Cơ sở toán học xây dựng các bộ xấp xỉ dùng hệ mờ và mạng nơron

- 60 -
Nếu ký hiệu ,
c
n D 
là tập hợp của tồn bộ các hàm số liên tục vơ hướng định nghĩa trên miền đóng
n
D 
, khi đó có thể sử dụng một trong số các bộ xấp xỉ vạn năng thông dụng sau [34], [44], [57], [66], [76], [91] để xấp xỉ các
hàm liên tục:
- Các hàm định nghĩa lớp hàm bước nhảy; mạng nơron 2 lớp với các nút ẩn có
hàm kích hoạt theo ngưỡng hoặc hàm kích hoạt xíchma
 
: 0,1

 
và nút đầu ra tuyến tính đều là các bộ xấp xỉ vạn năng các hàm liên tục vô hướng
1,
c
f D
  ,
 
, D
a b 
 
. -
Các đa
thức định
nghĩa lớp
hàm
1
: ,
, ,
,
p i
p i
p i
g x a x
a a a
p

 
  
  
 



với
: g D
 
, D
  Định
lý Weiertrass;
các hàm
định nghĩa
lớp hàm
1
cos :
, ,
m T
n a
i i
i i
i i
i
g a
c a c

 
  
 
 
 


x b x
b
; hệ mờ với hàm liên thuộc Gauss, phương pháp giải mờ điểm trọng tâm COG; mạng nơron 2 lớp
với các nút ẩn có hàm kích hoạt xíchma và nút đầu ra tuyến tính đều là các
bộ xấp xỉ vạn năng các hàm liên tục vô hướng ,
c
f n D
 ,
n
D  
. Việc chứng minh cấu trúc của một lớp hàm là bộ xấp xỉ vạn năng đối với các
hàm thuộc lớp hàm khác thơng thường theo định nghĩa, tuy nhiên có một công cụ chứng minh hữu hiệu là sử dụng kết quả của Định lý Stone-Weierstrass có
thể tham khảo trong các tài liệu [43], [57], [66], [74].

3.1.3. Cơ sở toán học xây dựng các bộ xấp xỉ dùng hệ mờ và mạng nơron

Như đã trình bày, các bộ xấp xỉ vạn năng với số lượng tham số chọn đủ lớn có thể xấp xỉ bất kỳ hàm liên tục nào với độ chính xác tùy ý trên tập compac
compact set, ngoài ra do khả năng chỉnh định trực tuyến on-line mà chúng còn được dùng trong các bộ điều khiển thích nghi. Các nghiên cứu dùng bộ xấp
xỉ làm bộ điều khiển thích nghi chủ yếu theo hướng dùng hệ mờ [52], [57],
- 61 -
[73], [98], [104], dùng mạng nơron [54], [57], [91], [92], [104], [108] hoặc kết hợp dùng hệ mờ và mạng nơron [44], [55], [66], [86].
Mặc dù về lý thuyết có thể sử dụng bất kỳ bộ xấp xỉ nào thỏa mãn yêu cầu trong phương pháp ví dụ như các bộ xấp xỉ mờ với hàm liên thuộc Gauss,
phương pháp giải mờ COG; mạng nơron 2 lớp với các nút ẩn có hàm kích hoạt xíchma và nút đầu ra tuyến tính hoặc mạng thích nghi ANFIS. Tuy nhiên không
dễ dàng chỉ ra cấu trúc bộ xấp xỉ tối ưu trong từng trường hợp do phụ thuộc vào số liệu đo có được, đặc tính phi tuyến của đối tượng và các điều kiện giới hạn.
Thông thường việc thiết kế bộ xấp xỉ vạn năng có kích cỡ cấu trúc nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu về sai số xấp xỉ cũng cần nhiều thời gian để thử và kiểm
nghiệm do với cấu trúc bộ xấp xỉ vạn năng cho trước chỉ đảm bảo rằng sai số
xấp xỉ bị chặn bởi
F
W 
còn khơng thể xác định được giá trị
F
W này nhỏ chừng nào. Tuy nhiên có điều chắc chắn rằng cần phải tăng kích cỡ cấu trúc của
bộ xấp xỉ và lựa chọn tham số điều chỉnh cho phù hợp để đạt được sai số xấp xỉ nhỏ tùy ý.
Ngoài ra những vấn đề về nghiên cứu lựa chọn giữa bộ xấp xỉ tuyến tính hay phi tuyến đối với tham số có cùng kích cỡ cấu trúc hay số lượng tham số, vấn
đề về phương pháp chỉnh định tham số trong bộ xấp xỉ phi tuyến hay xác định cấu trúc bộ xấp xỉ tốt nhất đều là những chủ đề đang được nghiên cứu [57] và
nằm ngoài phạm vi nghiên cứu của luận án này. Tuy nhiên do những ưu điểm của hệ mờ và mạng nơron trong xử lý phi tuyến và chỉnh định tham số trực
tuyến mà luận án chỉ xem xét các bộ xấp xỉ được xây dựng dựa trên hệ mờ và mạng nơron. Phần sau sẽ cho thấy các bộ xấp xỉ mờ nơron có thể dùng trong cả
bộ điều khiển ổn định tĩnh và bộ điều khiển ổn định động thích nghi và là cơ sở để giải quyết vấn đề điều khiển ổn định trong phương pháp đề xuất. Dưới
đây trình bày biểu diễn tốn học một số cấu trúc hệ mờ và mạng nơron được dùng làm các bộ xấp xỉ vạn năng cũng như một số vấn đề về sử dụng và tối ưu
hóa các bộ xấp xỉ mờ nơron.
- 62 -
 Biểu diễn toán học bộ xấp xỉ mờ
Xét hệ mờ MISO là ánh xạ phi tuyến từ vectơ đầu vào
 
1
, ,
T n
n
x x
 
x
 tới đầu ra
y 
Hình 6. Trong lý thuyết logic mờ và tập mờ [34], [47], [86], phép mờ hóa các đầu vào sử dụng tốn tử mờ hóa có chức năng chuyển các dữ
liệu rõ thành các tập mờ và cơ sở luật mờ 
với giả thiết gồm
p
luật mờ 
được biểu diễn dưới dạng tập hợp của các mô tả mờ fuzzy implications sau:
i
R :
1
1
i
j
A
VÀ
2
2
i
j
A
VÀ ... VÀ
ni
n j
A

ki
B
3-1 với
1.. i
p 
. Ký hiệu
A B

chỉ mô tả mờ hay phát biểu điều kiện NẾU
A
THÌ
B
và ,
i j
k
A B là các tập mờ được định nghĩa như sau:
 
 
, :
, :
i j
k
i j
i i
i A
k B
A x
x x
B y
y y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
với
 
, 0,1
i k
j
B A
  
tương ứng là các hàm liên thuộc thứ
j
và thứ
k
của đầu vào
i
x và đầu ra
y
. Vấn đề căn bản của hệ mờ nằm trong cơ chế suy diễn mờ fuzzy inference
và phương pháp giải mờ defuzzification dùng để tính tốn đầu ra rõ của hệ mờ khi đầu vào rõ cho trước trên cơ sở luật mờ đã biết. Cơ chế suy diễn mờ này
được xây dựng trên luật hợp thành của suy diễn. Để tính vế đầu trong 3-1 ta có thể sử dụng bất kỳ t-norm [86] nào như t-norm nhỏ nhất
, min{ , }
MIN
T a b
a b 
, tích đại số ,
PAND
T a b
ab 
, hàm Lukasiewicz ,
max{ 1, 0}
LAND
T a b
a b
  
, ... Trường hợp sử dụng t-norm nhỏ nhất
MIN
T khi đó mơ tả mờ 3-1 có thể viết dưới dạng tích Đềcác
 
1 2
1 2
i i
ni
n j
j j
ki
A A
A B
  
 
và vế đầu của 3-1 được tính như sau:
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
min ,
, ,
n n
j j
j j
j j
i i
ni i
i ni
n A
A A
A A
A
x x
x
 
 
  
 
 
 

x


.
- 63 -
Hình 6
: Hệ mờ MISO Để tính mô tả mờ của mỗi luật hay đầu ra của mỗi luật có thể dùng các tốn
tử mơ tả mờ t-norm hoặc t-conorm [86]. Một số toán tử mô tả mờ thông dụng
gồm Zadeh
max{1 , min{ , }}
x y
x x y
  
, Lukasiewicz
min{1, 1 }
x y
x y
   
, Mamdani
min{ , } x
y x y
 
và Larsen
x y
xy  
[28], [76], [86]. Trường hợp sử dụng tốn tử mơ tả mờ Mamdani thì đầu ra của luật thứ
i
i
R , ký hiệu là
 
 
, , :
,
i
n i
C
C y
y y

 

x x
được xác định như sau:
1 2
1 2
1 2
1 2
, ,
min ,
n n
i ki
ki j
j j
j j
j i
i ni
i i
ni
C B
A A
A B
A A
A
y y
y
 
 
  
 
 
 
 
 
 
x x
x
 
Cuối cùng để tính đầu ra của hệ mờ ta có thể sử dụng một phương pháp giải mờ như giải mờ điểm trọng tâm COG Center Of Gravity sau:
1
1
, ,
,
i
i
p i
C i
z p
C i
z
c z dz
y F
z dz




 
 
 
x x θ
x
3-2
x
1
x
2
x
n
y
Đầu vào rõ crisp inputs
Đầu ra rõ crisp output
Cơ sở luật mờ
Fuzzy Rule-Base Đầu vào
mờ hóa Kết luận
mờ
. .
. Cơ chế suy diễn mờ
Fuzzy Inference Mechanism
Gi ải
m ờ
De fu
zz if
icat io
n
Mờ h
ó a
Fu zz
if icat
io n
- 64 -
với
i
c là trọng tâm của
ki
B
y
 đối với luật thứ
i
. Thông thường ta chọn
ki
B
y
 đối xứng qua trục thẳng đứng qua đỉnh để
i
c là điểm giữa của
ki
B
y
 . Phương trình 3-2 chính là mơ hình của hệ mờ Mamdani với phương pháp
giải mờ COG và được dùng làm bộ xấp xỉ mờ
, F x θ
với
1
, ,
T p
c c
 
  
θ 
.
 Biểu diễn toán học bộ xấp xỉ nơron
Xét mạng nơron nhân tạo truyền thẳng
1 p

lớp với đầu ra có hàm kích hoạt tuyến tính trong đó
0,1.. 1,
p p

lần lượt chỉ số thứ tự từ lớp đầu vào, các lớp ẩn khi
2 p

đến lớp đầu ra. Nếu ký hiệu:
i
x ,
j
y
: tương ứng là các đầu vào và đầu ra của mạng với
1.. i
n 
,
1.. j
m 
;
i
L : là số lượng nơron trong lớp ẩn thứ
i
khi
2 p

với
1.. 1
i p
 
;
i jk
w :
là trọng số từ nút mạng thứ
k
trong lớp
1 i

tới nút mạng thứ
j
trong lớp
i
với
1.. i
p 
,
1.. 1
1..
i
L i
p j
m i
p  
  
 
, 1..
1 1..
1
i
n i
k L
i p
 
   
 ;
i j
 :
là giá trị ngưỡng của nút mạng thứ
j
trong lớp
i
với
1.. i
p 
,
1.. 1
1..
i
L i
p j
m i
p  
  
 
;
i j
 :
là hàm kích hoạt nút mạng thứ
j
trong lớp ẩn
i
với
1.. 1
i p
 
, 1..
i
j L
 ;
thì đầu ra của nơron thứ
j
trong lớp ẩn
i
khi
2 p

, ký hiệu là
, i j
o
với
1.. 1
i p
 
, 1..
i
j L
 và đầu ra của mạng
r
y với
1.. r
m 
là:
- 65 -
1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
i
n j
jk k j
k i
j L
i i
i i
j jk k
j k
w x i
o w o
i p
 
 

 

 
 
 
 
 
  
 
 
   
 
 
 



,
1
1 1
1 1
1
1
2
p
n rs s
r s
r L
p p
p rs s
r s
w x p
y w o
p 


 

 
 
  
 
 



Hình 7
: Mạng nơron 2 lớp Hình 7 biểu diễn mạng nơron truyền thẳng 2 lớp
2 p

có
n
đầu vào,
m
đầu ra tuyến tính và
L
nút ẩn. Mơ hình của mạng được viết như sau:
2 1
1 2
1 1
L n
i ij
j jk k
j i
j k
y w
w x
 

 
 
 
 
 

 
3-3 với
1.. i
m 
. Trường hợp mạng chỉ có một đầu ra
1 m

với hàm kích hoạt xíchma
2
1 sig
1
x
x e

 
trong lớp ẩn thì có thể dùng mạng làm bộ xấp xỉ vạn năng các hàm liên tục vô hướng :
n
f   
x
hay:
i

: Hàm kích hoạt nút mạng thứ
i
trong lớp ẩn 1
1 1

2 1

2 m

1 L

2 11
w
2 1L
w
2 1
m
w
2 mL
w
1 11
w
1 12
w
1 1n
w
1 1
L
w
1 2
L
w
1 Ln
w
L nút ẩn n đầu vào
x
n
x
1
x
2
1 1
2
n L
y
1
1
y
m
m
m đầu ra L
ớp đầu vào L
ớp 0 L
ớp ẩn L
ớp 1 L
ớp đầu ra L
ớp 2
- 66 -
2 1
1 2
1 1
1 1
1
, sig
L n
j jk k
j j
k
F y
w w x
 
 
 
 
 
 
 
 
x θ 3-4
 Bộ xấp xỉ mờ nơron
Có nhiều kết quả nghiên cứu nhằm kết hợp được các ưu điểm của hệ mờ và mạng nơron trong xây dựng cấu trúc bộ xấp xỉ [86]. Một trong những kết quả
nghiên cứu khả quan là hệ suy diễn mờ dựa trên mạng thích nghi ANFIS
Adaptive-Network-based Fuzzy Inference System do Jang đề xuất [64]
,
[65]
,
[66], [86]. Đây là một cấu trúc mạng nơron lai dựa trên mơ hình hệ mờ Takagi- Sugeno có luật mờ được cho dưới dạng mơ tả mờ sau:
i
R :
 
1 2
1 2
i i
ni
n j
j j
i
A A
A g
  

x

Mạng ANFIS sử dụng hàm tuyến tính
1 n
i ij
j j
g a x



x
, hàm liên thuộc đầu vào hình chng và đã được chứng minh là một bộ xấp xỉ vạn năng các hàm phi
tuyến.
 Biểu diễn toán học các bộ xấp xỉ tuyến tính và phi tuyến đối với tham số
Các bộ xấp xỉ mờ nơron có thể biểu diễn dưới dạng tuyến tính hoặc phi tuyến đối với tham số. Bộ xấp xỉ được gọi là tuyến tính đối với tham số nếu
biểu diễn được dưới dạng:
,
T
F 
x θ θ φ x hay
,
T
F 
 
x θ φ x
θ
3-5 trong đó
φ x
là véctơ hàm của
x
và
θ
là véctơ tham số đầu vào biểu diễn tuyến tính trong hàm số của bộ xấp xỉ. Ví dụ bộ xấp xỉ mờ nơron tuyến tính đối
với tham số như hệ mờ theo công thức 3-2 và mạng nơron RBN Radial Basis
NN. Trường hợp bộ xấp xỉ dùng hệ mờ theo 3-2 nếu
1
, ,
T p
c c
 
  
θ 
thì
- 67 -
1
, ,
,
T p
F
 
 
 
  

x θ φ x
x x
θ

với
1
,
,
i
i
C z
i p
C i
z
z dz
z dz
 



  
x x
x
nên có thể
biểu diễn ,
T
F 
x θ θ φ x là dạng tuyến tính đối với tham số.
Trường hợp
, ,
T
F 
 
x θ φ x θ
θ
hay
,
φ x θ
có chứa véctơ tham số
θ
như trường hợp bộ xấp xỉ dựa trên mạng nơron đa lớp biểu diễn trong 3-4, bộ xấp
xỉ được gọi là phi tuyến đối với tham số do
, F x θ
là hàm phi tuyến của tham số
θ
: ,
,
T
F 
x θ θ φ x θ .
3-6
 Tuyến tính hóa các bộ xấp xỉ
Các bộ xấp xỉ phi tuyến đối với tham số thường đơn giản hơn về kích cỡ và số lượng tham số so với các bộ xấp xỉ tuyến tính để đạt được độ chính xác xấp
xỉ tương đương nhau. Đối với luật điều khiển phản hồi tĩnh trong phương pháp thay thế ước lượng hàm trạng thái, vấn đề sử dụng bộ xấp xỉ tuyến tính hay phi
tuyến đối với tham số khơng được đặt ra do chỉ cần bộ xấp xỉ đảm bảo sai số cần thiết trong miền hợp lệ. Tuy nhiên để chỉnh định tham số của bộ xấp xỉ
trong luật điều khiển phản hồi động, việc sử dụng bộ xấp xỉ tuyến tính hay phi tuyến đối với tham số có ý nghĩa quan trọng. Mặc dù các kết quả nghiên cứu
của luận án trong chương sau cho phép áp dụng một trong hai dạng bộ xấp xỉ, tuy nhiên cũng có thể tuyến tính hóa bộ xấp xỉ phi tuyến đối với tham số tùy
theo mỗi ứng dụng.
Vấn đề tuyến tính hóa bộ xấp xỉ được trình bày trong [57]. Kết quả này cho biết nếu bộ xấp xỉ là liên tục Lipschitz đối với tham số chỉnh định không kể là
biểu diễn được ở dạng tuyến tính hay phi tuyến thì đều có thể viết như sau:
, ,
, ,
, ,
F
F F
F

 
 
  

θ
x θ x θ
x θ x θ
Δ x θ θ
θ
3-7
- 68 -
trong đó
θ
là tham số hiện thời,
arg min sup
, F
f
 
 
 
 
 
 
θ x
θ x
θ x θ
x
là tham số
tối ưu,
 
θ
Δ θ θ
,
, ,
 
 
θ
x θ θ Δ
với
lim



θ
θ Δ
θ
Δ Δ
. Ngoài ra
, , 
x θ θ bị chặn bởi
2
, , L


θ
x θ θ Δ
với
L
là hằng số Lipschitz, do vậy nếu tìm được luật chỉnh định
θ
để giảm được
2
θ
Δ
thì
θ
có xu hướng tiến về
θ
và
, F x θ
sẽ tiến đến ,
F x θ . Như vậy nếu
2
θ
Δ
bị chặn thì sai số xấp xỉ cũng bị chặn. Đây chính là cơ sở để xây dựng luật chỉnh định tham số trong
chương tiếp theo.
 Tối ƣu hóa các bộ xấp xỉ mờ nơron
Vấn đề tối ưu hóa các bộ xấp xỉ mờ nơron nói chung là tìm cách tối thiểu hóa hàm giá trị cost function
2
sup ,
J f
F

 
x
x
θ x
x θ với
p
  
θ
θ
là véctơ của
p
tham số chỉnh định được của hệ mờ hoặc mạng nơron hay cần tìm tham số chỉnh định tối ưu

θ
θ
từ số liệu đo để
arg min J


θ
θ
θ θ
. Như vậy để sai số xấp xỉ nhỏ theo yêu cầu, số liệu đo phải đủ lớn và bao phủ
được toàn bộ miền hợp lệ 
x
. Tuy nhiên trong thực tế đa phần không thể lựa chọn được cách phân bố số liệu đo trong

x
cũng như không thể thay đổi số liệu đo để cải thiện độ chính xác mà chỉ có thể sử dụng trực tiếp số lượng hữu
hạn các số liệu đo có được. Đây thực sự là vấn đề phức tạp và trong nhiều trường hợp phương pháp tối ưu hóa khơng đảm bảo đáp ứng được yêu cầu về
sai số xấp xỉ. Thơng thường để tìm véctơ tham số chỉnh định tối ưu

θ
θ
từ các số liệu đo có được có thể áp dụng thuật tốn bình phương nhỏ nhất Least
Squares tuyến tính batch, recursive hoặc phi tuyến gradient, conjugate
gradient, line search, Levenberg-Marquardt được trình bày trong các tài liệu [57], [58], [66], [68], [76], [86], [91].
- 69 -
3.2. Thay thế ƣớc lƣợng hàm trạng thái 3.2.1. Cơ sở toán học của phương pháp