1. Trang chủ >
  2. Khoa Học Tự Nhiên >
  3. Vật lý >

Phân loại và giải bài tập a Bài tập hiểu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (942.14 KB, 78 trang )


41 ĐS:
1 2
1 1
2 2
R R
R E
R R
R E
= =
ε π
χ ε
π χ
Bài 6 : Một tụ điện trụ được đặt đứng trong một điện môi lỏng. Lớp điện môi giữa
hai bản được nâng lên độ cao h. Biết bán kính của tụ điện là R
1
và R
2
, hiệu điện thế giữa hai bản là φ. Tính hằng số điện mơi của chất lỏng nếu trọng lượng riêng của nó
là δ .
ĐS:
1 2
2 2
1 2
2
ln R
R h
R R
o
δ ϕ
ε ε
∆ −
+ =
2.2. Trường tĩnh từ 2.2.1. Cơ sở lý thuyết
Trạng thái riêng quan trọng thứ hai của trường điện từ là từ trường dừng. Từ trường dừng do các dòng dừng và các nam châm vĩnh cửu gây ra. Nhưng xét về mặt
ứng dụng trong khoa học kỹ thuật, từ trường dừng do các dòng dừng gây ra có tầm quan trọng hơn.
Tương tự như trường tĩnh điện, quy luật phân bố của trường, không gian tồn tại của trường cũng phụ thuộc vào quy luật phân bố của nguồn. Do đó, trong chương
này chúng ta cũng cần xác định: quy luật phân bố của nguồn, ảnh hưởng của phân bố đến không gian; quy luật phân bố của trường trong chân không, trong từ môi và khi
chuyển từ từ môi này sang từ môi khác; xét trường trên cả hai quan điểm: năng lượng và tương tác; sự chồng chất của nguồn của trường và trường.
Theo tư tưởng đó, có thể phân các bài tập thành các loại: ™ Tìm trường của dòng điện khơng đổi với các phân bố khác nhau.
™ Tìm các lực tác dụng trong trường và tìm năng lượng của trường. ™ Trường của nam châm vĩnh cửu.

2.2.2. Phân loại và giải bài tập a Bài tập hiểu


Ở mức bài tập hiểu này, chúng ta sẽ giải các bài tập tìm trường, tìm lực tác dụng, tìm năng lượng của một số phân bố đơn giản.
Bài toán 1: Một cung tròn bán kính r, gốc ở tâm là
α, mang dòng điện I khơng đổi trong chân khơng. Xác định vectơ cảm ứng từ tại tâm của cung tròn.
¾ Mục tiêu: Hiểu cơng thức xác định cảm ứng từ cho một phần tử dòng điện. Áp dụng nguyên lý chồng chất cho một phân bố liên tục.
¾ Lời giải: Để sử dụng định luật Biôt- Savar- Laplace, chúng ta phải chia phân bố thành
những phần tử dòng điện. Sau đó, dùng ngun lý chồng chất để xác định trường do cả phân bố gây ra.
42

B
d
M
r L

j
Chia cung tròn thành những vi phân dl. Phần tử
l Id gây ra ở O một vectơ cảm ứng từ:
3
4 r
r l
Id B
d
o
∧ =
π µ
Với mọi l
Id đều gây ra tại O các vectơ B
d cùng phương,
cùng chiều, nên: L
r I
dl r
I dB
B
o L
o L
2 2
4 4
π µ
π µ
= =
=
∫ ∫
R I
R R
I B
o o
α π
µ α
π µ
4 4
2
= =
¾ Nhận xét: Qua bài tốn, chúng ta sử dụng định luật Biôt- Savar- Laplace và nguyên lí
chồng chất để tìm trường do một phân bố dòng gây ra. Bài tốn u cầu chúng ta tìm trường tại tâm cung tròn, vận dụng tương tự
chúng ta có thể tìm trường ở những điểm khác theo yêu cầu của đề bài. Ngoài ra, chúng ta cũng sử dụng cách giải tương tự để tìm trường của một phân bố dòng điện
thẳng dài hữu hạn hay vơ hạn.
Bài tốn 2: Một dòng điện mật độ j chạy dọc theo một vật dẫn hình trụ tròn đặc.
Xác định cảm ứng từ B tại điểm M trong vật dẫn cách trục hình trụ một khoảng r. ¾ Mục tiêu: Áp dụng định lí dòng tồn phần xác định trường của một phân bố
có dạng đối xứng trụ. ¾ Lời giải:
Sự phân bố dòng điện có dạng đối xứng trụ, do đó cảm ứng từ tại mọi điểm trên mặt trụ đồng trục với trục dây dẫn sẽ có độ lớn bằng
nhau. Ta chọn đường lấy lưu thơng là đường tròn bán kính
r, đi qua M, tâm nằm trên trục hình trụ, áp dụng định lí dòng tồn phần, ta có:
2
r j
I l
d H
L
π =
=

Vì H và l
d cùng phương chiều và trên đường lấy lưu thơng H có độ lớn không đổi, nên:
r H
dl H
l d
H
L L
π 2
= =
∫ ∫
Suy ra: 2
jr H
=
α r

B
d l
Id
O

43 Áp dụng cơng thức
B H
o
µ 1
= và chú ý đến phương chiều của H và B , ta có:
[ ]
2 , r
j H
B
o o
µ µ
= =
r là bán kính vectơ hướng từ O đến M.
¾ Nhận xét: Với các phân bố có dạng đối xứng trụ như bài tốn 2, thì chúng ta sẽ dễ dàng hơn trong việc giải nhờ định lí dòng tồn phần.
Bài tốn 3: Trong một mặt phẳng vng góc với các đường cảm ứng từ của một
từ trường đều B, người ta đặt một dây dẫn uốn thành nửa vòng tròn. Dây dẫn dài a trong có dòng điện I chạy qua. Xác định độ lớn của lực từ F tác dụng lên dây dẫn.
Cho rằng dây cứng và bỏ qua biến dạng.
¾ Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm tương tác. Áp dụng nguyên lý chồng chất cho một phân bố liên tục.
¾ Lời giải: Mỗi phần tử
l Id
chịu tác dụng của lực từ
F d
có phương hướng tâm nên có
tính chất đối xứng qua On. Xét phần tử
l Id
chịu lực từ F
d có phương qua tâm vòng
dây, chiều hướng ra xa tâm, và độ lớn:
IBdl dF
= l
Id vng góc với B
Theo nguyên lí chồng chất:
∫ ∫

+ =
=
n t
F d
F d
F d
F tích phân trên nửa đường tròn
Vì lí do đối xứng, nên: =

t
F d
Các vectơ
n
F d
đều cùng phương cùng chiều, do đó:
∫ ∫

= =
= α
α sin
sin BIdl
dF dF
F
n
Với α
π d
a dl
=
π π
α π
α α
π
π
BIa BIa
d BIa
F 2
cos sin
= −
= =


l Id
l Id

n F
d

F
d
I


B

n F
d
d α
α

F
d

t F
d
→ →
∫ =
n
F F
O
n
44 ¾ Nhận xét: Qua bài tốn chúng ta đã tìm lực tác dụng của từ trường lên một
đoạn dây dẫn mang dòng điện. Ngồi ra, chúng ta có thể áp dụng tương tự để tính lực của từ trường tác dụng lên dòng điện kín.
Bài tốn 4: Tính năng lượng từ trường do dòng điện thẳng rất dài cường độ I,
trong một hình trụ bán kính R, chiều cao h đặt trong khơng khí nhận dây dẫn làm trục đối xứng.
¾ Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm năng lượng. ¾ Lời giải:
Vì dây dẫn dài nên trường có phân bố đối xứng trụ. Chọn đường tròn L, bán kính r, tâm nằm trên dòng
điện, chiều của L trùng với chiều của đường cảm ứng từ. Áp dụng định lí dòng tồn phần:
I l
d H
L
=

Trên đường lấy lưu thơng, H có độ lớn khơng đổi, nên:
r I
H I
r H
I dl
H
L
π π
2 2
= →
= ⇔
=

r H
H B
o o
π µ
µ 2
= =
Chọn dV là lớp trụ đồng trục với hình trụ đã cho có bán kính từ r đến r + dr. hrdr
dV π
2 =
R I
h r
dr h
I hrdr
r I
r I
BHdV W
o R
o V
o V
ln 4
4 1
2 2
2 2
1 2
1
2 2
µ π
π µ
π π
π µ
= =
= =
∫ ∫

¾ Nhận xét: Từ trường ln mang năng lượng. Qua bài tốn này, chúng ta đã tìm năng lượng từ trường của một phân bố đối xứng trụ. Áp dụng cách giải tương tự,
chúng ta sẽ tìm năng lượng từ trường của các phân bố có dạng khác. ˆ
Kết luận: Trong mức độ bài tập hiểu, chúng ta đã tiến hành giải các bài tập
như tìm trường, tìm lực tương tác, tìm năng lượng của một số phân bố đơn giản. Đối với các phân bố không đối xứng thì chúng ta chia phân bố thành những phần tử nhỏ
rồi sử dụng định luật Biôt- Savar- Laplace để tìm trường của phân bố. Còn đối với những phân bố đối xứng, việc giải có phần nhẹ nhàng hơn khi ta sử dụng định lí
dòng tồn phần. Sau khi đã giải một số bài tập ở phần này, người học sẽ hiểu các kiến thức mà mình được học.
b Bài tập vận dụng
Ở bài tập vận dụng, chúng ta sẽ vận dụng những kiến thức, những kết quả ở bài tập hiểu để giải quyết những bài tốn có nội dung u cầu cao hơn.
Chúng ta sẽ tìm trường của một số phân bố tương đối phức tạp hơn các phân bố ở bài tập hiểu, tìm các lực và năng lượng của từ trường.
B d
L M
r O
I
R h
45
Bài tốn 1: Một phân bố dòng có dạng tam giác đều cạnh a, mang cường độ
dòng điện I đặt trong chân khơng. Tính cảm ứng từ và cường độ từ trường tại tâm của tam giác.
¾ Mục tiêu: Áp dụng định luật Biơt- Savar- Laplace xác định trường do nhiều phân bố dòng rời rạc gây ra.
¾ Lời giải: Vectơ cảm ứng từ B do dòng điện kín
ABCA gây ra tại điểm O có thể xem là kết quả chồng chất từ trường gây ra bởi
các đoạn mạch:
1
B do cạnh AB,
2
B do
cạnh BC và
3
B do cạnh CA. Theo nguyên lí chồng chất, ta có:
3 2
1
B B
B B
+ +
= Cảm ứng từ
1
B do AB gây ra tại O: Chia đoạn AB thành những vi phân dl.
Phần tử l
Id gây ra tại O một vectơ:
3 1
4 r
r l
Id B
d
o
∧ =
π µ
Với mọi l
Id đều gây ra tại O các vectơ
1
B d
cùng phương, cùng chiều, nên:

=
L o
r Idl
B
2 1
sin 4
θ π
µ Trong đó:
θ θ
π θ
θ θ
θ θ
π θ
sin sin
sin sin
2
h r
r h
d h
dl tg
h h
tg tg
= →
= −
= =
→ −
= →
− =
− −
= l
l
Suy ra:
6 6
5 2
2 2
1
cos 6
3 4
sin 4
sin sin
sin 4
6 5
6 6
5 6
π π
θ π
µ θ
θ π
µ θ
θ θ
θ π
µ
π π
π π
− =
= =
∫ ∫
a I
d h
I h
d h
I B
o o
o
T a
I a
I
o o
π µ
π µ
2 3
2 3
2 3
3 2
3 =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ =
46 Do
3 2
1
B B
B ↑↑
↑↑ và vì tam giác ABC đều nên: B
1
=B
2
=B
3
Vậy:
2 3
2 1
3 B
B B
B B
= +
+ =
a I
B B
o
π µ
2 9
3
1
= =
Cường độ t trng:
a I
B H
B H
o o
à
à 2
9 =
= =
ắ Nhận xét: Chúng ta đã vận dụng cách giải của bài toán 1 ở mức bài tập hiểu để xác định trường do ba phân bố dòng rời rạc gây ra. Ngồi ra, chúng ta có thể ứng
dụng để tìm trường do nhiều phân bố dòng rời rạc, và có các hình dạng khác nhau.
Bài tốn 2: Tính thế vectơ và từ trường tạo bởi một dòng điện một chiều I chạy
theo một dây dẫn hình trụ vơ hạn tiết diện tròn bán kính a. Hệ số từ thẩm của dây bằng
o
µ và của mơi trường bao quanh vật dẫn là µ . Giải bài tập bằng phương trình Poisson của thế vectơ A .
¾ Mục tiêu: Trong bài tập này, chúng ta tìm trường của một phân bố đối xứng trụ. Ngồi ra, chúng ta còn làm rõ mối quan hệ của thế vectơ và cảm ứng từ. Thêm
vào đó chúng ta sẽ thấy được sự phân bố của trường khi chuyển từ điện môi này sang điện mơi khác.
¾ Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ trụ, có Oz trùng với trục của hình trụ. Mặt phẳng xOy chứa
điểm cần xét. Ta có:
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ =
= =
z z
r y
r x
ϕ ϕ
sin cos
Vì tính chất đối xứng trụ, nên: r
A z
r A
= ,
, ϕ
a r
≤ ≤
: Phương trình Poisson trong tọa độ trụ: j
A
o t
µ −
= ∆
j z
A A
r r
A r
r r
o t
t t
µ ϕ
− =
∂ ∂
+ ∂
∂ +
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
∂ ∂

2 2
2 2
2
1 1
Chiếu lên trục tọa độ, ta được: j
A
o zt
µ −
= ∆
; =

t
A
ϕ
; =

rt
A Từ đó, ta được: A
zt
, A
ϕt
=const. Ta chọn: A
zt
=0, A
ϕt
=0 ϕ
x y
z
r O
j
M
47 j
dr dA
r dr
d r
o zt
µ −
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⇔
1
jrdr dr
dA r
d
o zt
µ −
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⇔
C r
j dr
dA r
o zt
+ −
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⇔
2
2
µ dr
r C
dr r
j dA
o zt
+ −
= ⇔
2 µ
D r
C r
j A
o zt
+ +
− =
⇔ ln
4
2
µ a
r ≥ : Phương trình Laplace trong tọa độ cầu:
= ∆
n
A Tương tự ta có:
1 =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⇔ dr
dA r
dr d
r
zn
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⇔
dr dA
r d
zt
E dr
dA r
zn
= ⇔
F r
E A
zn
+ =
⇔ ln
Điều kiện liên tục: + Từ trường tại tâm bằng 0:
= →
= =
C r
B
t
+ Chọn thế ở tâm bằng 0: =
→ =
= D
r A
zt
+ a
r B
a r
B
n t
= =
= j
a E
a E
a j
µ µ
2 2
2
− =
→ =
− ⇔
+ a
r A
a r
A
zn zt
= =
= a
j a
a j
a E
a j
F F
a E
a j
o o
o
ln 2
4 ln
4 ln
4
2 2
2 2
µ µ
µ µ
+ −
= −
− =
→ +
= −

48 Vậy:
2 2
2 2
4 4
4 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
= −
= −
= a
r I
r a
I r
j A
o o
o zt
π µ
π µ
µ
a a
j a
j r
a j
A
o zn
ln 2
4 ln
2
2 2
2
µ µ
µ +
− −
=
a r
a a
I a
a I
a r
a j
a j
o o
ln 2
4 ln
2 4
2 2
2 2
2 2
π µ
π µ
µ µ
− −
= −
− =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ −
= a
r I
A
o zn
ln 2
4 µ
µ π
Cảm ứng từ B:
r A
e r
A e
A e
A z
r e
e e
A rot
B
z z
z r
z z
r
∂ ∂
− =
∂ ∂
− ∂
∂ =
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= =
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
Chỉ có từ trường theo phương của ϕ :
2
2 a
Ir B
o t
à
= ;
r I
B
n
à
2 =
ắ Nhận xét: o
Qua bài tốn, chúng ta đã tìm trường và thế vectơ của một đối xứng trụ. Nhưng không phải dùng phương tiện là định lí dòng tồn phần, mà dùng phương
trình Poisson của thế vectơ. Việc sử dụng phương trình Poisson của thế vectơ có phức tạp hơn nhiều so với những phương tiện khác.
o Ngoài ra, qua bài toán chúng ta thấy được mối quan hệ giữa thế vectơ và
cảm ứng từ, chúng ta làm rõ quy luật biến đổi của trường khi chuyển từ điện mơi này sang điện mơi khác.
Bài tốn 3: Một vật dẫn hình trụ tròn dài vơ hạn, có một lỗ hổng cũng hình trụ
dài vơ hạn tiết diện tròn của lỗ hổng hồn tồn nằm trong vật dẫn; Một dòng điện không đổi, mật độ j chạy dọc theo vật dẫn. Tìm cảm ứng từ bên trong lỗ hổng.
¾ Mục tiêu: Vận dụng nguyên lý chồng chất theo hình thức mới để xác định trường.
¾ Lời giải: Ta xét trường hợp tổng quát khi M khơng trùng với trục O’ của khoảng rỗng.
Theo ngun lí chồng chất: cảm ứng từ B
tại M trong khoảng rỗng bằng cảm ứng từ B trước khi khoét lỗ trừ đi cảm ứng từ
B do thành phần dòng điện bị khoét gây ra
tại M. ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛− +
= B
B B
1
49 Tính B :
Sự phân bố dòng điện có dạng đối xứng trụ, do đó cảm ứng từ tại mọi
điểm trên mặt trụ đồng trục với trục dây dẫn sẽ có độ lớn bằng nhau.
Ta chọn đường lấy lưu thơng là đường tròn bán kính r, đi qua M, tâm
nằm trên trục hình trụ, áp dụng định lí dòng tồn phần, ta có:
2
r j
I l
d H
L
π =
=

Vì H và l d cùng phương chiều và
trên đường lấy lưu thơng H có độ lớn không đổi, nên: r
H dl
H l
d H
L L
π 2
= =
∫ ∫
Suy ra: 2
jr H
= Áp dụng công thức
B H
o
µ 1
= và chú ý đến phương chiều của H và B , ta có:
[ ]
2 , r
j H
B
o o
µ µ
= =
r là bán kính vectơ hướng từ O đến M. Tính
B :
Tương tự như trên, gọi r
là bán kính vectơ có gốc ở O’ ngọn ở M, ta được:
2 ,
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
= r
j B
o
µ Thay B và
B vào 1, ta được:
[ ]
d j
r r
j B
o o
, 2
2 µ
µ =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
= d
là vectơ hướng từ O sang O’. ¾ Nhận xét:
o Để giải bài toán, chúng ta đã xây dựng một phân bố mới tạo ra trường
tương đương theo nguyên tắc của định luật Ohm

=
i i
I I
. Sau khi chuyển về phân bố tương đuơng việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn.
50 o
Ở mức độ hiểu, chúng ta đã tìm trường do một phân bố đối xứng trụ gây ra. Ở bài tập này, chúng ta đã vận dụng cách làm đó để tính trường do hai phân bố
đối xứng trụ gây ra. Do đã làm quen một phần đầu, nên khi gặp bài toán, chúng ta cũng thấy dễ hiểu hơn và thuận lợi trong khi giải.
Bài tốn 4: Một khung dây hình vng ABCD trong có dòng điện I
1
, được đặt cách một dây dẫn thẳng dài vơ hạn MN trong có dòng điện I
2
. Khung ABCD và dây MN cùng nằm trên một mặt phẳng và cạnh ADMN. Mỗi cạnh khung dài b, và
khoảng cách giữa AD và MN là a. Xác định lực từ tác dụng tương hỗ giữa khung dây và dây dẫn. Tính cơng của các lực từ thực hiện được khi ta dịch chuyển khung dây ra
vô cực. Cho rằng khi khung dây chuyển động I
1
và I
2
giữ không đổi. ¾ Mục tiêu: Xác định lực do từ trường tác dụng lên khung dây, ngồi ra chúng
ta còn tìm công của lực từ khi di chuyển khung dây ra vơ cực.
¾ Lời giải: Tính lực F:
Để tính lực tương tác giữa dây MN và khung ABCD, ta chỉ cần tính lực do MN
tác dụng lên khung. Do hai lực đó bằng nhau.
Chọn chiều của I
1
và I
2
như hình vẽ. Lực từ do dòng điện I
2
tác dụng lên khung ABCD bằng tổng các lực do I
2
tác dụng lên từng đoạn mạch AB, BC, CD và DA.
Theo nguyên lí chồng chất:
4 3
2 1
F F
F F
F +
+ +
= Chiều của
1
F ,
2
F ,
3
F ,
4
F được xác định
như trên hình. Vì dòng điện I
1
chạy qua AB và CD là như nhau, độ dài của AB = CD = b, và chúng được đặt trong từ trường có vectơ B ở những điểm tương ứng của chúng đều
bằng nhau, nên:
4 3
= + F
F Từ đó, ta có:
2 1
F F
F +
= + Tìm
1
F :
Sử dụng định lí dòng tồn phần ta tính được trường do I
2
gây ra tại một điểm trên cạnh DA là:
a I
B
o
π µ
2
2 1
= Do tính chất đối xứng trụ nên từ trường này
51 là như nhau tại mọi điểm trên đoạn DA.
Lực từ do I
2
gây ra trên phần tử dòng l
d I
1
của DA là:
1 1
1
B l
d I
F d
∧ =
Ta có: l
d I
1
vng góc với
1
B .
Suy ra: a
b I
I b
B I
dl B
I F
o b
π µ
2
2 1
1 1
1 1
1
= =
=

+ Tính
2
F :
Tương tự như cách tính F
1
, ta tính được: b
a b
I I
b B
I dl
B I
F
o b
+ =
= =

π µ
2
2 1
2 1
2 1
2
Vì hai lực
1
F và
2
F cùng phương, ngược chiều và F
1
F
2
, nên: b
a a
b I
I b
a a
b I
I F
F F
o o
+ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ −
= −
= π
µ π
µ 2
1 1
2
2 2
1 2
1 2
1
, F cùng chiều với
1
F . Tính cơng:
Khi đưa khung dây tịnh tiến dọc theo trục Ox, lực F
1
thực hiện cơng dương A
1
còn lực F
2
thực hiện công âm A
2
. Công do các lực thực hiện: dx
F dx
F A
A A
b a
a
∫ ∫
∞ +

− =
+ =
2 1
2 1
∫ ∫
∫ ∫
+ ∞
+ ∞
+ +
= −
+ =
b a
a b
a b
a b
a a
F dx
F dx
F dx
F A
1 2
1 1
b b
a b
I I
x dx
b I
I A
o b
a a
o
+ =
=

+
ln 2
2
2 1
2 1
à
à
ắ Nhn xột: Qua bi toỏn, chỳng ta đã đạt được mục tiêu đặt ra. Chúng ta đã vận dụng cách tìm lực tác dụng lên một dòng điện thẳng để tìm lực tác dụng lên một
khung dây kín, bên cạch đó chúng ta lại tiếp tục vận dụng để tính cơng của lực từ sinh ra.
Bài tốn 5: Một dòng điện thẳng dài vơ hạn I
1
, và một dòng điện tròn I
2
bán kính a nằm trong cùng một mặt phẳng. Khoảng cách từ tâm vòng tròn đến dây điện thẳng
dài bằng ba. Tìm lực tác dụng lên dòng điện tròn. ¾ Mục tiêu: Ở bài tốn này, chúng ta tìm lực tác dụng của từ trường lên một
dòng điện tròn bằng cách áp dụng định nghĩa về cơng của lực từ. ¾ Lời giải:
Từ trường do I
1
gây ra tại một điểm trên đường tròn:
52 θ
π µ
π µ
cos 1
2 2
1 1
1
r b
I h
I B
o o
− =
= Năng lượng của dây điện tròn I
2
đặt trong từ trường của dây điện I
1
bằng:
∫ ∫ ∫
− =
=
a o
S
r b
rdrd I
I S
d B
I W
2 2
1 1
2
cos 4
2 1
π
θ θ
π µ
B
1
vng góc với dS.
2 2
2 1
2 a
b b
I I
o
− −
= µ
θ rdrd
dS =
Lực tác dụng lên dây điện tròn: ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
− =
∂ ∂
− =
1 2
2 2
2 1
a b
b I
I b
W F
o
à
ắ Nhn xột: bi toỏn ny, chỳng ta lại có thêm một cách tính lực tác dụng của từ trường. Trong bài, chúng ta không dùng cách tính như bài tốn thứ tư, vì nếu áp
dụng cách tính đó sẽ phức tạp hơn nhiều. Tuy bài tốn yêu cầu tìm lực tác dụng của từ trường, nhưng thơng qua đó chúng
ta cũng đã khảo sát trường theo quan điểm năng lượng. ˆ
Kết luận: Qua mức bài tập này, chúng ta đã nâng mức độ nhận thức của
mình lên một bậc, khi giải các bài tập tìm trường của một số phân bố phức tạp và các bài tập tìm lực tương tác, tìm năng lượng khác. Ngồi hai phương tiện mà chúng ta
đã nói trên định luật Biơt- Savar- Laplace và định lí dòng tồn phần, còn một phương tiện nữa đó là sử dụng phuơng trình Poissn của thế vectơ. Giải theo phương
tiện này thì phức tạp hơn, nhưng đây là phương tiện thường dùng trong Điện động lực, vì thế chúng ta cần hiểu rõ.
c Bài tập phân tích tổng hợp
Ở mức bài tập phân tích tổng hợp này, chúng ta sẽ tìm trường của các phân bố phức tạp hơn các phân bố của bài tập trước. Và chúng ta sẽ tìm trường của nam châm
vĩnh cửu.
Bài toán 1: Một quả cầu bán kính a, mang điện tích e phân bố đều trên mặt của
nó và quay chung quanh một đường kính với vận tốc gốc ω . Tính từ trường bên
trong và bên ngồi của quả cầu. ¾ Mục tiêu: Xác định trường của một quả cầu chuyển động quay.
¾ Lời giải: Mật độ điện tích mặt của quả cầu:
2
4 a e
π σ =
Khi quay, trên quả cầu xuất hiện dòng điện mặt, mật độ j.
53 Thế vectơ tạo bởi dòng điện đó:

− =
S o
r r
S d
j A
. 4
π µ
Trong đó: dS là diện tích ngun tố của quả cầu.
r là tọa độ của điểm tính trường.
r là tọa độ của mẫu dS. Mặt khác ta có:
S d
a S
d j
. ω
σ =
Suy ra: ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ −
=

S o
r r
S d
a A
4 ω
σ π
µ
Theo cơng thức:
∫ ∫
∇ =
dV dS
n ϕ
ϕ
∫ ∫
− −∇
= −

V S
r r
dV r
r S
d dấu - vì tích phân lấy theo tọa độ của dS
Ngồi ra ta có:

− ∇
− =
V o
o
r r
dV E
4 1
πε E
o
là điện trường trong chân khơng bởi quả cầu tích điện đều, mật độ điện khối là a.
⎪ ⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎨
⎧ =
a r
r r
a a
r r
E
o o
o
, 3
, 3
1
3 2
ε ε
Từ đó ta có:
o o
o
E a
A ∧
= ω
σ µ
ε
Hay ⎪
⎪ ⎩
⎪⎪ ⎨
⎧ ∧
∧ =
a r
r r
a a
r r
a A
o o
, 3
, 3
3 4
ω σ
µ ω
σ µ
Mà A
rot B
= , tính toán ta được:
⎪ ⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎨

= =
= a
r r
r r
r a
r a
e a
B
o o
o o
, 4
4 .
3 ,
6 3
2
3 5
π µ
µ π
µ µ
π ω
µ ω
σ µ
54 Với
ω µ
2
2
ea =
là mômen từ của quả cầu. ¾ Nhận xét: Từ việc tìm thế vectơ A , thơng qua mối quan hệ giữa A và B
chúng ta sẽ tìm được B . Việc giải bài tốn còn gặp nhiều khó khăn vì chúng ta phải sử dụng các cơng thức có dấu vectơ, và sử dụng phương tiện mới so với các bài tập
khác.
Bài toán 2: Xác định năng lượng trên một đơn vị dài của một đường dây điện
kép. Đường dây gồm hai dây dẫn thẳng song song, bán kính của chúng là a và b, khoảng cách giữa các trục của các dây dẫn là h. Trong các dây dẫn có các dòng điện I
cường độ như nhau nhưng chiều ngược nhau.
¾ Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm năng lượng. ¾ Lời giải:
Năng lượng trên một đơn vị dài của đường
dây được tính theo cơng thức:

=
V
dV j
A W
. 2
1 Theo bài toán 2 của
bài tập vận dụng, ta tính được thế vectơ của dây
dẫn mang dòng điện:
Đối với dây dẫn 1:
a r
a r
I A
a r
r a
I A
o z
o z
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
− =
− =
1 1
2 1
2 1
2 1
, ln
2 1
4 ,
4 π
µ π
µ
Đối với dây dẫn 2:
b r
a r
I A
b r
r a
I A
o z
o z
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
= =
2 2
2 2
2 2
2 1
, ln
2 1
4 ,
4 π
µ π
µ
Vì j
A ↑↑ , ta được:
2 2
1 2
1 2
1 2
2 1
2 2
dS A
A b
I dS
A A
a I
W
S z
z S
z z
∫ ∫
+ −
+ =
π π
Thay các giá trị của thế vectơ vào, ta tính được năng lượng:
55 ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
= ab
h I
W
2 2
ln 2
1 2
1 ¾ Nhận xét: Chúng ta sử dụng kết quả của thế vectơ ở bài tập vận dụng, sau đó
đưa vào biểu thức tính năng lượng. Chúng ta tính các giá trị của tích phân và sẽ tìm được giá trị của năng lượng.
Bài tốn 3: Một nam châm vĩnh cửu hình trụ, tròn, thẳng, dài l, đường kính d.
Biết cảm ứng từ tại cực của nam châm có độ lớn B. Hãy xác định vectơ từ hóa J , biết rằng nam châm được từ hóa đều và vectơ J nằm dọc theo trục của nam châm.
Xác định cảm ứng từ B
o
tại tâm của nam châm. ¾ Mục tiêu: Xác định trường của nam châm vĩnh cửu.
¾ Lời giải: Vectơ từ hóa J:
Nam châm vĩnh cửu hình trụ tròn, thẳng, dài tương
đương với một xơlênơit dài với mật độ điện mặt vi mô
J i
S
= Áp dụng cơng thức:
1 2
cos cos
2 α
α µ
− =
nI B
o
Ta lại có: J
i nI
S
= =
1 2
cos cos
2 α
α µ
− =
→ J
B
o
Nếu lấy điểm giữa của nam châm làm gốc tọa độ và trục trùng với trục của nam châm thì:
2 2
2
2 d
z 2
1 z
2 1
cos ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
− =
α
2 2
2
2 2
1 2
1 cos
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ + +
− =
d z
z α
Khi 2
l z
= , ta được:
2 2
4 d
l Jl
B
o
+ =
µ l
d l
B J
o
µ
2 2
4 +
= →

A z
O d
l α
1
α
2
56 Cảm ứng từ B
o
tại tâm của nam châm: Tại điểm giữa của nam châm có z = 0, ta được:
2 2
2 2
2 2
4 d
l d
l B
d l
Jl B
o o
+ +
= +
= à
ắ Nhn xột: Bài tập xác định trường do một nam châm vĩnh cửu gây ra khó hơn nhiều so với các bài tập xác định trường của các phân bố dòng điện.
ˆ Kết luận: Khi giải phần bài tập này, đòi hỏi chúng ta phải tổng hợp nhiều
kiến thức liên quan. Các bài tập chúng tôi đưa vào để giúp cho người đọc tham khảo thêm.
d Một số bài tập đề nghị Bài 1
: Một dây dẫn được uốn thành đa giác đều, có n cạnh; đường tròn ngoại tiếp với đa giác có bán kính a. Trong dây dẫn có dòng điện I chạy qua. Xác định độ lớn
của vectơ cảm ứng từ B tại tâm của đa giác. ĐS:
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= n
tg a
I n
B
o
π π
µ 2
Bài 2 : Một dây dẫn được uốn thành
mạch điện như hình, trong đó có dòng điện I. Tìm độ lớn cảm ứng từ B tại tâm O của
cung tròn. Biết bán kính của cung tròn bằng a.
ĐS: ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ + =
4 3
1 2
π µ
a I
B
o
Bài 3 : Dây dẫn L
1
thẳng dài vơ hạn, mang dòng điện I
1
, Dây dẫn L
2
thẳng dài L mang dòng điện I
2
. Đặt L
2
vng góc với L
1
, cách L
1
một đoạn a. Xác định lực từ mà L
1
tác dụng lên L
2
. ĐS:
a L
a I
I F
o
+ =
ln 2
2 1
π µ
Bài 4 : Tìm năng lượng của một đơn vị chiều dài của một dây gồm bởi hai hình
trụ đồng trục với các bán kính R
1
và R
2
R
1
R
2
, không gian giữa chúng chứa đầy chất với độ từ thẩm là
µ. ĐS:
2 1
2
ln 4
R R
I W
π µ
= Bài 5: Bên trong một vỏ dẫn điện hình trụ mỏng bán kính b có một dây dẫn bán
kính a hệ số từ thẩm
o
µ đặt cùng trục với vỏ. Khơng gian giữa dây dẫn và vỏ chứa một chất có hệ số từ thẩm
µ . Tìm hệ số tự cảm L của hệ dây dẫn này trên một đơn vị dài.
m a
O
P Q
R θ
1
θ
2
57 ĐS:
a b
L
o
ln 2
2 1
µ µ +
=
2.3. Trường chuẩn dừng 2.3.1. Cơ sở lý thuyết

Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.pdf) (78 trang)

×