ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG.

85 A. DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG
Một dầm chịu uốn thuần túy phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ có một thành phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng qn tính chính
trung tâm. Trên hình 5.4, hình 5.5: P, M
o
nằm trong mặt phẳng đối xứng.
Rõ ràng tất cả mọi mặt cắt ngang thuộc đoạn AB của hai dầm chỉ có một thành phần mơ men uốn nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm mặt phẳng quán tính chính
trung tâm. Do đó, đoạn AB chịu uốn thuần túy.

5.2. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG.

Để tính ứng suất trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng, trước hết ta xét biến dạng của
dầm. 5.2.1. Quan sát biến dạng: Quan sát một dầm
chịu uốn thuần túy phẳng có mặt cắt ngang hình chữ nhật.
Trước khi cho dầm chịu lực, ta kẻ những đường thẳng song song với trục để biểu diễn các
thớ dọc và những đường thẳng vng góc với trục để biểu diễn các mặt cắt ngang hình 5.6a.
Khi có mô men uốn tác dụng vào hai đầu dầm, ta nhận thấy rằng những đường thẳng trước
kia song song với trục dầm thì bây giờ trở thành những đường cong và vẫn song song với trục dầm
Những đường thẳng trước kia vng góc với trục dầm, bây giờ vẫn vng góc với trục dầm. Như vậy, những góc vng vẽ trước khi biến dạng, thì sau biến dạng vẫn là góc
vng hình 5.6b. 5.2.2. Giả thuyết.
Từ các nhận xét trên, ta đưa ra hai giả thuyết sau để làm cơ sở tính tóan cho một thanh chịu uốn thuần túy:
a a
A
Hình 5.4: Dầm chịu uốn thuần tuý phẳng
M
O
M
O
M
x
M
O
B l
Hình 5.5: Dầm chịu uốn thuần tuý phẳng
P P
C A
B D
P P
P P
Q
y
M
x
Hình 5.6: Biến dạng của dầm chịu uốn
phẳng thuần tuý a
b
M
x
M
x
a b
c d
86 a Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng Bemili: Trước khi biến dạng mặt cắt
ngang của dầm là phẳng thì sau biến đạng vẫn phẳng và vng góc với trục dầm. b Giả thuyết về các thớ dọc: Trong q trình biến dạng, các thớ dọc khơng ép
lên nhau và cũng khơng đẩy xa nhau. Ngồi hai giả thuyết trên, ta còn giả thuyết rằng vật liệu làm việc trong giới hạn
đàn hồi, tức là vật liệu tn theo định luật Hooke. 5.2.3. Cơng thức tính ứng suất pháp:
Quan hệ biến dạng. Khi quan sát biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy như trên hình 5.6a, ta nhận thấy: Các thớ dọc phía trên trục dầm bị co lại thớ ab, các thớ dọc phía
dưới trục dầm bị giãn ra thớ cd. Như vậy, từ thớ bị co sang thớ bị giãn, chắc chắn sẽ có các thớ khơng bị co cũng khơng bị giãn, tức là thớ khơng biến dạng. Các thớ đó gọi là thớ trung
hòa hình 5.7a.
Các thớ trung hòa tạo thành một lớp được gọi là lớp trung hòa.
Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa. Vì các thớ trên bị nén, nên bề rộng của mặt cắt ở phía trên phình ra, còn các thớ
phía dưới chịu kéo nên bề rộng của mặt cắt ở phía dưới thu hẹp lại hình 5.7b. Mặt cắt ngang khơng còn ngun dạng hình chữ nhật như trước khi bị biến dạng. Đường trung
hòa là một đường cong nhưng vì biến dạng nhỏ, nên có thể coi mặt cắt sau khi biến dạng vẫn không đổi vẫn hình chữ nhật và coi đường trung hòa là đường thẳng và biến dạng
của dầm chịu uốn thuần túy là sự quay của các mặt cắt xung quanh đường trung hòa. Bây giờ, ta xét một đoạn dầm dz được cắt ra bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 hình 5.8a.
Sau biến dạng, theo giả thuyết mặt cắt ngang phẳng thì hai mặt cắt 1-1 và 2-2 vẫn
phẳng và vng góc với trục dầm, đồng thời quay với nhau một góc d ϕ. Gọi ρ là bán
kính cong của thớ trung hòa O
1
O
2
hình 5.8b. Vì thớ trung hòa khơng bị biến dạng nên: Hình 5.7: Biến dạng của dầm chịu uốn thuần tuý
ẳ Thớ trung
hoà Đường
trung
h à
y x
M
x
M
x
Lớp trung hoà
O
a b
Trục đối xứng
Đường trung hoà
a Thớ trung
h à
y d
z 1
2 O
2
O
1
2 1
m n
Hình 5.8: Xét sự biến dạng của một thớ
ρ y
d ϕ
Thớ trung hoà
m 1
2 n
O
1
O
2
1 2
b
87 O
1
O
2
ϕ ρ
= =
= d
O O
dz
2 1
Bây giờ, tính biến dạng dài của một thớ mn cách thớ trung hòa một khoảng cách y. Chiều dài của thớ này trước khi bị biến dạng:
ϕ ρd
dz mn
= =
và sau khi biến dạng : mn= ρ + y dϕ
Vậy, độ biến dạng dài tỉ đối của thớ mn bằng: ρ
= ϕ
ρ ϕ
ρ −
ϕ +
ρ =
ε y
d d
d y
z
Trong đó, giá trị của y và ρ đều chưa biết, vì vị trí của đường trung hòa còn chưa
xác định. Quan hệ vật lý: Ta hãy xét một mặt cắt nào đó, chẳng hạn mặt cắt 2-2. Mặt cắt
đó được biểu diễn như trên hình 5.9. Trên mặt cắt đó ta lập hệ tọa độ Oxyz với Ox là đường trung hòa, Oy là trục đối xứng của mặt cắt, Oz song song với trục của dầm. Chiều
của các trục như hình vẽ hình 5.9a.
Bây giờ, ta tách ra một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt
tọa độ. Phân tố đó được biểu diễn trên hình 5.9b. Theo giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng và với nhận xét các ô vuông sau khi biến dạng vẫn giữ góc vng, nghĩa là trên các mặt
cắt của phân tố khơng thể có ứng suất tiếp. Nói cách khác, trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có ứng suất pháp
σ
z.
.Theo giả thuyết về các thớ dọc thì σ
x
= σ
y
= 0. Như vậy, trạng thái ứng suất của một phân tố tách ra ở một điểm A nào đó trên
mặt cắt ngang là trạng thái ứng suất đơn. Định luật Hooke cho phép ta biểu diễn quan hệ giữa
σ
z
và ε
Z
như sau : ρ
ε σ
y E
E
z z
= =
b Quan hệ ứng suất và nội lực:
Xét một phân tố diện tích dF bao quanh điểm A. Phân tố nội lực tác dụng lên phân tố diện tích đó là
σ
z
dF. Nếu quy về gốc tọa độ O của hệ trục trên mặt cắt ngang đang xét, thì chúng ta
được các thành phần phân tố nội lực: dN
z
= σ
z
dF dM
y
= σ
z
dF ⋅x
dM
x
= σ
z
dF ⋅y
Vì chúng ta nghiên cứu dầm chịu uốn thuần túy phẳng, cho nên trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ có mơ men uốn M
x
; còn M
y
= 0 và N
z
= 0. Do đó : N
z
=
dF
F z
=
∫
σ c
y
σ
z
d F
d F
z x
x
y O
M
x
F
a
σ
z
σ
z
b Hình 5.9: Xác định ứng suất của dầm chịu uốn
thuần tuý phẳng
88 M
y
=
xdF
F z
=
∫
σ d
M
x
=
∫
F z
ydF
σ e
Trong đó các tích phân lấy trên tồn bộ diện tích F của mặt cắt ngang. a Lực trục N
Z
: Mang b vào c và chú ý tỉ số ρ
E là một hằng số ở trên mọi
điểm của mặt cắt ngang nên có thể đưa ra ngồi dấu tích phân : N
z
=
∫ ∫
= =
F F
ydF E
ydF E
ρ ρ
Rút ra S
x
=
∫
=
F
ydF
Trong đó, S
x
là mơ men tĩnh của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox. Điều đó chứng tỏ đường trung hòa Ox trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang.
b Mô men uốn M
y
: Mang b vào d ta có : M
y
=
∫ ∫
= =
F F
xydF p
E xydF
p E
Rút ra : J
xy
=
∫
=
F
xydF
Trong đó J
xy
là mơ men quán tính li tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục Oxy. Vậy, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.
c Mơ men uốn M
x
: Sau khi xác định vị trí đường trung hòa Ox, ta thiết lập cơng thức ứng suất pháp. Mang b vào e ta có:
M
x
=
∫ ∫
ρ =
ρ =
ρ
F F
x 2
2
J E
dF y
E dF
y E
Rút ra :
x x
EJ M
1 =
ρ 5-1
Trong đó EJ
x
: Độ cứng của dầm khi uốn. Khi thay 5-1 vào b ta được:
y J
M
x x
z
=
σ 5-2
Trong đó, M
x
: Mơ men uốn trên mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox và được coi là dương nếu làm căng các thớ ở về phía dương của trục y.
J
x
: Mơ men qn tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox .
y: Tung độ của điểm đang xét đến trục trung hòa Ox. Ứng suất pháp tính được mang dấu cộng là ứng suất kéo, mang dấu trừ là ứng suất
nén .Để thuận tiện cho việc tính tốn, chúng ta có thể viết 5-2 dưới dạng công thức kĩ thuật :
| y
| J
M
x x
z
± =
σ 5-3
Trong đó, ta lấy dấu + khi σ
z
là ứng suất kéo và dấu - khi σ
z
là ứng suất nén ở điểm chúng ta tính ứng suất.

5.3. BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT PHÁP - ỨNG SUẤT PHÁP LỚN NHẤT.