1. Trang chủ >
  2. Khoa Học Tự Nhiên >
  3. Vật lý >

Các cơng thức tốn học giải tích vectơ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (942.14 KB, 78 trang )


15

V
dV B
diV r
= 0 Vì thể tích V là tùy ý nên ta nhận được các phương trình Maxwell thứ ba và thứ
tư dạng vi phân sau:
6 5
= =
B div
D div
ρ
Phương trình 5 chỉ ra rằng: điện tích là nguồn của điện trường. Khi ≠
ρ đường sức điện trường khơng khép kín. Nó xuất phát từ điện tích dương và kết thúc
ở điện tích âm. Khi =
ρ điện trường sinh ra chỉ do từ trường biến thiên nên đường
sức của nó hoặc khép kín hoặc tiến ra vơ cùng. Phương trình 6 mơ tả trong tự nhiên khơng tồn tại từ tích. Đường sức của từ trường là khép kín hoặc tiến ra vơ cùng.

5.5.7. Năng lượng trường điện từ


Trường điện từ là một dạng đặc biệt của vật lý. Nó mang năng lượng và cũng như các dạng năng lượng khác năng lượng trường điện từ tuân theo định luật bảo
toàn. Năng lượng của trường điện từ bao gồm năng lượng điện điện năng và năng lượng từ từ năng phân bố trong không gian thể tích V theo biểu thức:
dV w
w dV
H E
W W
W
V M
e V
M e
∫ ∫
+ =
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ =
+ =
2 2
2 2
µ ε
W
e
, W
M
là điện năng và từ năng trong thể tích V. w
e
, w
M
là mật độ khối điện năng và mật độ khối từ năng. Năng lượng của trường điện từ có thể biến từ dạng điện sang dạng từ và ngược
lại, hoặc biến sang các dạng năng lượng khác và dịch chuyển trong không gian.

6. Các công thức tốn học giải tích vectơ


™ Gradien của một hàm vô hướng: dn
d n
grad
o
ψ =
,
o
n là vectơ pháp tuyến của mặt
const =
ψ hướng theo chiều tăng của
ψ . • Trong hệ tọa độ Đêcac:
z z
y y
x x
grad
o o
o
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= ψ
ψ ψ
ψ • Trong hệ tọa độ trụ:
z z
r r
r grad
o o
o
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= ψ
ϕ ψ
ϕ ψ
ψ 1
• Trong hệ tọa độ cầu: ϕ
ψ θ
ϕ θ
ψ θ
ψ ψ
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= sin
1 1
r r
r r
grad
o o
o
™ Divecgence của một vectơ A : V
s d
A A
div
S V
∆ =

→ ∆
lim , S là mặt kín bao thể tích
V ∆ .
16 • Trong hệ tọa độ Đêcac:
z a
y A
x A
A div
z y
x
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= • Trong hệ tọa độ trụ:
z A
A r
rA r
r A
div
z r
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= ϕ
ϕ
1 1
• Trong hệ tọa độ cầu: ϕ
θ θ
θ θ
ϕ θ
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= A
r A
r A
r r
r A
div
r
sin 1
sin sin
1 1
2 2
™ Rot của một vectơ A : S
dl A
im l
A rot
L S
n
∆ =

→ ∆
• Trong hệ tọa độ Đêcac:
z y
x o
o o
A A
A z
y x
z y
x A
rot ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ =
• Trong hệ tọa độ trụ:
z r
o o
o
A rA
A z
r z
r r
r A
rot
ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= 1
• Trong hệ tọa độ cầu:
ϕ θ
θ ϕ
θ ϕ
θ θ
θ A
r rA
A r
r r
r r
A rot
r o
o o
sin sin
sin 1
2
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
=
™ Toán tử Hamintơn hay Nabla trong hệ tọa độ cong trực giao
3 3
03 2
2 02
1 1
01
1 1
1 q
h q
q h
q q
h q
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= ∇
™ Toán tử vi phân bậc hai Laplace của một hàm vơ hướng • Trong tọa độ Đêcac:
2 2
2 2
2 2
2
z y
x ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
∇ ψ
ψ ψ
ψ • Trong hệ tọa độ trụ:
2 2
2 2
2 2
1 1
z r
r r
r r
∂ ∂
+ ∂
∂ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
∂ ∂
= ∇
ψ ϕ
ψ ψ
ψ • Trong hệ tọa độ cầu:
2 2
2 2
2 2
2 2
sin 1
sin sin
1 1
ϕ ψ
θ θ
ψ θ
θ θ
ψ ψ
∂ ∂
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ ∂
∂ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
∂ ∂
= ∇
r r
r r
r r
™ Các định lý
17 • Định lý Ơtstrơgratski- Gauxơ:
S d
A dV
A div
S V
∫ ∫
= Trong đó, S là mặt kín bao thể tích V,
dS n
S d
o
= ,
o
n là vectơ đơn vị pháp tuyến ngồi của mặt S.
• Định lý Grin- Stôc: l
d A
S d
A rot
L S
∫ ∫
= Trong đó, l là chu vi kín bao diện tích S, chiều đi dọc theo chu vi kín L được
lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ đầu cuối của vectơ pháp tuyến
o
n của diện tích S.

Chương II Phân loại và phương pháp giải bài tập 1. Cơ sở phân loại bài tập


1.1. Đặc điểm của môn học


Điện động lực học, là một môn học thuộc bộ mơn vật lý lý thuyết. Vì vậy nó có những đặc điểm chung của ngành vật lý lý thuyết. Một trong những đặc điểm nổi bật
đó là vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phương pháp tốn học. Vì vậy, Động lực học nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung có hai nhiệm vụ chính:
¾ Diễn tả các quy luật vật lý dưới dạng các hệ thức định lượng và thành lập mối liên hệ nội tại giữa các sự kiện quan sát được trong thực nghiệm, xây dựng những lý
thuyết tổng quát bao gồm nhiều sự vật, hiện tượng thuộc một hoặc nhiều lĩnh vực của điện, từ và giải thích được một phạm vi rộng rãi nhiều hiện tượng vật lý.
o Lý thuyết điện từ của Maxwell đã thống nhất hai mặt tương tác cơ bản
tương tác điện và từ trên cơ sở quan điểm về tính liên tục của các phân bố điện tích, dòng điện và khơng gian tồn tại của trường, ở đó bỏ qua cấu trúc phân, nguyên tử của
các vật thể và tính gián đoạn của các điện tích.
o Thuyết electron, cũng là lý thuyết và các hiện tượng điện từ nhưng ở đó
có xét đến cấu trúc gián đoạn của điện tích và cấu trúc phân nguyên tử của không gian.
o Thuyết tương đối là thuyết tổng quát hơn cho phép chúng ta hiểu được
thực chất của điện động lực học và các mô tả của chúng gần với thực tiễn tồn tại của chúng hơn.
¾ Dùng phương pháp tốn học để diễn tả và biển diễn các hiện tượng, quy luật vật lý và hơn thế nữa, bằng phương pháp tốn học để tìm ra những quy luật mới,
những quy luật tổng quát hơn các quy luật đã biết, dự đoán được những mối quan hệ mới giữa các hiện tượng vật lý mà thực nghiệm chưa chứng minh được.
Phương pháp toán học trong điện động lực học cũng có những đặc điểm riêng, một trong những đặc điểm đáng lưu ý nhất đó là tính gần đúng của các nghiệm vật lý
trong phương trình tốn học, sự vật và hiện tượng tồn tại trong nhiều mối quan hệ ràng buộc phức tạp, do đó cần phải lựa chọn những tương quan chủ yếu để lựa chọn
nghiệm vật lý phù hợp.
Khi giải một bài tốn thơng thường là một trường hợp riêng, cá biệt đó là một quá trình chuyển hố từ cái tổng qt, trừu tượng về cái cụ thể, đơn lẻ, từ cái chung

Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (78 trang)

×