1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Cao đẳng - Đại học >

Hợp của các tập hợp

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.86 MB, 123 trang )


Hình 15

2.2. Hợp của các tập hợp


a Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo nên bởi các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó, kí hiệu là A

B đọc là A hợp B. Từ định nghĩa của A
∪ B suy ra rằng: x
∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B. Ví dụ 2.5 :
Nếu A = {a, b, c, d, e}; B = {b, e, f, g} thì A
∪ B = {a, b, c, d, e, f, g} Ví dụ 2.6 :
Hợp của tập hợp các số hữu tỉ và tập hợp các số vô tỉ là tập hợp các số thực. Hợp của tập hợp Z các số nguyên và tạp hợp Q các số hữu tỉ là tập hợp Q:
Z ∪ Q = Q.
Từ định nghĩa hợp của hai tập hợp suy ra rằng: x
∉ A ∪ B ⇔ x ∉ A và x ∉ B. Ví dụ 2.7 :
Xét tập hợp T các mảnh tam giác và tập hợp X các mảnh có màu xanh trong bộ các mảnh Lơgic Điênétxơ. Khi đó T
∪ X là tập hợp các phần tử thuộc T hoặc thuộc X. Đó là tập hợp các mảnh hình tam giác hoặc có màu
xanh.
Formatted: Heading03
Hình 16
TUX là tập hợp các mảnh tam giác hoặc xanh.
Một số tính chất của phép lấy hợp các tập hợp
Từ định nghĩa của hợp các tập hợp dễ dàng suy ra: b Với các tập hợp bất kì A, B, C,
i A ∪ B = B ∪ A,
ii A ∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C,
iii φ ∪ A = A,
iv A ∪ A = A.
Đẳng thứ ii cho phép, khi lấy hợp của một số hữu hạn tập hợp, bỏ các dấu ngoặc chỉ thứ tự các phép lấy hợp.
Quan hệ giữa bao hàm thức và phép lấy hợp được cho trong định lí sau: c Với các tập hợp bất kì A, B, C, D,
i A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B,
ii Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì A ∪ B ⊂ C,
iii Nếu A ⊂ C và B ⊂ D thì A B ⊂ C ∪ D,
iv A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B.
Chứng minh
ii giả sử A ⊂ C và B ⊂ C. Khi đó, nếu x ∈ A ⊂ B thì x ∈ A hoặc x ∈ B.
Do đó x ∈ C.
Vậy A ∪ B ⊂ C.
iv ⇒ Giả sử A ⊂ B. Khi đó, nếu x ∈ A ∪ B thì x B hoặc x A B, do đó
x B. Vậy A B B. Mặt khác, theo i, ta có B A B. Từ hai bao hàm thức vừa nêu suy ra A
∪ B = B. ⇐ Giả sử A ∪ B = B. Khi đó, theo i, ta có:
A ⊂ A ∪ B = B.
Định lí sau nêu lên quan hệ giữa hai phép lấy hợp và giao của các tập hợp. d Với các tập hợp bất kì A, B, C,
i A ∩ A ∪ B = A,
ii A ∩ B ∪ B = B,
iii A ∩ B ∪ C = A ∩ B ∪ A ∩ C,
iv A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∩ A ∪ C.
Chứng minh
i Vì A ⊂ A ∪ B nên A ∩ A ∪ B = A theo iv trong 1.d.
ii Vì A ∩ B ⊂ B nên A ∩ B ∪ B = B theo iv trong c
iii Giả sử x ∈ A ∩ B ∪ C. Khi đó x ∈ A và x ∈ B ∪ C.
Do đó x ∈ A và x ∈ B hoặc x ∈ C. Nếu x ∈ A và x ∈ B thì x ∈ A ∩ B. Do
đó x ∈ A ∩ B ∪ A ∩ C. Tương tự, nếu x A và x C thì x ∪ A ∩ C. DO
đó x ∈ A ∩ B ∪ A ∩ C. Vậy:
A ∩ B ∪ C ⊂ A ∩ B ∪ A ∩ C
1 Đảo lại, nếu x
∈ A ∩ B ∪ A ∩ C thì x ∈ A ∩ B hoặc x ∈ A ∩ C. Nếu x
∈ A ∩ B thì x ∈ A và x ∈ B ⊂ B ∪ C; do đó x ∈ A ∩ B ∪ C. Nếu x
∈ A ∩ C thì, chứng minh tương tự, ta cũng được x ∈ A ∩ B ∪ C. Vậy:
A ∩ B ∪ A ∩ C ⊂ A ∩ B ∪ C
2 Từ hai bao hàm thức 1 và 2 suy ra đẳng thức trong iii cần chứng minh:
iv được chứng minh tương tự Cơng thức iii cho thấy phép hợp có tính phân phối đối với phép giao;
công thức iv cho thấy phép giao có tính phân phối đối với phép hợp.

2.3. Hiệu của hai tập hợp


Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (123 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×