xác định giao điểm của mp (α ) và cạnh SB : dễ thấy H = ( OJH ) ∩ SB

nên d ( O, SB ) = OH .

Bước 3: Tính độ dài đoạn OH :

Trong mp ( ABCD ) kẻ CK ⊥ AB . Ta có:

3

.2a 3a 2

1

1 2a 3 a 3

; JH = BJ = 4

OJ = CK = .

=

=

2

2 2

2

4

2

2



3a 2 9a 2 15a 2

Xét ∆OJH vuông tại J có OH = OJ + JH =

+

=

.

4

8

8

2



Vậy d ( O, SB ) = OH =



2



2



a 30

.

4



Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a.

Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a . Gọi I là trung điểm của

SC và M là trung điểm đoạn AB. Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM.

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4



6



Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm

nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4



Bài 2. Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau góc 600, nhận AB = a

làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy điểm C sao cho BC = a . Tính khoảng

cách từ C đến đường thẳng Ax .

2.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Quy trình: Quy trình tính khoảng cách từ một điểm A đến mp (α)

Bước 1: Xác định mp (β) đi qua A và vuông góc với mp (α ) .

Bước 2: Xác định đường thẳng AH kẻ từ A và vuông góc với giao tuyến ∆

của hai mặt phẳng (α) và (β) , H ∈ ∆ . Suy ra d(A, (a)) = AH .

Bước 3: Tính độ dài đoạn AH (dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác…).

Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a . Tính khoảng

cách từ A đến mặt phẳng ( A’BD ) .

Giải:

Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua A và vuông góc

với mp ( A’BD ) : là mp ( OAA’) .

- Gọi O là giao của AC và BD .

- Vì AA’ ⊥ ( ABCD ) nên AA’ ⊥ BD .

Mặt khác, AO ⊥ BD suy ra DB ⊥ ( OAA’) hay



( A’BD ) ⊥ ( OAA’) .

Bước 2: Xác định đường thẳng kẻ từ A và vuông góc với giao tuyến OA’ của

hai mặt phẳng ( A’BD ) và ( OAA’) là đường thẳng AH .

- Trong mp ( OAA’) kẻ AH ⊥ OA’ .

- Khi đó AH ⊥ ( A’BD ) hay d ( A, ( A’BD ) ) = AH .

Bước 3: Tính độ dài đoạn AH .

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4



7



Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm

nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4



- Xét ∆OAA’ vuông tại A có:

1

1

1

2 1

3

=

+

= 2+ 2 = 2

2

2

2

AH

AO

AA '

a

a

a

Vậy d ( A, ( A’BD ) ) =



a 3

3



Ví dụ 2. Cho tứ diện D.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC = 2a

. Mặt bên (DAC) là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy (ABC) . Gọi O là

trung điểm cạnh AC .

a. Tính khoảng cách từ điểm D đến mp (ABC) .

b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (DBC) .

Giải:

a. Tính khoảng cách từ điểm D đến mp (ABC) .

Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua D và vuông góc

với mp (ABC) là mp (DAC) .

Bước 2: Xác định đường thẳng DO kẻ từ D và vuông góc với giao tuyến AC

của hai mặt phẳng ( ABC ) và ( DAC ) , O ∈ AC . Suy ra d ( D, ( ABC ) ) = DO .

Bước 3: Tính độ dài đoạn DO : Vì ∆DAC đều cạnh 2a, đường cao DO nên



DO = a 3 . Vậy d ( D, ( ABC ) ) = a 3 .

b. Tính khoảng cách từ O đến mp ( DBC )

Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua O và vuông góc với mp ( DBC ) : là mp



( DOI )



với I là trung điểm cạnh BC .



Bước 2: Xác định đường thẳng OH kẻ từ O và vuông góc với giao tuyến DI

của hai mặt phẳng ( DBC ) và ( ODI ) , H ∈ DI . Suy ra d ( O, ( DBC ) ) = OH .

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4



8



Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm

nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4



Bước 3: Tính độ dài đoạn OH : Xét ∆ODI vuông tại O ta có:

1

1

7

1

1

1 = 2 + 2= 2

=

+

a

3a

3a .

OH 2 OD 2 OI 2

2

Vậy d ( O, ( DBC ) ) =



a 21

.

7



Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau cắt nhau theo giao

tuyến ∆ . Lấy A, B thuộc ∆ , AB = a . Lấy C, D lần lượt thuộc mặt phẳng (P) và

(Q) sao cho AC, BD vuông góc với ∆ và AC = BD = a . Tính khoảng cách từ A

đến (BCD).

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a ,

BC = 4a , mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC); SB = 2a 3 ,



.



Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Chú ý: Ta có thể sử dụng các cách khác để tính khoảng cách từ một điểm đến

một mặt phẳng như sau:

Cách 1. Sử dụng công thức thể tích

1

3V

Thể tích của khối chóp V = S.h ⇔ h =

. Theo cách này, để tính khoảng cách

3

S

từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S

Ví dụ 1: Ta có thể giải bài toán trong ví dụ 1 phần khoảng cách từ một điểm đến

một mặt phẳng dựa vào công thức thể tích như sau:

1

1

Ta có: VA.A’BD = SABD .AA’ = SA’BD .d ( A, ( A’BD ) )

3

3



Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4



9



Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm

nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4



1 2

a .a

SABD .AA’

2

a 3

=

Suy ra d ( A, ( A’BD ) ) =

=

3

SA ' BD

3

(a 2) 2

4

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N,

P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến

mặt phẳng (AMN).



S



Giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO

M



⊥ (ABCD).



N



D



P



Do M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB



C



A



nên SAMN



O



1

1

a2 7

= SANS = SABS =

2

4

16



B



Ta có:

PC / /(AMN) ⇒ d ( (P,(AMN)) ) = d ( (C,(AMN)) ) .

1

1 1

Vậy: VP.AMN = SAMN .d ( (P,(AMN)) ) = . SABS.d ( (C,(AMN)) )

3

3 4

1

1

1 1

= VC.ABS = VS.ABC = . SABC .SO .

4

4

4 3



1

a 6

Với SABC = a 2 ,SO = SA 2 − AO2 =

.

2

2

⇒ VAMNP =



3V

6

1 1 2 a 6 a3 6

⇒ d ( (P,(AMN)) ) = PAMN = a

. a .

=

SAMN

7

12 2

2

48



Vậy d ( (P,(AMN)) ) =



a 42

7



Cách 2. Sử dụng phép trượt đỉnh

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4



10



Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm

nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4



- Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường

thẳng đến một vị trí thuận lợi O' , ta quy việc tính d(O,(α)) về việc tính

d(O',(α)) . Ta thường sử dụng những kết quả sau:

Kết quả 1: Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈ ∆ thì

d(M;(α)) = d(N;( α))

Kết quả 2: Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N

khác I) thì



d(M;(α)) MI

=

d(N;(α)) NI



1

Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì d(M;(α)) = d(N;(α))

2

nếu I là trung điểm của MN thì d(M;(α)) = d(N;(α))

- Ta thường sử dụng phép trượt đỉnh về điểm là chân đường cao.

Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh

bằng a, SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).

S



b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác

SAB đến (SAC).

Nhận xét: Do OA ∩ ( SBC ) = C , nên thay vì

việc tính d ( O, ( SBC ) ) ta đi tính d ( A, ( SBC ) ) ,



A



D



F

E



tương tự như vậy ta có thể quy việc tính

d ( G, ( SAC ) ) thông qua việc tính d ( E, ( SAC ) )



G



H



B



O

C



hay d ( B, ( SAC ) )

Giải:

a) Ta có: OA ∩ ( SBC ) = C nên:

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4



11



Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm

nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4



d ( O, ( SBC ) )



d ( A, ( SBC ) )



=



OC 1

=

AC 2



1

⇔ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )

2

* Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

AH ⊥ SB

⇒ AH ⊥ ( SBC )

Bước 1, 2: Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có: 

AH

⊥

BC





Bước 3: Tính AH :

Trong tam giác vuông SAB có:



1

1

1

4

a 3

=

+

= 2 ⇔ AH =

2

2

2

AH

SA

AB 3a

2



1

1

a 3

Vậy d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH =

2

2

4

b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.

Do EG ∩ ( SAB ) = S nên:

d ( G, ( SAC ) )

d ( E, ( SAC ) )



=



GS 2

2

= ⇔ d ( G, ( SAC ) ) = d ( E, ( SAC ) )

ES 3

3



Mà BE ∩ ( SAC ) = A nên:

d ( E, ( SAC ) )



d ( B, ( SAC ) )



=



EA 1

1

= ⇒ d ( E, ( SAC ) ) = d ( B, ( SAC ) )

BA 2

2



BO ⊥ AC

⇒ BO ⊥ ( SAC ) nên d(B, (SAC)) = BO = a 2

Mà 

2

BO ⊥ SA



2 a 2 a 2

Vậy d ( G, ( SAC ) ) = ×

=

3 4

6

Bài tập tự luyện:



Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4



12



Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm

nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4



Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,



AB = 3a, BC= 4a, (SBC) ⊥ (ABC), SB=2a 3 ,



. Tính khoảng cách



từ B đến mặt phẳng (SAC).

Bài 2: Cho hình chóp SABC, góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 600 .

Hai tam giác ABC và SBC đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp SABC và khoảng

cách từ B đến mặt phẳng (SAC)

2.3.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song:

Ta có: + ∀M ∈ ∆, N ∈ (α ),MN ≥ d(∆,(α))

+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) được quy về việc

tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc



·

BAD

= 600 , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.

Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).

Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).

Giải:

a) Hạ OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SOK )

Trong (SOK) kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SBC )

⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH .



Ta có ∆ABD đều ⇒ BD = a ⇒ BO =



S



a

; AC = a 3

2



Trong tam giác vuông OBC có:



H



A



1

1

1

13

a 39

=

+

=

⇔

OK

=

OK 2 OB 2 OC 2 3a 2

13



E

B

D



Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4



F



B

D

K



O



C



13



Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm

nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4



Trong tam giác vuông SOK có:

1

1

1

16

a 3

=

+

= 2 ⇔ OH =

2

2

2

OH

OS

OK

3a

4

Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH =



a 3

4



b) Ta có AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC )

⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) )



Kẻ EF / / OH ( F ∈ SK ) . Do OH ⊥ ( SBC ) ⇒ EF ⊥ ( SBC )



⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = EF = 2OH =



a 3

2



2.3.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

* Nhận xét:



∀M ∈ (α), N ∈ (β),MN ≥ d((α);(β))



Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính

khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Ví dụ: Cho hình lăng trụ tam giác

ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a.

Góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 30 0.

Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng

(A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Tính

khoảng cách giữa hai mặt đáy.

Giải:

Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’) cho nên H là

trung điểm của B’C’. Do (ABC) // (A’B’C’) nên d((ABC), (A’B’C’)) = d(A,



Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4



14



Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm

nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4



(A’B’C’)) mà AH ⊥ (A’B’C’) nên d(A, (A’B’C’)) = AH. Vì AA’ tạo với đáy một

góc bằng 300 nên ∆AHA’ có AH =



AA' a

= .

2

2



a

Vậy d((ABC), (A’B’C’)) = .

2

Bài tập tự luyện:

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng ( α ) bất kì

đi qua đường chéo B’D. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và

(A’BC’)

2.3.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Quy trình: Quy trình tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

Bước 1: Xác định mp (α) chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng

a . Suy ra d ( a, b ) = d(a, (α)) .

Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm M trên đường thẳng a tới mp (α) :

Tính d(M, (α))

Bước 3: Kết luận d ( a, b ) = d(M, (α)) .

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA vuông

góc với đáy và SA = a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD .

Giải:

Bước 1: Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng SD và song song với đường

thẳng AC :

Trong mp ( ABCD ) kẻ đường thẳng Dx // AC thì

AC // ( S, Dx ) do đó:

d ( SD, AC ) = d ( AC, ( S, Dx ) ) = d ( A, ( S, Dx ) )

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4



15



Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm

nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4



Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng AC tới mp ( S, Dx ) :

Tính d ( A, ( S, Dx ) )

Bước 2.1: Xác định mặt phẳng đi qua A và vuông góc với mp (S,Dx) : là mp

(SAI) .

Trong mp ( ABCD ) kẻ AI vuông góc với Dx tại I . Vì SA ⊥ Dx nên

Dx ⊥ ( SAI ) .

Bước 2.2: Xác định đường thẳng AH kẻ từ A và vuông góc với giao tuyến SI

của hai mặt phẳng ( S,Dx ) và ( SAI ) , H ∈ SI .

Trong



mp (SAI)



kẻ



vuông



AH



góc



với



SI



tại



H



thì



d ( A, ( S, Dx ) ) = d ( A, ( SDI ) ) = AH .



Bước 2.3: Tính độ dài đoạn AH:

Ta có AIDO là hình bình hành nên AI = DO =



nên có



1

1

1

=

+ 2

2

2

AH

SA

AI



Suy ra AH =



=



1

2



a 2



÷

 2 



+



a 2

. Và ∆SAI vuông tại A

2



1

3

=

a2 a2 .



a 3

.

3



a 3

Bước 3: Kết luận d ( AC, SD ) = d ( A, ( S, Dx ) ) =

3

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình

vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a 2 . Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB .

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4



16