Vector Toán tử nabla Gradient Divergence Rotary

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY Số tiết: 45
Tài liệu tham khảo
1. Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006 2. Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995
3. Nguyễn Hồng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978

Chương 0 MỘT SỐ CƠNG THỨC TỐN HỌC

1. Vector

{ }
z y
x z
y x
a k
a j
a i
a ,
a ,
a a
 
 
+ +
= =
{ }
z y
x z
y x
b k
b j
b i
b ,
b ,
b b
 
 
+ +
= =
{ }
z y
x z
y x
c k
c j
c i
c ,
c ,
c c
 
 
+ +
= =
•
z z
y y
x x
b a
b a
b a
b .
a +
+ =
 
•
x y
y x
z x
x z
y z
z y
z y
x z
y x
b a
b a
k b
a b
a j
b a
b a
i b
b b
a a
a k
j i
b a
− +
− +
− =
= ×
 
 
 
 
•
b ,
a cos
b a
b .
a 
 
 
 =
c b
a

= ì
Phng:
b ,
a c


Chiu: theo qui tắc vặn nút chai Độ lớn:
b ,
a sin
b a
c 
 
 
=
•
b .
a .
c c
. a
. b
c b
a 
 
 
 
 
− =
× ×

2. Tốn tử nabla

 
 
 
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= ∇
z ,
y ,
x

3. Gradient

1
z U
k y
U j
x U
i U
. gradU
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= ∇
= 
 

4. Divergence

z a
y a
x a
a .
a div
z y
x
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= ∇
= 


5. Rotary

 
 
∂ ∂
− ∂
∂ +
 
 
 
∂ ∂
− ∂
∂ +
 
 
∂ ∂
− ∂
∂ =
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= ×
∇ =
y a
x a
k x
a z
a j
z a
y a
i a
a a
z y
x k
j i
a a
rot
x y
z x
y z
z y
x
 
 
 
 
Số phức
Hàm mũ
y sin
i y
cos e
e e
x iy
x z
+ =
=
+
Hàm mũ là một hàm tuần hồn có chu kì là 2 π
i. Thực vậy, ta có
1 k
2 sin
i k
2 cos
e
i k
2
= π
+ π
=
π
Suy ra
z i
k 2
z i
k 2
z
e e
. e
e =
=
π π
+
Công thức Euler e
iy
= cosy +isiny Khi đó số phức z = r e
i ϕ
= rcos ϕ
+isin ϕ
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:
x f
y a
y a
y
2 1
= +
′ +
′′
1 Trong đó:
a
1
, a
2
và fx là các hàm của biến độc lập x fx = 0
⇒ 1 gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất
fx ≠
⇒ 1 gọi là phương trình tuyến tính khơng thuần nhất
a
1
, a
2
≡ const
⇒ 1 gọi là phương trình tuyến tính có hệ số khơng đổi
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
2
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
y a
y a
y
2 1
= +
′ +
′′
2 a
1
, a
2
là các hàm của biến x
Định lí 1. Nếu y
1
= y
1
x và y
2
= y
2
x là 2 nghiệm của 2 thì y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
trong đó C
1
, C
2
là 2 hằng số tuỳ ý cũng là nghiệm của phương trình ấy. Hai hàm y
1
x và y
2
x là độc lập tuyến tính khi
const x
y x
y
2 1
≠
, ngược lại là phụ thuộc tuyến tính
Định lí 2. Nếu y
1
x và y
2
x là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất 2 thì y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
trong đó C
1
, C
2
là 2 hằng số tuỳ ý là nghiệm tổng quát của phương trình ấy.
Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y
1
x của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất 2 thì có thể tìm được một nghiệm riêng y
2
x của phương trình đó, độc lập tuyến tính với y
1
x bằng cách đặt y
2
x = y
1
x.ux
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:
x f
y a
y a
y
2 1
= +
′ +
′′
3 Trong đó:
a
1
và a
2
là các hàm của biến độc lập x; fx ≠
Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình khơng thuần nhất 3 bằng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất 2 tương ứng và một nghiệm riêng nào đó của phương trình khơng thuần nhất 3.
Định lí 2. Cho phương trình khơng thuần nhất
x f
x f
y a
y a
y
2 1
2 1
+ =
+ ′
+ ′′
4 Nếu y
1
x là nghiệm riêng của phương trình
x f
y a
y a
y
1 2
1
= +
′ +
′′
5 và y
2
x là nghiệm riêng của phương trình
x f
y a
y a
y
2 2
1
= +
′ +
′′
6
3
thì yx = y
1
x + y
2
x cũng là nghiệm riêng của phương trình 4
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số khơng đổi
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
qy y
p y
= +
′ +
′′
7 p, q là các hằng số
Giả sử nghiệm riêng của 7 có dạng
kx
e y
=
8 Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định
Suy ra
kx
ke y
= ′
,
kx 2
e k
y =
′′
9 Thay 8 và 9 vào 7 ta có
q pk
k e
2 kx
= +
+
10 Vì e
kx
≠ 0 nên
q pk
k
2
= +
+
11 Nếu k thoả mãn 11 thì y = e
kx
là một nghiệm riêng của phương trình vi phân 7. Phương trình 11 gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi
phân 7 Nhận xét: Phương trình đặc trưng 7 là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k
1
và k
2
như sau
- k
1
và k
2
là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình
vi phân 7 là
x k
1
1
e y
=
,
x k
2
2
e y
=
12 Hai nghiệm riêng 12 là độc lập từ trường vì
const e
y y
x k
k 2
1
2 1
≠ =
−
13 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 7 là
x k
2 x
k 1
2 1
2 1
e C
e C
y y
y +
= +
=
14
- k
1
và k
2
là 2 số thực trùng nhau: k
1
= k
2
Hai nghiệm riêng độc lập từ trường:
x k
1
1
e y
=
,
x k
2
1
xe y
=
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 7 là
4
x k
2 1
x k
2 x
k 1
1 1
1
e x
C C
xe C
e C
y +
= +
=
15
- k
1
và k
2
là 2 số phức liên hợp: k
1
=
α
+ i
β
và k
2
=
α
- i
β Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân 7 là
x i
x x
i 2
x i
x x
i 1
e e
e y
e e
e y
β −
α β
− α
• β
α β
+ α
•
= =
= =
16 Theo cơng thức Euler ta có
x sin
i x
cos e
x sin
i x
cos e
x i
x i
β −
β =
β +
β =
β −
β
17 Suy ra
x sin
i x
cos e
e e
y x
sin i
x cos
e e
e y
x x
i x
2 x
x i
x 1
β −
β =
= β
+ β
= =
α β
− α
• α
β α
•
18 Nếu
• 1
y
và
• 2
y
là 2 nghiệm của phương trình vi phân 7 thì các hàm
x sin
e i
2 y
y y
x cos
e 2
y y
y
x 2
1 2
x 2
1 1
β =
+ =
β =
+ =
α •
• α
• •
19
cũng là nghiệm của phương trình vi phân 7 và độc lập từ trường vì
const x
tg y
y
2 1
≠ β
=
20 Do đó nghiệm tổng qt của phương trình vi phân 7 là
x sin
C x
cos C
e x
sin e
C x
cos e
C y
2 1
x x
2 x
1
β +
β =
β +
β =
α α
α
21
5

Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT