Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD). Khi đó định góc giữa đường thẳng SC và mặt



·

phẳng (ABCD) là SCK

Giải: Ta có: AH =



Vì SA2 + AH 2 =



1

a

a 5

AB = , SA = AB = a , SH = HC = BH 2 + BC 2 =

.

2

2

2



5a 2

= AH 2

4



nên tam giác SAH vng tại A hay SA ⊥ AB mà ( SAB ) ⊥ ( ABCD) .

Do đó, SA ⊥ ( ABCD) và AC là hình chiếu vng góc của SC lên mp(ABCD).



SA

·

·

+ Ta có: (·SC , ( ABCD ) ) = SCA

, tan SCA

=

=

AC



2

.

2



Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc có tang bằng



2

.

2



Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với

mặt phẳng đáy, SA = a 6 . Tính sin của góc giữa:

a) SC và (SAB)

b) AC và (SBC)

Định hướng: Để xác định góc giữa

đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) ta có



SC ∩ ( SAB ) = S nên cần phải xác định điểm K



là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB). Khi

đó định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng



·

(SAB) là KSC

Tương tự góc giữa đường thẳng

AC và mặt phẳng (SBC) là ·ACH trong đó H

làhình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC)



Trang 14



Giải:

a) Ta có: BC ⊥ AB (gt) và SA ⊥ BC (vì SA ⊥ ( ABCD) ) ⇒ BC ⊥ ( SAB ) do đó:



·

SB là hình chiếu vng góc của SC trên mp(SAB) ⇒ (·SC , ( SAB ) ) = BSC

.

·



·

=

Ta có: ⇒ sin ( SC , ( SAB ) ) = sin BSC



BC

a

2

=

=

.

SC

4

SA2 + AC 2



b) Trong mp(SAB) kẻ AH ⊥ SB (H ∈ SB) . Theo a) BC ⊥ ( SAB ) ⇒ AH ⊥ BC

nên



AH ⊥ ( SBC ) hay CH là hình chiếu vng góc của AC trên mp(SBC)



⇒ (·AC , ( SBC ) ) = ·ACH .

+ Xét tam giác vng SAB có:



1

1

1

7

6

=

+

=

⇒

AH

=

a

.

AH 2 AB 2 SA2 6a 2

7



+ Vậy sin (·AC , ( SBC ) ) = sin ·ACH =



AH

21

=

AC

7



Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, AB = BC =

·

·

a 3 , khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 3 và SAB

= SCB

= 900 . Tính góc



giữa SB với mặt phẳng (ABC).

Định hướng: Để xác định góc

giữa đường thẳng SB và mặt phẳng

(ABC) ta cần phải xác định điểm H là

hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó định góc giữa đường thẳng SB



S



K



·

và mặt phẳng (ABC) là SBH

.



H



A



Giải:



Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên mp(ABC). Ta có:

SH ⊥ ( ABC ) 

 ⇒ HA ⊥ AB . Tương tự HC ⊥ BC

SA ⊥ AB (gt) 



Suy ra tứ giác HABC là một hình vng ⇒ HB = a 6

Có: AH / / BC ⊂ ( SBC ) ⇒ AH / / ( SBC )

Trang 15



C



B



⇒ d ( A, ( SBC )) = d ( H , ( SBC )) = a 2



Dựng HK ⊥ SC tại K (1).

Do



BC ⊥ HC 

 ⇒ BC ⊥ ( SHC ) ⇒ BC ⊥ HK (2)

BC ⊥ SH 



(1) và (2) suy ra HK ⊥ ( SBC ) . Từ đó d ( H , ( SBC )) = HK = a 2

⇒ KC = HC 2 − HK 2 = 3a 2 − 2a 2 = a

·

tan SCH

=



HK SH

HK .HC a 2.a 3

=

⇒ SH =

=

=a 6

KC HC

KC

a



·

⇒ ∆SHB vng cân . Vậy góc giữa SB với mp(ABC) là góc SBH

= 450 .



Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng

600. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).

Định hướng:



S



+ Khi tính góc giữa đường thẳng MN và



mặt phẳng (SBD) ta lưu ý tính chất, nếu (P) //(Q)

thì góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng



M



góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (Q).



D



+ Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng



0



I



(SBD) bằng góc giữa MN và mặt phẳng (MKH).

Do đó ta cần phải xác định hình chiếu của N trên



C



A



H

K



N

B



mặt phẳng (MKH).



Giải:

Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) .



·

Gọi H là trung điểm của OA ⇒ MH / / SO và MH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MNH

= 600 là



góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (ABCD).

Gọi K là trung điểm của AB. Ta có ( ABCD ) / / ( MHK ) nên góc giữa đường thẳng

MN và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa MN và mặt phẳng (MKH).

Trang 16



Vì ( MHK ) ∩ ( ABCD ) = HK , NK ⊥ HK nên K là hình chiếu vng góc của N



·

trên (MHK) ⇒ NMK

= ϕ là góc giữa MN và mặt phẳng (MKH).

Ta có: NK =



a 2

a 2

, HK =

. Do đó ta có:

2

4

2



2



a 2 a 2

a 10

;

HN = 

÷ +

÷ =

2

4

4



 





MH = HN .tan 600 =



a 30

a 30

⇒ SO = 2MH =

.

4

2



MN = MH 2 + HN 2 =

⇒ sin ϕ =



a 10

a 2

; NK =

; MK ⊥ KN

2

2



NK

1

1

=

⇔ ϕ = arcsin

.

MN

5

5



Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt đáy (ABCD), đáy

ABCD là hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)

bằng 450. Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC).

Định hướng:



S



K



Để xác định góc giữa đường thẳng SD và

H



mặt phẳng (SBC) ta cần phải xác định điểm H là

hình chiếu của D trên mặt phẳng (SBC). Khi đó



A



D



định góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng



·

(SBC) là DSH

.



B



Giải:



uuu

r uuur



Dựng điểm K sao cho SK = AD



Gọi H là hình chiếu vng góc của D lên CK, khi đó: DK ⊥ ( SBC ) .

Do đó:·( SD, ( SBC ) ) = ·DSH

Ta có: AB = AC 2 − BC 2 = 4a

Mà·( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ·SDA = 450 nên SA = AD = 3a



Trang 17



C



Mặt khác DH =



DC.DK 12a

=

, SD = SA2 + AD 2 = 3a 2

KC

5



SH = SD 2 − DH 2 =



3a 34

5



SH

17

Do đó:·( SD, ( SBC ) ) = ·DSH = arccos

= arccos

≈ 340 27 '

SD



5



Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng



2a 3

.

3



Tính góc giữa SA và mp(ABC)

Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a, tâm O;

SO ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA

và BC. Biết

· ,( ABCD)) = 600 .

(MN



a) Tính MN và SO.

b) Tính góc giữa MN và (SBD).

Bài tập 3: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a; SA ⊥

(ABCD) và SA = a 6 . Tính góc giữa:

a) SC và (ABCD)



b) SC và (SAB)



c) SB và (SAC)



d) AC và (SBC)



Bài tập 4: Cho lăng trụ ABC.A′ B′ C′ , có đáy là tam giác đều

cạnh a, AA′ ⊥ (ABC). Đường chéo BC′ của mặt bên BCC′ B′ hợp

với (ABB′ A′ ) góc 300.

a) Tính AA′ .

b) Gọi N là trung điểm của cạnh BB′ . Tính góc giữa MN và

(BA′ C′ ).

Bài tập 5: Cho lăng trụ ABC.A′ B′ C′ , có đáy ABC là tam giác

vuông cân tại A; AA′ ⊥ (ABC). Đoạn nối trung điểm M của AB và



Trang 18



trung điểm N của B′ C′ có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc

α và mặt bên BCC′ B′ góc β.

a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và

α.

b) Chứng minh rằng: cosα =



2 sinβ.



3. Góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)

+ Tìm giao tuyến ( P) ∩ (Q) = ∆

+ Trong (P) tìm a vng góc với ∆, trong (Q) tìm b vng góc với ∆ và a ∩ b = I .

+ ·( P ) , ( Q ) = (· a, b ) .



(



)



Chú ý: + Trong một số trường hợp nếu chỉ u cầu tính góc giữa hai mặt phẳng thì

chúng ta có thể áp dụng cơng thức hình chiếu để tính.

Cơng thức hình chiếu: Gọi hình (H) có diện tích S; hình (H’) là hình chiếu của (H)

trên mặt phẳng (α) có diện tích S’; φ là góc giữa mặt phẳng chứa (H) và mp(α). Lúc đó, ta

có cơng thức sau: S ' = S .cos ϕ .

+ Khi xác định góc giữa hai mặt phẳng q khó, ta nên sử dụng cơng thức sau:



sin α =



d ( M ,(Q) )

d ( M ,∆)



Với α là góc giữa hai mặt phẳng (Q) và (P). M là một điểm thuộc mặt phẳng (P)

và ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.Tính số đo của góc

giữa (BA’C) và (DA’C)

Định hướng: + Xác định giao tuyến của

hai mp(BA’C) và (DA’C),(gt A’C).

+ Xác định hai đường thuộc hai mp cùng

vng góc với A’C và cắt nhau.

+ Khi đó (·

( BA ' C ) , ( DA ' C ) ) = (·HB, HD )

+ Tính HB, HD, BC trên các mp tương

ứng

Trang 19



Giải: + Kẻ BH ⊥ A ' C , (H ∈ A'C) (1)

+ Mặt khác, ta có: BD ⊥ AC (gt) , AA ' ⊥ ( ABCD ) ⇒ AA ' ⊥ BD



⇒ BD ⊥ ( ACA ') ⇒ BD ⊥ A ' C (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A ' C ⊥ ( BDH ) ⇒ A ' C ⊥ DH .

Do đó, (·

( BA ' C ) , ( DA ' C ) ) = (·HB, HD ) .

+ Xét tam giác vng BCA’ có:



1

1

1

3

2

2

=

+

= 2 ⇒ BH = a.

⇒ DH = a.

2

2

2

BH

BC

BA '

2a

3

3

2 BH 2 − BD 2

1

·

·

+ Ta có: cos BHD =

= − ⇒ BHD

= 1200 .

2

2 BH

2

Vậy (( BA ' C ),( DA ' C )) = 600

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy



·

ABC là tam giác cân AB=AC=a, BAC

= 1200 , BB’= a, I

là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai

mp(ABC) và (AB’I).

Định hướng: + Để xác định góc giữa hai

mp(ABC) và (AB’I) ta sử dụng cơng thức hình chiếu



S ' = S .cos ϕ



+ S ABC = ?; S AB ' I = ?

Giải:

+ Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vng góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng

(ABC). Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Theo cơng thức hình chiếu ta

có: cos ϕ =



S ABC

.

S AB ' I



+ Ta có: S ABC



1

a2 3

0

.

= . AB. AC.sin120 =

2

4



AI = AC 2 + CI 2 =



a 5

; AB ' = AB 2 + BB '2 = a 2,

2

Trang 20