1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Cao đẳng - Đại học >

Tìm No tquát của Pt:

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (352.21 KB, 37 trang )


]
x b
ax b
x b
a ax
b a
x b
a ax
e y
y y
x R
R R
3 3
4 4
8 4
2 4
3 4
2 2
2
+ +
+ −
+ −
− +
− −
= +

[ ]
 
 
 
− =
− =
= ⇔
 
 =
+ =
⇔ −
= +
+ −
=
4 1
4 1
2 1
4 .
2 4
a b
a b
a a
x e
x b
a ax
x e
⇒ No riêng
x x
R
e x
x x
e x
Y
− −
− =
− =
4 1
4 1
. .
Vậy No tquát của Pt:
4 1
3 2
1
− +
+ =
+ =
− −

x x
e e
C e
C Y
Y Y
x x
x R
tq
Câu84đ a.Tìm No riêng của Pt:
2 2
x x
e y
y y
y e
y y
= +
⇔ =
+
Đặt:Z=
2 2
z y
y y
y z
y =
⇔ =

Thay vào
2
2
x
e z
z =
+ ⇒
2
2 1
2 1
x
e z
z =
+ ⇔
với
 
 
 =
=
2
2 1
2 1
x
e q
x x
P
Đây là Pt vi phân t
2
cấp 1 ko thuần nhất ,No tổng quát : Z =
 ∫ ∫


dx x
Q e
e
dx x
P dx
x P
.
]
C +
x x
x x
dx x
P
e dx
e dx
e e
dx x
Q e
J x
dx dx
x P
I
2 1
2 1
2 1
. .
2 1
2
2 2
= ∫
= ∫
= ∫ ∫
= ∫
∫ =
= =
[ ]
2 2
2
2 1
2 1
.
x x
x
e e
C C
e e
Z
x
+ =
+ =
− −
⇒ no tquát
2 2
2 1
.
x x
e e
C y
+ =

Thay :
4 7
4 9
2 1
2 1
.
2 2
= ⇔
= +
= +
=

C C
e e
C o
Y
- Vậy No riêng của Pt :
2 2
2 1
4 7
x x
e e
y +
=

b.Tìm No tquát của Pt:


x e
x y
y y
− +
= +
+ 5
6
- Đây là Pt vi phân t
2
cấp 2 ko thuần nhất hệ số hằng số - Xét Pt thuần nhất tương ứng:
⇒ =
+ +
5 6
y y
y
Pt đặc trưng:
 
 −
= −
= ⇔
= +
+ ⇔
= +
+ 5
2 1
1 5
1 5
6 2
k k
k k
k k
⇒ Pt có 2 No thực phân biệt, vậy No tquát của Pt thuần nhất :
x x
e C
e C
Y
5 2
1
. .
− −
+ =
- Xét Pt ko thuần nhất đã cho:
2 1
5 6
x f
x f
x e
x y
y y
+ =
− +
= +
+
với
2 ,
1 1
. 1
k k
x p
ox e
x x
f ≠
= =
= α
⇒ Ta tìm No riêng dạng :
31
1 5
6 x
f x
y y
y =
= +
+
1
1 1
= ⇒
= ⇒
R y
a R
y
thay vào
 
 
 −
= −
= =
⇔ 
 =
+ =
⇔ =
+ +
+ ⇒
5 6
6 5
1 6
1 5
5 6
a b
a o
b a
a x
b ax
a 5
6
1
− =
⇒ x
Y
R
+Với
1 2
1 .
k p
e e
f
x o
x x
x
= −
= ⇒
= =

α
α
⇒ Ta tìm No riêng dạng:
x R
Axe Y

=
2
của Pt:
[ ]
x Ae
y e
f y
y y
x R
x x
− =
⇒ =
= +
+
− −
1 2
5 6
2 2
[ ]
2 1
1 2
− −
= −
− −
− =
x x
Ae x
x Ae
R y
thay vào PT 2 ⇒
2 2
2
5 6
R R
R
Y Y
Y +
+
[ ]
4 1
4 5
1 6
2 =
⇔ =
= +
− +
− =
− −

A e
Ae x
x x
Ae
x x
x
⇒ No riêng:
x R
xe Y

= 4
1
2
- Theo nguyên lý chồng chất No ⇒
No riêng của Pt thuần nhất :
x xe
x R
y R
y R
y −
+ −
= +
= 4
1 5
6 2
1
- Vậy ,No tquát của Pt đã cho:
x x
x R
tq
e x
x e
C e
C y
y y
− −

+ −
+ +
= +
= 4
5 6
5 2
1
Câu94đ a.
tgx y
y =
+
-Đây là Pt vi phân t
2
cấp 2 ko thuần nhất - Xét Pt thuần nhất tương ứng :
⇒ =
= y
y
pt đặc trưng:
i i
k k
± =
± =
⇔ =
+ 1
2 ,
1 2
⇒ Pt đặc trưng có cặp No phức liên hợp
i k
± =
2 ,
1
⇒ No tổng quát của Pt thuần nhất :
x C
x C
x C
x C
ox e
y cos
2 sin
1 cos
2 sin
1 +
= +
=
-Xét Pt vi phân ko thuần nhất đã cho: y’’+y = tgx ta sẽ tìm 1 No riêng của Pt t
2
ko thuần nhất dạng:
x x
C x
x C
R y
cos 2
sin 1
+ =
theo P
2
biến thiên hằng số Largrange ,ta có
2 ,
1 x
C x
C
là No của hệ :
 
 
 =
− =
+ 2
sin cos
1 cos
sin
2 1
2 1
tgx x
x C
x x
C x
x C
x x
C cos
sin 1
1 1
2
x tgxC
x C
x x
x C
− =
− =

Thay vào 2 ⇒
x tgx
x tgx
x C
tgx x
xC tgx
x x
C sin
. cos
sin .
cos
1 1
1
+ =
⇔ =
+
=
x sin
x cos
x 2
sin x
cos x
cos x
sin =
+
∫ ∫
− =
= −
= ∫
∫ =
= ⇒
− =
− =
− =

dx x
x dx
C C
x xdx
dx C
x C
x x
x x
x tgx
x C
x
cos sin
cos sin
cos 1
cos cos
sin sin
.
2 2
2 1
1 2
2
32
2 cos
x x
đặt t=sinx
t t
t dt
t t
dt dt
t t
dt t
t dt
t t
− +
− =
∫ ∫
 
 
+ +
− −
= ∫
 
 
 
+ −
− =
∫ ∫
− −
− =
− −
=
1 1
ln 2
1 1
1 1
1 2
1 1
1 1
1 1
1 1
1
2 2
2 2
x x
x x
C sin
1 sin
1 ln
2 1
sin
2
− +
− =

Vậy ⇒
No riêng :
x x
x x
x x
x x
x y
x x
C x
x C
y
R R
sin 1
sin 1
ln cos
2 1
sin 1
sin 1
ln 2
1 sin
cos cos
sin cos
sin
2 1
− +
− =
− +
− +
− =
⇒ +
=
Như vậy,No tổng quát của Pt đã cho :
R y
y tq
y +
= x
x x
x C
x C
sin 1
sin 1
ln cos
2 1
cos 2
sin 1
− +
− +
=
b.
x e
y y
y 4
4 3
= −

-Đây là Pt vi phân t
2
cấp 2 ko thuần nhất hệ số hằng số -Xét Pt thuần nhất tương ứng:
y’’- 3y’- 4y =0 ⇒
Pt đặc trưng:
 
 −
= =
⇔ =
− −
⇔ =
− −
1 2
4 1
1 4
4 3
2 k
k k
k k
k
⇒ Pt đặc trưng có 2 no thực phân biệt
⇒ no tquát của Pt thuần nhất
x x
e C
e C
y

+ =
2 4
1
-Xét Pt vi phân cấp 2 ko thuần nhất đã cho:
1 4
4 4
4 3
k x
o p
x e
x e
x f
x e
y y
y =
= ⇒
= =
⇒ =
− −
α α
⇒ Ta tìm no riêng của Pt dạng:
2 1
4 8
4 1
4 4
4 4
1 4
4 4
.
x x
Ae x
x Ae
R y
x x
Ae R
y x
Axe A
x e
x R
y
+ =
+ +
= +
= ⇒
= =
Thay vào ta có :
[ ]
5 1
1 5
. 5
4 12
3 16
8 .
. 4
4 1
3 2
1 8
4 3
4 4
4 4
4 4
= ⇔
= ⇔
= =
− −
− +
= −
+ −
+ =
− −
A A
e e
A x
x x
e A
e Ax
x Ae
x Ae
y y
y
x x
x x
x x
R R
R
⇒ No riêng :
2
5
x
e x
y
R
=
Vậy No tquát của Pt:
x x
x R
tq
e x
e C
e C
y y
y
4 2
4 1
5 +
+ =
+ =

Câu104đ a.
x y
y 2
cos 1
= +
- Đây là Pt vi phân t
2
cấp 2 ko thuần nhất hệ số hằng - Xét Pt vi phân thuần nhất tương ứng :y’’+ y = 0
⇒ Pt đặc trưng:
i k
k ±
= ⇔
= +
2 ,
1 2
1
⇒ Pt đặc trưng có 2 No phức liên hợp nên No tquát của Pt thuần nhất:
x C
x C
x C
x C
ox e
y cos
2 sin
1 cos
2 sin
1 +
= +
=
-Xét Pt đã cho :
x y
y 2
cos 1
= +
33
x x
C x
x C
y
R
cos sin
2 1
⇒ theo p
2
biến thiên hằng số Largrange ,C
1
x và C
2
x là No của hệ :
 
 
 =
− =
+ x
x C
x C
x C
x C
2 cos
1 sin
2 cos
1 cos
2 sin
1
x tg
x x
x x
x x
x C
tgxC C
2 2
2 2
1 1
2
1 1
sin cos
cos cos
sin cos
2 cos
1
− =
− =
 
 
 
+ =
− =
∫ ∫
− =
= ⇒
x 2
tg 1
dx dx
1 C
1 C
∫ ∫
− =
− =
x x
d x
xdx 2
2 sin
2 1
sin sin
2 1
cos
∫ −
=
2
2 1
t dt

b. Giải PT:


Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.doc) (37 trang)

×