1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Cao đẳng - Đại học >

theo cơng thức ta có : Đặt y Ta có :

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (352.21 KB, 37 trang )


+ +
c 2
y 2
x xdy
y
t 1 x
Pt tham số:
 
 =
= π
2 t
o ,
t sin
y t
cos x
I=
] [
∫ = =
∫ +
+ −
− π
π π
2 o
2 dt
2 o
t 2
sin t
2 cos
dt t
cos .t
cos t
sin t
sin
Câu93đ
Cho các hàm số
y sin
2 mx
y cos
x e
y ,
x Q
y cos
x 2
m 2
y sin
x e
y ,
x p
− =
+ =
a.
Qdy pdx
y mx
y e
x Q
y m
y e
y p
x x
+ −
= ∂
∂ −
= ∂
∂ sin
2 cos
sin 2
cos
2 2
là vi phân toàn phần khi :
o m
2 m
x Q
y p
= −
⇔ ∂
∂ =
∂ ∂
nhận được m = o,m = 1

b.theo cơng thức ta có :


∫ ∫
+ =
x o
y 2
y cos
x e
dx x
e y
, x
U π
2 dy
y sin
2 x
+ −
1 y
cos 2
x y
sin x
e +
+ =
Câu103đ
[ ]
dx y
cos y
y sin
x AB
dy y
sin y
y cos
x x
h +
+ ∫

a.Đặt


y sin
y y
cos x
x h
Q y
cos y
y sin
x x
h p
− =
+ =
Điều kiện để tích phân ko phụ thuộc đường đi là :
x Q
y p
∂ ∂
= ∂

x x
x x
x x
x x
x x
x
e h
h h
h h
y y
y x
h y
y y
x h
x Q
y p
y h
y y
y x
h x
Q y
y y
x y
x h
y p
= ⇒
= ⇔
= ⇔
− =
− ⇔
∂ ∂
= ∂
∂ +
− =
∂ ∂
− +
= ∂

1 sin
cos sin
cos cos
sin cos
sin cos
cos

b. y


Ao, π
20
∫ =
∫ ∫
+ −
= ∫
∫ +
+ +
=
π π
π o
o o
A B
o
ydy y
dx o
dy y
y Qdy
Pdx Qdy
Pdx I
sin .
sin
Sử dụng cơng thức tích phân từng phần :
y v
dy du
ydy dv
y u
cos sin
− =
= ⇒
 
 =
=
π π
π π
π
π
= +
= +
− =
∫ +
− =
⇒ o
o y
o y
y ydy
o y
y I
o
sin cos
cos cos
Câu113đ
∫ +
+ +
− AB
2 y
2 x
dy y
nx dx
y mx

a.Ta có :


2 y
2 x
xy 2
2 nx
2 ny
y p
2 2
y 2
x mxy
2 2
x 2
y y
p
+ −
+ =
∂ ∂
+ −
− =
∂ ∂
Điều kiện để biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân tồn phần của hàm số Ux,y nào đó là với m = n =1
 
= =
⇔ =
− =
− ⇔
∀ =
− +
− −
⇔ −
− =
− −
1 1
1 ,
, 1
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
m n
m n
y x
m xy
n y
x xy
nx ny
mxy x
y
b
Ba,o Ca,a
Aa,o x
dx a
x a
x dy
y a
y a
I y
x y
x Q
y x
y x
p Q dy
pdx Q dy
pdx I
a a
o C
A B
C
∫ +
− +
∫ +
+ =
⇒ +
+ =
+ −
= ∫
∫ +
+ +
=
2 2
2 2
2 2
2 2
,
2 4
2 arctgo
1 arctg
2 o
a a
o a
x arctg
a 1
. a
2 dx
2 x
2 a
a 2
a o
dx 2
x 2
a x
a a
o dx
2 x
2 a
x a
a o
a o
dx 2
x 2
a x
a dy
2 y
2 a
y a
π π
= =
− =
∫ =
+ =
∫ +
− +
∫ +
+ =
∫ ∫
+ −
+ +
+ =
Câu123đ Tính tích phân mặt loại 2 sau đây:
dxdy 2
z dzdx
2 y
dydz s
2 x
+ +
∫∫
z a
a y
a x
21
∫ ∫
∫ ∫
+ ∫
+ ∫
+ ∫∫∫
∫ ∫ ∫
= +
∫∫∫ ∫∫∫
+ =
a o
a o
a o
a o
a o
a o
v a
a o
a o
v v
zdz dy
dx dz
ydy dx
dz dy
xdx zdxdydz
ydxdydz xdxdydz
2 2
2 2
2 2
2 2
o a
y o
a x
o a
z o
a y
o a
x +
=
2
o a
z o
a y
o a
x o
a z
+
4 a
3 4
a 4
a 4
a =
+ +
=
Câu133đ Cho trường vectơ
2 zx
. 2
yz ,
2 xy
F =

dxdy 2
zx dzdx
2 yz
s dydz
2 xy
+ +
∫∫ =
Φ
áp dụng công thức :Ostrogratski
1 :
2 2
2 2
2 2
≤ +
+ ∫∫∫
+ +
= Φ
z y
x V
dxdydz x
z y
v
Đổi qua toạ độ cầu :
 
 
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
1 2
r o
V π
ϕ π
θ
5 4
5 1
. 2
. 2
2 o
o 1
o dr
4 r
d d
d π
π π
π θ
θ ϕ
= =
∫ ∫
∫ =
Φ ⇒
Câu143đ
Đổi qua toạ độ trục
 
 
 
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
2 2
2 2
2
r z
r π
ϕ
dz r
d dr
I
r
.
2 3
2 2
2 2
∫ ∫
∫ =
ϕ dr
r r
2 2
2 3
2 2
. 2
− ∫
= π
3 16
3 1
2 1
2 .
2 12
2 2
4 2
6 4
π π
π =
− =
− r
r
Câu 15 3đ
2 z
2 y
2 x
2 U
2 z
2 y
2 x
U +
+ =
⇒ +
+ =
u x
x u
x 2
x u
. u
2 =
⇒ =

tương tự
; u
y y
u =
u z
z u
=
22
u z
u y
u x
s dxdy
u z
u y
u x
zdxdy ydzdx
s xdydz
+ +
∫∫ =

1 =
S U
áp dụng cthức ostrogradsky ta có
∫∫∫ =
Φ v
dxdyz 3
trong đó V là hcầu
1 2
z 2
y 2
x ≤
+ +
. 3
= Φ

thể tích V
π π
4 3
4 .
3 =
=
Câu14đ
x y
y y
x y
y y
y y
x y
cos 1
ln 1
cos ln
ln cos
= ⇔
= ⇔
=
Đặt
y y
z y
z ln
= ⇒
=
thay vào ,ta đượ
c :
x z
z cos
1 .
=
∫ −
= ∫
∫ ⇔
= ⇒
dx x
x z
dx x
zdx z
2 2
sin 1
cos 2
cos 1
.
∫ +
− =
sin 1
sin 1
sin x
x x
d
4 2
ln 2
2 ln
sin 1
sin 1
ln 2
1 sin
1 sin
2 1
sin 1
sin 2
1
π +
= ⇔
+ −
+ =
∫ ∫ −
+ +
=
x tg
C z
C x
x x
x d
x x
d
Thay lại ,ta có nghiện tổng quát của PT:
4 2
ln 2
2 ln
π +
= x
tg C
y
b
2 sin
x y
y =

x +Đây là PT vi phân tuyến tính cấp 2 ko thuần nhất
+Xét PT thuần nhất tương ứng
= −
y y
⇒ PT đặc trưng :
 
 −
= =
⇔ =
− 1
2 1
1 1
2 k
k k

PT đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt do đó nghiệm tổng quát của PT đặc trưng :
x x
e C
e C
y

+ =
. .
2 1
+Ta tìm 1 No riêng của Pt vi phân tuyến tính cấp 2 ko thuần nhất đã cho:
2 1
2 cos
2 2
2 2
cos 1
2 sin
x f
x f
x x
x x
x x
x y
y +
= −
= −
= =

với
. 2
1 1
x P
e x
x f
ox
= =

α
= 0, n = 0 nên n
o
riêng có dạng y
R1
= Ax +B →
y’
R1
= A →
y’’
R1
= 0 thay vào pt : y’’- y = f
1
x =
2 x
→ 0 Ax+B=
2 x
 
 
= −
= ⇔
2 1
B A
→ N
o
riêng : y
R1
=
2 x

Với f
2
x =
= −
x x
2 cos
2
[ ]
x x
Q x
x P
ox e
2 sin
. 2
cos 1
+
→ pt : y’’-y=
x x
x f
2 cos
2 2
− =
23
R2
R2
= A+2Ccos2x – 2Ax +Bsin2x →
y’’
R2
= - 2A +2Csin2x – 2Asin2x – 4Ax+B cos2x = -4A+Csin2x –4Ax+Bcos2x
Thay vào pt ta được : -4A –5Csin2x – 5Ax+Bcos2x
=
x x
2 cos
2 −
 
 
 
 
− =
− =
= =
⇔ 
 
 
 =
= =
+ −

25 2
10 1
. 5
4 10
1 5
2 1
5 5
4
C B
A B
A C
A
N
o
riêng:
x x
x y
R
2 sin
25 2
2 cos
10 1
2
− =
Như vậy, N
o
riêng của pt vi phân khg thuần nhất đã cho là : y
R
= y
R1
+y
R2
x x
x x
2 sin
25 2
2 cos
10 1
2 −
+ −
=
Vậy N
o
tổng quát của pt đã cho
x x
x x
e C
e C
y y
y
x x
R tq
2 sin
25 2
2 cos
10 1
2 .
.
2 1
− +
− +
= +
=

Câu24đ a. Tìm No riêng của PT:
1 1
3 ln
1 3
ln +
− =
⇔ =
+ +
x y
y y
x y
y y
đặt
y y
z y
z ln
= ⇒
=
Thay vào ta được:
1 1
3 +
− =
x z
z
Tích phân 2 vế :
2 1
1 2
2 1
2 2
1 .
2 1
1 3
= +
+ ⇔
− +
− =
− ∫
∫ ⇔
+ −
=
C x
z C
x z
x dx
z dx
z
Thay
→ =
y z ln
ta có:
2 1
1 2
2 ln
= +
+ C
x y
do
→ =
− 2
16 15
e y
thay vào:
8 3
2 1
8 1
2 1
4 1
. 2
. 4
2 1
1 16
15 2
. 2
2 ln
− =
− =
⇔ =
+ ⇔
= +
+ −
C C
C e
Vậy,No riêng của Pt đã cho là :
2 1
8 3
1 2
2 ln
= −
+ x
y

b.Tìm No tổng quát :


Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.doc) (37 trang)

×