1. Trang chủ >
  2. Giáo Dục - Đào Tạo >
  3. Cao đẳng - Đại học >

Các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.86 MB, 123 trang )


Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự trên một tập hợp, phần tử tối tiểu được biểu diễn bởi một điểm mà khơng có bất kì một mũi tên nào đi
từ các điểm khác đến điểm đó. Trong Hình 30, a và d và hai điểm tối tiểu của tập hợp sắp thứ tự X. Chú ý rằng d cũng là điểm tối dại của X.
Ví dụ 5.11 : Giả sử P là tập hợp tất cả các tập con của tập hợp X
≠ φ. Khi đó, tập hợp sắp thứ tự P,
⊂ có một phần tử tối tiểu duy nhất, đó là tập hợp φ. Thật vậy, với mọi A
∈ P mà A ⊂ φ, ta có A = φ. Do đó là phần tử tối tiểu. Ngoài ra, với mọi A
∈ P mà A ≠ φ, ta có φ ⊂ A. Do đó A khơng phải là phần tử tối tiểu.
Ví dụ 5.12 : Giả sử X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1. Ta biét rằng X, : là một tập
hợp sắp thứ tự kí hiệu : chỉ quan hệ “chia hết” trên X. Nếu p là một số nguyên tố thì với mọi n
∈ X, mà n : p, ta có n = p. Do đó p là một phần tử tối tiểu của tập hợp sắp thứ tự X. Như vậy, X có vơ số phần tử tối tiểu, đó là
tất cả các số ngun tố. Ví dụ 5.13 :
Gọi X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1 và ≤ là quan hệ “chia hết cho”
trên X Xem ví dụ 9. Tập hợp sắp thứ tự X, ≤ khơng có phần tử tối tiểu vì
với mọi n ∈ X, ta có 2n chia hết cho n và 2n ≠ n, tức là 2n ≤ n và 2n ≠ n.
Các ví dụ trên cho thấy một tập hợp sắp thứ tự có thể có một hoặc nhiều phần tử tối tiểu và cũng có thể khơng có phần tử tối tiểu nào.

5.5. Các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất


a Giả sử X, ≤ là một tập hợp sắp thứ tự. Phần tử x
∈ X gọi là lớn nhất nếu: x
∈ x với mọi x
∈ X. b Định lí: Tập hợp sắp thứ tự X,
≤ có nhiều nhất là một phần tử lớn nhất. Phần tử lớn nhất là tối đại.
Chứng minh
Giả sử x và x
1
là những phần tử lớn nhất trong tập hợp sắp thứ tự X. Khi đó:
x ≤ x
với mọi x ∈ X
và x
≤ x
1
với mọi x ∈ X.
Do đó x
1
≤ x và x
≤ x
1
. Vì quan hệ ≤ là phản đối xứng nên từ đó suy ra x
1
= x
. Vậy phần tử lớn nhất, nếu có, là duy nhất.
Formatted: Heading04
Giả sử x là phần tử lớn nhất trong X,
≤. Khi đó, với mọi x ∈ X, nếu x ≤ x
thì vì ta cũng có x ≤ x
suy ra từ định nghĩa của x nên x = x
. Vậy x là
phần tử tối đại Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự trên một tập hợp, phần tử
lớn nhất được biểu diễn bởi một điểm mà tại mỗi điểm của tập hợp đều có một mũi tên đi từ đó đến điểm đã nêu.
Hình 32
Trong Hình 32, d là phần lớn nhất của tập hợp sắp thứ tự A. Ví dụ 5.14 :
Trong tập hợp sắp thứ tự P, ⊂ P = P X là tập hợp tất cả các tập con của
hợp X ≠ φ, tập hợp X là phần tử lớn nhất.
• Tập hợp sắp thứ tự N, : khơng có phần tử tối đại. Do đó, theo Định lí b, tập hợp N khơng có phần tử lớn nhất.
• Xét tập hợp sắp thứ tự X, ≤, trong đó X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1 và
≤ là quan hệ “chia hết cho” trên X. Trong tập hợp này khơng có phần tử lớn nhất vì với mỗi n
∈ X, số n + 1 không chia hết cho n. Để ý rằng trong X,
≤ có vơ số phần tử tối đại xem Ví dụ 9. c Giả sử X,
≤ là một tập hợp sắp thứ tự. Phần tử x ∈ X gọi là nhỏ nhất
nếu x
≤ x với mọi x ∈ X. Tương tự như trong Định lí b, dễ dàng chứng minh được rằng.
d Tập hợp sắp thứ tự X, ≤ có nhiều nhất là một phần tử nhỏ nhất. Phần tử
nhỏ nhất là tối tiểu. Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự trên một tập hợp, phần tử
nhỏ nhất được biểu diễn bởi một điểm mà từ đó có các mũi tên đi đến mọi điểm Hình 33 khác của tập hợp.
Hình 33
Hình 33, a là phần tử nhỏ nhất của tập hợp sắp thứ tự A. Ví dụ 5.15:
• Trong tập hợp sắp thứ tự P, ⊂, trong đó P là tập hợp tất cả các tập con của tập hợp X
≠ φ, φ là phần tử nhỏ nhất duy nhất. • Xét tập hợp sắp thứ tự X, ≤, trong đó x là tập hợp các số nguyên lớn hơn
1 và ≤ là quan hệ “chia hết cho” trên X. Trong Ví dụ 13, ta biết rằng trong
X khơng có phần tử tối tiểu. Do đó, theo Định lí d, tập hợp sắp thứ tự X khơng có phần tử nhỏ nhất.
• Tập hợp sắp thứ tự X, :, trong đó X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1 và : là quan hệ “chia hết” trên X, khơng có phần tử nhỏ nhất vì với mọi n
∈ X, n không chia hết n + 1. Để ý rằng tập hợp sắp thứ tự này có vơ số phần
tử tối tiểu xem Ví dụ 12.

5.6. Các tập con của một tập sắp thứ tự. Bổ đề Doóc


Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (123 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×