§1. KHÔNG GIAN MÊTRIC, SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.64 MB, 163 trang )
www.VNMATH.com
Hiển nhiên d thoả mãn hai tiên đề đồng nhất và đối xứng. Ta
kiểm tra tiên đề tam giác. Trước hết, để ý rằng nếu a1,... ,ak, b1
,... ,bk là những số thực thì:
(Bất đẳng thức thức Côsi).
Lấy tùy ý
Khi
đó
Từ đó ta có d(x,z) ≤ d(x,y) + d (y,z).
Ta gọi d là mêtric Euclid và (Rk, d) được gọi là không gian
Euclid.
Ví dụ 1.3
Gọi C[a, b] là tập hợp các hàm số thực liên tục trên khoảng
đóng hữu hạn [a, b]. Dễ dàng chứng minh được rằng C[a,b] là
một không gian mêtric với mêtric
9
với
www.VNMATH.com
mọi x,y ∈ C [a,b].
Định nghĩa 1.2.Giả sử M là một tập hợp con của không gian
mêtric (X, d). Dễ dàng thấy rằng hàm dM = d|M.M là một mêtric
trên tập hợp M. Không gian mêtric (M,dM) được gọi là không
gian con của không gian mêtric (X, d), ta gọi dM là mêtric cảm
sinh bởi mêtric d trên M.
2. Sự hội tụ trong không gian mêtric
Định nghĩa 1.3. Ta nói dãy
những phần tử của không
gian mêtric (X, d) hội tụ đến phần tử hội tụ đến phần tử x0 ∈ X
khi
nếu
. Ta nói
đó
ta
viết
,
hoặc
là dẫy hội tụ và gọi x0 là giới hạn
của dãy {xu}
Nhận xét.
a) Dãy hội tụ trong không gian mêtric có một giới hạn duy
nhất.
Thật vậy, giả sử lim xn = a và lim xn = b trong X. Khi đó:
n →∞
n →∞
d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, b) với mọi n.
vì lim d (a.xu ) = 0 và lim d (b.xu ) = 0 , nên từ bất đẳng thức
n →∞
n→∞
trên suy ra d (a,b) = 0 tức là a = b.
b) trong không gian mêtric (X, d) nếu tìm lim xu = a và
n →∞
lim y n = b thì lim d ( xn . y n ) = d (a, b) .
n →∞
n→∞
Thật vậy với mọi n, ta đều có:
d(a,b) ≤ d (a,xu ) + d(xn, yu ) + d(yu,b).
Từ đó ta có. d(a,b) - d(xu, yn ) ≤ d(a, xu ) + d(yu,b).
10
www.VNMATH.com
Chứng minh tương tự ta được:
Từ hai bất đẳng thức trên suy ra:
vì lim d (a.xu ) = 0 và im lim d (a. y n ) = 0 , nên từ bất đẳng
n →∞
n→∞
thức trên suy ra lim d ( xu . yu ) = d (a, b) . Ta có điều cần chứng
n→∞
minh.
Ví dụ 1.4
Trong không gian và
là sự hội tụ mà ta đã biết trong giải tích cổ điển.
Ví dụ 1.5
Trong không gian
giả sử
trong
.Đây
là dãy
Khi đó:
Vì vậy người ta nói rằng sự hội tụ trong không gian Euclid
là sự hội tụ theo các toạ đô.
Ví dụ 1.6
trong không gian C[a.b], lim xn = x0 ⇔ dãy hàm số { xn(t) }∞n
n →∞
= 1 hội tụ đều đặn hàm số x0(t) trên [a, b]. Thật vậy,
sao cho
11
www.VNMATH.com
thỏa mãn n ≥ n0 ta có d(xn, xu) < ε, tức là
với mọi n ≥ n0 ⇔ | Xn(t) - X0(t)| < ε , ∀ n
> n0 và ∀t ∈ [a, b].
§2. TẬP HỢP MỞ VÀ TẬP HỢP ĐÓNG
1 Tập mở
Định nghĩa 1.4 Giả sử (X, d) là một không gian mêtric x0 ∈
X và r là một số dương. Tập hợp S(x0, r) = { x ∈ X| d(x, x0) < r}
được gọi là hình cầu mở tâm x0 bán kính r.
Tập hợp S[x0, r] = {x ∈ X | d(x, x0) < r} được gọi là hình cầu
đóng tâm x0 bán kính r.
Với A, B là 2 tập con khác rỗng trong X, ta gọi:
là khoảng cách giữa hai tập con A, B.
Định nghĩa 1.5 Giả sử A là một tập con của không gian
mêtric (X, d). Điểm x0 của X được gọi là điểm trong của tập hợp
A nếu tồn tại một hình cầu mở S(x0, r) ⊂ A. Tập tất cả các điểm
trong của tập A được gọi là phần trong của A và ký hiệu là đứa
hoặc A0).
Phần trong của một tập bợp có thể là tập hợp rỗng.
Định nghĩa 1.6. Tập hợp G ⊂ X được gọi là tập mở nếu mọi
điểm của G đều là điểm trong của nó:
12
www.VNMATH.com
Hiển nhiên tập X và tập ∅ đều là những tập mở trong không
gian mêtric (X, d). Mỗi hình cầu mở là tập mở trong (X, d).
Định lý 1.1 Trong không gian mêtnc (X, d) ta có:
a) Hợp của một họ tuỳ ý những tập mở là một tập mở.
b) Giao của một số hữu hạn những tập mở là một tập mở.
Chứng minh.
a) giả sử {Ut}t ∈ T, là một họ tùy ý những tập con mở trong
không gian mêtric (X, d). Ta chứng minh
là một tập
mở.
Thật vậy, giả Sử X ∈ U tùy ý. Khi đó x ∈ U1 với t nào đó. Vì
U, mở nên tồn tại một hình cau S(x, r) ∈ U1, do đó S(x, r) ⊂ U.
Vậy U là một tập mở.
b) Giả sử U1 ,... , Un là những tập mở. Ta chứng
minh
là tập mở. Thật vậy nếu x ∈ V thì x ∈ U; với
mọi i = 1,…, n. Vì mỗi Ui mở nên tồn tại một số dương r; sao
cho S(x,ri) ⊂ Ui, i = 1 ,... , n. Đặt r = min{r1,.... ru}. Khi đó hiển
nhiên S(x, r) ⊂ Ui với i = 1,...., n, do đó S(x, r) ⊂ V. Vậy TẾ là
một tập mở.
Định nghĩa 1.7 với x ∈(X,d) tùy ý, tập con bất kỳ U ⊂ X
chứa điểm x được gọi là lân cận của điểm x nếu U chứa một tập
mở chứa x.
Hiển nhiên, tập A trong không gian mêtric X là mở khi và chỉ
khi với mỗi x ∈ A luôn tồn tại một lân cận U của x chứa trong
A. hiển nhiên ta có:
1) A0 là tập mở, và đó là tập mở lớn nhất chứa trong A.
2) Tập A là mở khi và chỉ khi A = A0
13
