Các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc:

Hình 3.6

Một hệ thống đợc gọi là tuyến tính nếu nh nó thoả mãn nguyên lý xếp chồng:

giả sử y1(n) và y2(n) là đáp ứng của hệ tơng ứng với tác động vào là x 1(n) và

x2(n). Hệ là tuyến tính nếu và chỉ nếu:

T[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.T[x 1(n)] + b.T[x2(n)] = a.y1(n) + b.y2(n) với a, b là hai hệ

số bất kì.

Chúng ta biết rằng một tín hiệu bất kì x(n) có thể biểu diễn :

n



x(n)=



x( k ). (n k )



(3.9)



k =



Do vậy đối với hệ tuyến tính:





y(n) = T x ( k ). (n k )

k =



n



=



x ( k ). T[ (n k )] =



k =



n



x ( k ). h (n)



k =



n



(3.10)



Với hk(n) = T[ (n-k)] đợc gọi là đáp ứng xung của hệ đối với tác động là

xung (n-k). Nh vậy nếu hệ chỉ là tuyến tính thì h k(n) còn phụ thuộc vào chỉ số

k là thời điểm tác động. Một hệ là bất biến theo thời gian nếu nh đáp ứng của hệ

đối với tác động x(n) là y(n) thì đáp ứng của hệ đối với x(n-k) là y(n-k).

Nói cách khác nếu tín hiệu vào bị dịch đi một đoạn thời gian là k thì tín hiệu ra

cũng bị dịch đi một đoạn là k; mọi hk(n) đơn giản trở thành h(n-k). Trong trờng

hợp tổng quát, với biến độc lập không hẳn là thời gian thì hệ có tính chất trên đợc gọi là hệ bất biến dịch hay nói ngắn gọn hơn là hệ bất biến. Bên cạnh đó, ng ời

ta còn dựa vào độ dài của đáp ứng xung để phân ra hai loại hệ: hệ có đáp ứng

xung với độ dài hữu hạn (FIR system : Finite Impulse Response System) và hệ có

đáp ứng xung có độ dài vô hạn (IIR system : Infinitive Impulse Response

System).

Hệ có nhớ và hệ không nhớ:

Một hệ có tín hiệu ra chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào ở cùng thời điểm đợc

gọi là hệ không nhớ. Ngợc lại một hệ có tín hiệu ra phụ thuộc vào tín hiệu vào ở

các thời điểm khác đợc gọi là hệ có nhớ.

Hệ đồng nhất:

Hệ trở thành rất đơn giản y(n) = x(n). Tức là tín hiệu ra bằng tín hiệu vào.

Hệ khả đảo và hệ đảo:

Một hệ đợc gọi là khả đảo nếu nh với tín hiệu vào phân biệt thì tín hiệu ra

cũng phân biệt. Nói cách khác, khi có tín hiệu ra, ta hoàn toàn có thể xác định lại

tín hiệu vào. một hệ A gọi là đảo của hệ B nếu nối tiếp hai hệ này ta đợc hệ đồng

nhất.

32



Hệ nhân quả:

Các tín hiệu ra chỉ phụ thuộc tín hiệu vào trong quá khứ và hiện tại đợc gọi là

hệ nhân quả. Nghĩa là nếu ta có x(n)=0 với mọi k
mọi k < k0. Hệ nhân quả là các hệ duy nhất có thể thực hiện đợc một cách vật lý

trong thực tế. Tuy nhiên trên phơng diện lý thuyết do một số đặc tính đặc biệt,

chúng ta cũng xem xét đến các hệ không nhân quả ví dụ nh mạch lọc thông thấp

lý tởng.

Định lý: Hệ tuyến tính bất biến là nhân quả nếu đáp ứng xung h(n) = 0 với mọi

n<0.

đối với hệ nhân quả, dạng chung của công thức tổng chập sẽ thay đổi gọn lại:

n



x(k ).h(n k )



y(n)=



(3.11)



k =



hoặc viết cách khác:





y(n) =



x(n k ).h(k )



(3.12)



k =0



Nếu đáp ứng xung có độ dài hữu hạn thì

N 1



y(n) =



x(n k ).h(k )



(3.13)



k =0



Tính ổn định:

Là điều kiện ràng buộc quan trọng khác cần xét đến trong thực tế đối với các

hệ xử lý. Theo định nghĩa một hệ đợc gọi là ổn định hay hệ BIBO( Bounded

Input, Bounded Output) nếu nh đáp ứng của hệ luôn luôn bị chặn đối với tác

động vào bị chặn. Thuật ngữ bị chặn đợc hiểu là có giá trị hữu hạn.

Định lý: Một hệ là ổn định nếu và chỉ nếu đáp ứng xung thoả mãn điều kiện sau:





S=







h(n k )



n =



3.3 Phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc.

ý tởng biểu diễn một hàm phức tạp nh là một tổ hợp tuyến tính của các hàm

cơ bản có dạng đơn giản đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu. Ví dụ một hàm

x(n) có thể biểu diễn trong khoảng [u1, u2]:

x(n) =







(u )

i =0



i



i



với i nguyên



(3.14)



trong đó các hàm i tạo nên một tập các hàm cơ bản có dạng đơn giản. Nếu các

hàm này trực giao, nghĩa là:

L khi i = j (L 0)

0 khi i j



i(u).j(u) =



(3.15)



33



thì các hệ số i sẽ độc lập với nhau. Khi đó ngời ta nói rằng x(u) đợc khai triển

thành chuỗi các hàm trực giao i(u). Nếu L=1 thì các hàm i(u) đợc gọi là trực

chuẩn. Nói cách khác trong hệ toạ độ các hàm trực giao i(u), hàm x(u) sẽ có

các toạ độ i. Về phơng diện toán học, tín hiệu đợc biểu diễn bằng các hàm (kể

cả tín hiệu tơng tự và rời rạc). Hoàn toàn phù hợp với định nghĩa của tín hiệu rời

rạc và số, chúng ta xem các hệ số i nh là một tín hiệu số biểu diễn tín hiệu tơng

tự x(u).

Trong số các khai triển thành các hàm trực giao thì khai triển thành chuỗi

Fourier hiển nhiên là một khai triển đợc dùng phổ biến nhất trong xử lý tín hiệu.

ở đây các hàm điều hoà là các hàm trực chuẩn.

Tín hiệu điều hoà phức (có dạng mũ phức ejk ) đóng vai trò quan trọng đặc

biệt khi phân tích hệ tuyến tính bất biến (TTBB) là vì tính chất của hệ TTBB: đáp

ứng trong trạng thái ổn định đối với tín hiệu vào điều hoà cũng là tín hiệu điều

hoà có cùng tần số với biên độ và pha có thể thay đổi. Tính chất này dẫn đến có

thể biểu diễn tín hiệu theo các thành phần là tín hiệu điều hoà (thực hoặc phức).

Nh ta đã biết, trên góc độ phân tích tín hiệu theo thời gian, xung đơn vị đợc dùng

nh tín hiệu vào cơ bản để xây dựng công thức tính tổng chập, diễn tả mối quan

hệ vào/ra đặc trng cho hệ TTBB.

Phép biến đổi Fourier thuận của tín hiệu rời rạc:





j



X (e ) =



x(n).e



jn



(3.16)



n =



Phép biến đổi Fourier ngợc của tín hiệu rời rạc:



1

x ( n) =

2







X (e





j



).e jn d



(3.17)







chúng ta có thể biểu diễn dới dạng tần số f nh sau:





fn

X ( f ) = ( n).e j 2

x



(3.18)



n=





1/ 2



x ( n) =



X ( f ).e



j 2

fn



df



(3.19)



/2

1



Điều kiện tồn tại của phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc:

X(f) tồn tại nếu nh vế phải của nó hội tụ. Điều này không phải lúc nào cũng xảy

ra. Ví dụ hàm bậc thang, hay hàm điều hoà thực hoặc phức tồn tại với mọi n.

Điều kiện để X(f) hội tụ là một đề tài cho nhiều định nghĩa và giải thích. Chúng

ta hãy xem xét một trong các điều kiện này.

34



Do modul của số hạng e-j2fn luôn bằng một, điều kiện để X(f) tồn tại là:





x(n)



<



(3.20)







Lớp tín hiệu thoả mãn điều kiện trên là các tín hiệu có năng lợng hữu hạn. Đối

với hệ ổn định thì đáp ứng tần số luôn luôn hội tụ. Bởi vì ta luôn có đẳng thức:





x(n)



n =



2







x(n)

n =





2



(3.21)



Vế trái của bất đẳng thức chính là năng lợng của tín hiệu. Vì vậy nếu điều

kiện 3.20 thoả mãn thì 3.21 cũng thoả mãn. Các tín hiệu thoả mãn 3.21 đợc gọi

là khả tổng tuyệt đối. Trái lại một tín hiệu có năng lợng hữu hạn không nhất thiết

phải khả tổng tuyệt đối. Ví dụ điển hình một tín hiệu nh vậy là

x(n) = sin(0n)/n



Phổ biên độ, phổ pha, phổ năng lợng:

Do X(f) là một hàm phức nên ta có thể biểu diễn dới dạng modul và argument:



X(f)=X(f)ej.arg[X(f)]

Hàm modul X(f) theo f gọi là phổ biên độ của tín hiệu x(n), còn hàm

(f)=arg[X(f)] đợc gọi là phổ pha.

Cuối cùng (f) = X(f)2 đợc gọi là phổ năng lợng, biểu diễn sự phân bố theo

tần số của năng lợng tín hiệu x(n).



Lấy mẫu và khôi phục tín hiệu liên tục theo thời gian.

Nh chúng ta đã biết, phơng pháp tạo tín hiệu rời rạc và tín hiệu số thông

dụng là lấy mẫu tín hiệu tơng tự xa(t). Thông thờng các mẫu đợc lấy cách đều

nhau với chu kỳ lấy mẫu là T s (tần số lấy mẫu Fs=1/Ts). Với mọi Ts thì tín hiệu

nhận đợc luôn là tín hiệu rời rạc. Chỉ trong trơng hợp ta muốn khôi phục lại tín

hiệu xa(t) ban đầu từ các mẫu x a(n.Ts) thì nảy sinh ra điều kiện ràng buộc đối với

cách chọn lựa giá trị T s. Điều kiện ràng buộc này đợc phát biểu thành định lý lấy

mẫu.



Định lý lấy mẫu Nyquits (còn gọi là định lý lấy mẫu Shannon):

Một tín hiệu tơng tự xa(t) có dải phổ hữu hạn với giới hạn trên là F max(Hz) (tức

là phổ bằng 0 khi nằm ngoài dải -Fmax .. Fmax ). Ta chỉ có thể khôi phục lại x a(t)

một cách chính xác từ các mẫu xn(n.T s) nếu nh



Fs 2Fmax hay 1/(2.F max) Ts

Định lý lấy mẫu có một vai trò hết sức quan trọng. Đó lầ cầu nối giữa hai

ngành hỗ trợ nhau: Xử lý tín hiệu tơng tự và Xử lý tín hiệu rời rạc số. Nó đảm

35



bảo cho tất cả các phơng pháp và các hệ thống xử lý tín hiệu số có thể xâm nhập

vào các hệ thống xử lý tín hiệu tơng tự.

Để hiểu thêm mối quan hệ giữa tín hiệu rời rạc x(n.T s) đợc lấy mẫu từ tín hiệu

tơng tự xa(t) và bản thân tín hiệu tơng tự xa(t), chúng ta hãy xem xét kỹ thêm cặp

tích phân Fourier đối với tín hiệu tơng tự :

X a ( j =

)







x



a



(t ).e jt dt







x a (t ) =







1

j

t

X a ( j).e d

2



thay t=n.Ts , các mẫu có thể tính:





1

). jnT

x(n)=x a(n.Ts) =

X a ( j e s d

2



(3.22)







1

j

j

n

X (e ).e d

2



x(n) =



(3.23)



Để có thể thấy mối quan hệ giữa 3.22 và 3.23 chúng ta biểu diễn lại 3.22 dới

dạng thích hợp là tổng các tích phân trong đoạn 2/Ts nh sau:

x(n) = xa(n.Ts) =

=







1

nT

). j

X a ( j e s d

2



( 2 r + )/ T

1



s



1

nT

).

X a ( j e j s d

2 r = 2 r )/ T s



(

1



Bằng cách đổi biến lấy tích phân lân cận trong khoảng 2/Ts, và do ej2rn=1

với mọi r, n nguyên và nếu ta đổi trình tự lấy tích phân và tổng ta nhận đợc:

1

x( n) =

2



/ Ts







2r jnT

.e

d

X a j + j





Ts





/ Ts r =



thay =/Ts =.Fs ta có:





x ( n) =





1

1

2

r

Ts rX a j Ts + j Ts



2



=



j s

e nT d

.





So sánh công thức này với 3.23 ta rút ra:



( )



X e j =



j j 2r

1



+

Xa

Ts r = Ts

Ts







Hoặc theo tần số:



(



)



X e jTs =





1

j 2r



X a j +

Ts r =

Ts







Nh vậy ta nhận thấy rõ mối quan hệ giữa hai phép biến đổi Fourier (của tín

hiệu tơng tự và tín hiệu rời rạc có đợc bằng cách lấy mẫu tín hiệu tơng tự). Ta có

thể nói tín hiệu lấy mẫu là xếp chồng tuần hoàn với chu kì 2 của phổ tín hiệu tơng tự.

36