Phân phối đều: Phân phối chuẩn:

PHẦN I: LÝ THUYẾT

Bài 3: Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất 3.1. Phân phối liên tục: Phân phối đều và phân phối chuẩn

3.1.1. Phân phối đều:

• Định nghĩa:
Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a,b] nếu có hàm mật độ là:
• Hàm phân phối xác suất:
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối đều là:
• Đồ thị:
Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối đều trên [a,b] là:
Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất của phân phối đều.
của phân phối đều. •
Các đặc trưng số của phân phối đều: Kỳ vọng:
2
b a
x a b
E X xf x dx
dx Med X
b a
+∞ −∞
+ =
= =
= −
∫ ∫
Phương sai: DX = EX
2
– E
2
X Với: EX
2
=
2 2
2 2
1 3
b a
x x f x dx
dx b
ab a b a
+∞ −∞
= =
+ +
−
∫ ∫
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
2
b a
x a b
E X xf x dx
dx b a
+∞ −∞
+ =
= =
−
∫ ∫
Tính ở trên Suy ra phương sai: DX = EX
2
– E
2
X =
2 2
1 3
b ab a
+ +
-
2 a b
+
2
=
2
12 b a
−

3.1.2. Phân phối chuẩn:

• Định nghĩa:
Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với hai tham số µ và σ
2
nếu có hàm mật độ là:
fx=
2 2
2
1 2
x
e
à


Kớ hiu: X ~ Nà;
2
Hm phõn phối xác suất:
Phân phối chuẩn có hàm phân phối xác suất là: FX=
2 2
2
1 2
t x
e dt
µ σ
σ π
− −
−∞
∫
 Do hàm mật độ của phân phối chuẩn khơng có nguyên hàm sơ cấp nên ta không thể biểu diễn hàm phân phối xác suất FX bởi một hàm số sơ cấp.
• Đồ thị:
Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn như sau:
Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác
phân phối chuẩn. suất của phân phối chuẩn.
 Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chng nên phân phối chuẩn còn có tên gọi là phân phối hình chng.
• Các đặc trưng số của phân phối chuẩn:
Kỳ vọng: EX =
2 2
2
1 .
2
x
x e
dx
µ σ
σ π
− +∞
− −∞
∫
=
µ
Phương sai: DX = EX
2
– E
2
X
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Với: EX
2
=
2 2
2 2
1 .
2
x
x e
dx
µ σ
σ π
− +∞
− −∞
∫
= µ
2
+ σ
2
E
2
X =
µ
2
Suy ra: DX = EX
2
– E
2
X = µ
2
+ σ
2
–
µ
2
= σ
2
Vậy phương sai : DX = σ
2
 Ta thấy hai tham số
µ
và σ
2
chính là kì vọng và phương sai của phân phối chuẩn. Tới đây ta có thể khẳng định phân phối chuẩn hồn tồn xác định khi biết
kì vọng và phương sai của nó. •
Tính xác suất: Giả sử X ~ N
µ
;σ
2
P[a≤ X ≤b] =
2 2
2
1 2
x b
a
e dx
µ σ
σ π
− −
∫
=
b a
µ µ
φ φ
σ σ
− −
−
• Quy tắc
3
σ
: Xét biến ngẫu nhiên X với kì vọng
µ
và phương sai σ
2
[ ]
2 1 X
P X P
µ ε
ε µ ε
φ σ
σ σ
 
− − =
= −
 
 
Với
ε σ =
ta có:
[ ]=2 1 - 1 = 0,6826
P X µ σ
φ −
Với
2
ε σ
=
ta có:
[ 2 ]=2 2 - 1 = 0,9544
P X µ
σ φ
−
Với
3
ε σ
=
ta có:
[ 3 ]=2 3 - 1 = 0,9973
P X µ
σ φ
−
 Như vậy nếu X ~ N
µ
;σ
2
thì
[ ] 1
P X µ ε
− =
khi
3
ε σ
. Điều này có nghĩa là nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kì vọng µ và phương sai
σ
2
thì gần như chắc chắn rằng X sẽ nhận giá trị trong khoảng [
µ
- 3 ,
à
+ 3]
B sung v kin thc phõn phi chuẩn tắc: Nếu biến ngẫu nhiên X có phân
phối với kì vọng µ = 0 và phương sai σ
2
= 1 thì X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc hoặc phân phối Gauss. Hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc
được kí hiệu là
x ϕ
còn gọi là hàm Gauss, hàm phân phối được kí hiệu là
x φ
còn gọi là hàm Laplace. - Hàm
x ϕ
là hàm chẵn,
x x
ϕ ϕ
− =
, trong khoảng 0, +∞ thì hàm
x ϕ
đơn điệu giảm.
0 0,3989 ϕ
=
,
1 0, 2420 ϕ =
,
2 0,0540 ϕ
=
,
3 0,0044 ϕ
=
,
4 0,0001 ϕ
=
và nếu x≥4 thì
x ϕ
≈
- Hàm
x φ
=
x
t dt ϕ
−∞
∫
 Hàm
x φ
là hàm lẻ. Ta có:
0 0,5 φ
=
,
1 0, 2420 φ =
,
2 0, 0540 φ
=
,
3 0,0044 φ
=
,
3,9 0,0001 φ
=
và nếu x≥4 thì
1 x
φ ≈
và nếu x -4 thì
x φ
≈
Lớp: 211301101 Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Hình 5 : Đồ thị hàm
x ϕ
Hình 6 : Đồ thị hàm
x φ

3.2. Định lý giới hạn trung tâm Lyapounov

Cho họ các biến ngẫu nhiên {X
1
, X
2
, X
3
,...X
n
độc lập từng đơi một. Đặt Y =
1 n
i i
X
=
∑
;
1
EX
n i
i
µ
=
=
∑
và
2 1
ar
n i
i
V X σ
=
=
∑
Nếu EX
i
, VarX
i
hữu hạn và
3 3
1
EX lim
n i
i n
i
E X σ
→∞ =
− =
∑
Thì Y
2
; µ σ
∈
3.3. Xấp xỉ xác suất giữa: Siêu bội và nhị thức, Poisson và Nhị thức 3.3.1. Xấp xỉ xác suất giữa siêu bội và nhị thức:
• Khi N khá lớn, n khá nhỏ so với N lúc đó quy luật phân phối siêu bội xấp xỉ với
quy luật phân phối nhị thức.
HN, M, n
≈
Bn, p
Ta có: P[X=K] =
. .
.
K n K
K K
n K M
N M n
n N
p q
c c c
c
− −
−
≈
với q=1–p •
Ví dụ : Một lơ hàng có 1000 sản phẩm trong đó có: 600 sản phẩm tốt và 400 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tìm xác suất để trong 10
sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt ? Giải:
Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được trong 10 sản phẩm lấy ra.  X={0,1,2,...,9,10}
Ta có: X ~ H1000, 600, 10
≈
B10; 0,6 Suy ra: P[X=K] =
10 10
600 400
10 10
1000
. .0,6 .0, 4
K K
K K
K
c c c
c
− −
≈
với K=
0;10
Gọi A là biến cố lấy được 3 sản phẩm tốt trong 10 sản phẩm lấy ra. Suy ra: PA = P[X=3]=
3 7
3 3
7 600
400 10
10 1000
. .0,6 .0, 4
c c c
c
≈
= 0,04246

3.3.2. Xấp xỉ xác suất giữa poisson và nhị thức: