Giới Thiệu Tính Lãi Kép Liên Tục và Lãi Kép Khơng Liên Tục.

Định Giá Trái Phiếu – Phần 1
Campbell R. Harvey

1. Giới Thiệu

Bạn muốn nhận được 100 ngay hôm nay hay vào năm tới? Hiển nhiên rằng bạn muốn nhận được tiền ngay hơm nay rồi. Bạn có thể gửi ngân hàng và năm tới giá
trị tăng vượt mức 100. Do đó thời gian là một nhân tố quan trọng khi ta muốn đánh giá tiền tệ.
Chúng ta sẽ tìm câu trả lời cho hai vấn đề sau: Giá trị hôm nay của 100 nhận được vào năm sau và giá trị nhận được vào năm sau của 100 hôm nay? Với câu
hỏi đầu tiên đề cập đến giá trị của ngày hôm nay và được gọi là giá trị hiện tại. Câu hỏi thứ hai đề cập đến giá trị của năm tới và được gọi là giá trị tương lai.

2. Tính Lãi Kép Liên Tục và Lãi Kép Khơng Liên Tục.

Trước hết ta cần thiết lập một số quy ước: V
= là giá trị hiện tại V
t
= là giá trị tương lai tại thời điểm cuối những giai đoạn t t = là số lượng giai đoạn
i = là lãi suất thực theo kỳ hạn hay còn gọi là lãi suất thực theo kỳ hạn tính lãi kép R = là lãi suất năm APR hay đơi khi còn gọi là lãi suất danh nghĩa
n = là số giai đoạn tính lãi kép
r = là lãi suất thực hàng năm Lãi suất thực theo kỳ hạn i bằng với lãi suất danh nghĩa R chia cho số giai đoạn
tính lãi kép hàng năm:
Lãi suất thực hàng năm r là lãi suất kép hàng năm bằng với lãi suất thực theo kỳ hạn i được tính kép n lần mỗi năm
Chú ý rằng n lớn hơn được tính lãi suất kép nhiều giai đoạn mỗi năm, thì lãi suất thực hàng năm trở thành:
trong đó e là số mũ tự nhiên, e xấp xỉ 2.718. Ta sẽ chứng minh công thức này.
Chứng minh
Chúng ta sẽ chứng minh rằng
Trong trường hợp đặc biệt R=0, thì kết quả này quá hiển nhiên. Ta xét những trường hợp R khác 0. Lấy logarit vế phải của hàm này
Chia và nhân cho R và chú ý rằng logarit của 1 bằng 0, chúng ta có thể viết lại như sau
Điều quan trọng trong chứng minh công thức này là thương số hiệu của hàm logarit. Vì thế
Sau khi tính tốn và biết rằng:
và ta lấy trường hợp x=1. Có nghĩa là
và ngược lại:
Ví dụ
Giả sử một ngân hàng trả lãi số tiền gửi của bạn với lãi suất danh nghĩa 4 R=.04. Bảng sau đây thể hiện những lãi suất thực khác nhau tuỳ theo số lần tính
lãi mỗi năm Tính lãi kép theo Cơng thức Lãi suất thực
1=theo năm
4=theo quý
12=theo tháng
52=theo tuần
365=theo ngày
8760=theo giờ
=liên tục Vì thế nhà đầu tư nào cũng muốn số lần tính lãi kép càng nhiều. Lãi suất kép liên
tục ln cao hơn lãi suất có kỳ hạn.

3. Giá Trị Tương Lai