Bộ lọc tƣơng tự Butterworth: Bộ lọc Chebyshev

17
1
1 a
z s
T
H z H s

 

2.12
a
H s : là hàm hệ thống của bộ lọc tƣơng tự.
Ta hãy khảo sát phép nội suy của ánh xạ từ mặt phẳng z với 1
1 z
sT 

2.13
Khi 
biến thiên từ - ∞ đến ∞ quỹ tích tƣơng ứng của các điểm trong mặt phẳng z là một đƣờng tròn bán kính ½ và có tâm tại z = ½ nhƣ minh họa
Hình 2.3 : Ánh xạ s = 1 - z
-1
T biến LHP trong mặt phẳng s thành các điểm nằm bên trong đƣờng tròn bán kình ½ và tâm ½ trong mặt phẳng z

2.2. TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC TƢƠNG TỰ THÔNG THẤP

2.2.1. Bộ lọc tƣơng tự Butterworth:

Đây là mạch lọc thông thấp có đáp ứng biên độ
 
a
H

thỏa mãn đồ thị mạch lọc :
18
Hình: 2.4 Nhận xét:
- Bậc của bộ lọc n càng tăng thì càng gần với bộ lọc lý tƣởng. - Đáp ứng biên độ luôn bằng
1 2
ở tần số cắt với mọi giá trị của n. 
Vị trí các điểm cực: Ta biết rằng
2 2
a
s j
s
 
 
  Vì
   
a a
H s
H s
 
tính tại
s j


cho
 
2 a
a
H 
nên
   
 
2
1 1
a a
n
H s
H s
s 
  
Điểm cực dƣới đƣợc xác định bởi:
 
 
2 2
1 1
1
n n
n pk
pk
s s
     
 - Nếu n chẵn
2n pk
s = -1 =
 
2 1
j k
e
 
 
2 1
2 k
j n
pk
s e



k = 1,2,3…2n - Nếu n lẻ
 
2 1
2
1
j k
n pk
s e


 
   
2 1
1 2
1
k k
j j
n n
pk
s e
e
 
 
  
Vậy các điểm cực của
   
a a
H s
H s
 
sẽ nằm trên một vòng tròn trong mặt phẳng S. Vòng tròn này đƣợc gọi là vòng tròn Butterworth. Hai kết quả trên cũng có
thể góp chung thành 1 kết quả duy nhất là:
1 2 1
2 2
k j
n pk
s e

 
 
 
 

Với k = 1,2,3…2n
19
Để bảo đảm hệ thống là ổn định thì các điểm cực của
 
a
H s phải nằm bên
trái trục ảo. Vậy trong các điểm cực của
   
a a
H s
H s
 
ta sẽ chọn ra các điểm cực nằm bên trái trục ảo để làm cực của
 
a
H s đối với bộ lọc ổn định.
Ta có thể viết:
 
 
1 a
n pk
k
H H
s s
s

 

Ở đây: - Theo tần số chuẩn hóa
a ac
 
1 H

1 2 1
2 2
k j
n pk
s e

 
 
 
 

Với k = 1,2,3…n - Theo tần số khơng chuẩn hóa
n ac
H


1 2 1
2 2
k j
n pk
s e

 
 
 
 

Với k = 1,2,3…n
Hình: 2.5 
Gọi

là độ suy giảm của đặc tuyến mạch lọc tại tần số:
as

2 2
1 1
n as
 
 
20
2 2
as 10
as 10
2 2
1 1
2 log log
1
n
n 
 
 
 
 
 
 
 

10 2
10 as
1 log
1 2 log
n
 
 
 
 
 
Ví dụ 3:
Xác định bậc và điểm cực của mạch lọc thông thấp Butterworth tại tần số cắt 500 Hz và độ suy hao 40 dB tại 1000Hz.
Giải:
Gọi tần số cắt là:
ac

Tại 1000
2 500
ac

 
thì
40 0,01
dB

  
Vậy bậc của bộ lọc
 
4 10
10
log 10
1 6,64
2log 2 n
 

Chọn n=7 Vị trí điểm cực là:
1 2 1
2 2
k j
n pk
ac
s e


 
 
 
 

Với:
2 2 500 1000
ac ac
f 
 
 
 

1 2 1
2 14
1000
k j
pk
s e


  
 
 
 
 
 


k = 1,2…….7

2.2.2. Bộ lọc Chebyshev

Đối với bộ lọc này ta có hai loại: - Loại 1: đáp ứng biên độ gợn sóng ở dải thông , giảm đơn điệu ở dải chắn.
- Loại 2: đáp ứng biên độ giảm đơn điệu ở dải thông, gợn sóng ở dải chắn. Trƣớc hết ta xét đa thức Chebyshev
Theo định nghĩa:
 
cos cos
n
T x n
x n
 
 
 

Ta có các hệ thức:
   
 
1 1
2
n x
n x
n x
T T
xT
 
 
Vậy n = 0
 
os0 1
x
T c
 

21
n = 1
 
1
os
x
T c
x 
 

n = 2
   
 
2 2
1
2 2
1
x x
x
T xT
T x
 
 

n = 3
   
 
3 3
2 1
2 4
3
x x
x
T xT
T x
x 
 
 

a. Bộ lọc Chebyshev loại 1: