Chương 1: Tính liên tục của ánh xạ đa trị

1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị



10



ở đó n I là số nguyên dơng và ai I (i = 1, . . . , n) là các hệ số thực.

N

R

R

Quy tắc cho tơng ứng mỗi véctơ a = (a1 , . . . , an ) I n với tập nghiệm, ký

hiệu bởi F (a), của (1.1) cho ta một ánh xạ đa trị

F :I nC

R



(1.2)



từ không gian Euclide I n vào tập số phức C. Theo Định lý cơ bản của đại số,

R

F (a) = với mọi a I n và

R

|F (a)|



n



a I n ,

R



ở đó |M | ký hiệu lực lợng của tập hợp M . Nếu ta đồng nhất mỗi số phức

x = u + iv C với cặp số thực (u, v) I 2 thì, thay cho (1.2), ta có ánh xạ

R

R

F : I n I 2.

R

Định nghĩa 1.1.1. Đồ thị gph F , miền hữu hiệu dom F và miền ảnh rge F của

ánh xạ đa trị F : X Y tơng ứng đợc xác định bằng các công thức

gph F = {(x, y) X ì Y : y F (x)},

dom F = {x X : F (x) = },

và

rge F = {y Y : x X sao cho y F (x)}.

(Các ký hiệu đó có nguồn gốc từ ba chữ tiếng Anh là graph, domain và

range.)

Với F là ánh xạ đa trị trong Ví dụ 1.1.1, ta có

gph F = {(a, x) I n ì C : xn + a1 xn1 + . . . + an1 x + an = 0},

R

dom F = I n ,

R



rge F = C.



ánh xạ ngợc F 1 : Y X của ánh xạ đa trị F : X Y đợc xác định

bởi công thức

F 1 (y) = {x X : y F (x)}



(y Y ).



Nếu M X là một tập con cho trớc thì hạn chế của F trên M là ánh xạ đa

trị F|M : M Y đợc cho bởi

F|M (x) = F (x) x M.

Bài tập 1.1.1. Chứng minh rằng gph F 1 = (gph F ), ở đó : X ìY

Y ì X là song ánh xác định bởi công thức (x, y) = (y, x).



1.1. ánh xạ đa trị



11



Định nghĩa 1.1.2. Cho F : X Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không gian

tôpô.

1. Nếu gph F là tập đóng trong không gian tôpô tích X ì Y , thì F đợc gọi là

ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng).

2. Nếu X và Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gph F là tập lồi trong

không gian tích X ì Y , thì F đợc gọi là ánh xạ đa trị lồi2 .

3. Nếu F (x) là tập đóng với mọi x X, thì F đợc gọi là ánh xạ có giá trị

đóng.

4. Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F (x) là tập lồi với mọi x X,

thì F đợc gọi là ánh xạ có giá trị lồi.

Bài tập 1.1.2. Cho F : X Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không

gian tuyến tính tôpô. Chứng minh rằng:

(a) Nếu F là ánh xạ đóng, thì F là ánh xạ có giá trị đóng.

(b) Nếu F là ánh xạ đa trị lồi, thì F là ánh xạ có giá trị lồi.

(c) F là ánh xạ đa trị lồi khi và chỉ khi

(1 t)F (x) + tF (x ) F ((1 t)x + tx ) x, x X, t (0, 1).



Chúng ta nhắc lại rằng tập M I k đợc gọi là tập lồi đa diện 3 nếu M có

R

thể biểu diễn dới dạng giao của của một số hữu hạn các nửa không gian đóng

của I k . Các tính chất của tập lồi đa diện đợc trình bày chi tiết trong cuốn

R

chuyên khảo của Rockafellar (1970). Ta có định lý biểu diễn sau đây: Tập

M I k là tập lồi đa diện khi và chỉ khi tồn tại các điểm a1 , a2 , . . . , ap M

R

R

và các phơng v1 , v 2 , . . . , v q I k sao cho

p

i

i=1 ti a



+



q

j

j=1 j v



:



t1



0, . . . , tp



1



M=



0, . . . , q



0,



p

i=1 ti



= 1,



0 .



(Xem Rockafellar (1970), Định lý 19.1.) Họ các điểm và các phơng

{a1 , . . . , ap ; v 1 , . . . , v q }

đợc gọi là các phần tử sinh 4 của M .

Lu ý rằng họ các phần tử sinh của một tập lồi đa diện nói chung không là

duy nhất.

2

Các khái niệm và kết quả liên quan đến tập lồi, hàm lồi, dới vi phân của hàm lồi có trong

Rockafellar (1970) - trờng hợp không gian hữu hạn chiều, Ioffe và Tihomirov (1979) - trờng

hợp không gian vô hạn chiều.

3

TNTA: polyhedral convex set.

4

TNTA: generators.



1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị



12



Bài tập 1.1.3. Tìm các phần tử sinh của các tập lồi đa diện sau:

M = x = (x1 , x2 ) : x1



0, x2



0, x1 + x2



1



và

M = x = (x1 , . . . , xn ) : xi



1 i = 1, . . . , n}.



Bài tập 1.1.4. Cho A I mìn là ma trận thực cấp m ì n, C I sìn là

R

R

ma trận thực cấp s ì n. Đặt

(1.3) F (b, d) = {x I n : Ax

R



b, Cx = d}



(b, d) I m ì I s ,

R

R



ở đó bất đẳng thức y

z giữa hai véctơ y = (y 1 , . . . , ym ) và z =

(z1 , . . . , zm ) thuộc I m có nghĩa là xi

R

zi với mọi i = 1, 2, . . . , m.5

n

Chứng minh rằng ánh xạ đa trị F : I ì Rs I n cho bởi (1.3) có các

R

R

tính chất sau:

1. gph F là một nón lồi đa diện trong không gian tích I m ì I s ì I n

R

R

R

(do đó F là một ánh xạ đa trị lồi).

2. dom F là tập lồi đa diện.

3. rge F = I n .

R

4. Với mỗi (b, d) I m ì I s , F (b, d) là tập lồi đa diện trong I n (có

R

R

R

thể là tập rỗng).

Hãy lấy một ví dụ đơn giản để chứng tỏ rằng nói chung thì dom F =

R

I m ì I s.

R



Nhận xét rằng tập F (b, d) trong Bài tập 1.1.3 là tập nghiệm của hệ phơng

trình và bất phơng trình tuyến tính

(1.4)



Ax



b,



Cx = d.



Liên quan đến ánh xạ đa trị F cho bởi (1.3), ta có định lý sau đây.

Định lý 1.1.1 (Walkup-Wets, 1969; xem Walkup và Wets (1969), Mangasarian

và Shiau (1987), Lee, Tam và Yen (2005)). Với mỗi cặp ma trận (A, C)

R

I mìn ì I sìn tồn tại một hằng số > 0 sao cho

R

(1.5)



F (b , d ) F (b, d) +





(b , d ) (b, d) BIRn



với mọi (b, d) và (b , d ) thuộc tập lồi đa diện

dom F = {(b, d) : F (b, d) = },

5



Trong công thức (1.3) cũng nh trong các phép tính ma trận sẽ gặp về sau, véctơ thuộc các

không gian Euclide hữu hạn chiều đợc biểu diễn nh những cột số thực. Tuy thế, để cho đơn

giản, trên các dòng văn bản thông thờng chúng ta sẽ biểu diễn các véctơ cột đó nh những véctơ

hàng.



1.1. ánh xạ đa trị



13



ở đó

(b , d ) (b, d)



=( b b

=



2



m

i=1 (bi



+ d d 2 )1/2

bi )2 +



với mọi b = (b1 , . . . , bm ), d = (d1 , . . . , ds ), và







R

BIRn = x = (x1 , . . . , xn ) I n : x =





s

j=1 (dj



dj )2



1/2



n



x2

i

i=1



1/2







1





là hình cầu đơn vị đóng trong I n .

R

Tính chất (1.5) cho thấy rằng F là ánh xạ đa trị Lipschitz trên dom F với

hằng số > 0. Hằng số này phụ thuộc vào cặp ma trận (A, C) đã cho. Các tính

chất liên tục Lipschitz của ánh xạ đa trị sẽ đợc khảo sát chi tiết hơn ở trong

Mục 5.

Nếu X, Y là hai không gian tuyến tính tôpô, F : X Y là ánh xạ đa trị,



thì ta dùng các ký hiệu F và co F để chỉ các ánh xạ đa trị đợc cho bởi các

công thức



F (x) = F (x) x X

và

(co F )(x) = co (F (x))



x X,



ở đó M là bao đóng tôpô của M và co M là bao lồi của M . (Tức là co M là

tập lồi nhỏ nhất chứa M .)



Hiển nhiên F là ánh xạ đa trị có giá trị đóng và co F là ánh xạ đa trị có



giá trị lồi. Tuy thế, F có thể không phải là ánh xạ đa trị đóng và co F có thể

không là ánh xạ đa trị lồi!

Ví dụ 1.1.2. Cho

F (x) = {sin x, cos x}



(x I

R).



Ta có

(co F )(x) = co {sin x, cos x}

là ánh xạ đa trị không lồi từ I vào I với đồ thị là tập có gạch sọc trong Hình

R

R

1.

Ví dụ 1.1.3. Cho

F (x) =



(0, 1) nếu x = 0

{0}

nếu x = 0.



1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị



14

Rõ ràng



F (x) =



[0, 1]

{0}



nếu x = 0

nếu x = 0



không phải là ánh xạ đa trị đóng.



Hình 1

Bao đóng và bao lồi của ánh xạ F : X Y , ở đó X và Y là các không

gian tuyến tính tôpô, là các ánh xạ cl F và conv F đợc cho tơng ứng bởi các

công thức sau

cl F (x) = {y Y : (x, y) gph F }



x X



và

conv F (x) = {y Y : (x, y) co (gph F )}



x X.



Dễ thấy rằng nếu F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.2 thì

(cl F )(x) = {sin x, cos x} và (conv F )(x) = [1, 1]



(x I

R).



Với F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.3 ta có

(cl F )(x) = [0, 1]



(x I

R)



và

(conv F )(x) =



(0, 1)

[0, 1)



nếu x = 0,

nếu x = 0.



Định nghĩa 1.1.3. Cho F : X Y và G : Y Z là hai ánh xạ đa trị. ánh xạ

đa trị

GF :X Z



1.1. ánh xạ đa trị



15



cho bởi công thức







(G F )(x) =







G(F (x)) =

xX



xX



G(y) ,



yF (x)



với mọi x X, đợc gọi là ánh xạ hợp (hay tích) của F và G.

Bài tập 1.1.5. Cho X, Y , Z là các không gian tuyến tính, F : X Y

và G : Y Z là hai ánh xạ đa trị lồi. Chứng minh rằng G F là ánh xạ

đa trị lồi.



ứng với mỗi hàm số thực : X I ở đó

R,

I = [, +] = I {} {+}

R

R

là tập số thực suy rộng, ta có hai ánh xạ đa trị sau đây:

(1.6)



epi : X I

R,



(epi )(x) = {à I : à

R



(x)}



x X,



và

(1.7)



hypo : X I

R,



(hypo )(x) = {à I : à

R



(x)}



x X.



Nhắc lại rằng đợc gọi là hàm lồi nếu nh

((1 t)x1 + tx2 )



(1 t)(x1 ) + t(x2 )



với mọi x1 , x2 dom := {x X : (x) < }. Ta nói là hàm lõm nếu

nh là hàm lồi. (Theo định nghĩa, ()(x) = (x) với mọi x X.)

Bài tập 1.1.6. Cho X là không gian tuyến tính. Chứng minh rằng hàm



số : X I là lồi khi và chỉ khi epi : X I là ánh xạ đa trị lồi,

R

R

là hàm lõm khi và chỉ khi hypo : X I là ánh xạ đa trị lồi.

R



Chúng ta kết thúc mục này với một vài ví dụ về các ánh xạ đa trị liên quan

đến các bài toán tối u.

Ví dụ 1.1.4. Cho X, Y, Z là các không gian định chuẩn. Cho f : X ì Z

I {+} là hàm số thực, g : X ì Z Y là hàm véctơ, K Y là hình nón

R

lồi, đóng; X là tập hợp bất kỳ. Xét bài toán tối u phụ thuộc tham số

(Pz )



min{f (x, z) : x , g(x, z)



ở đó

y1



K



y 2 y 2 y 1 K.



K



0},



1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị



16

Tập hợp



G(z) := {x X : x , g(x, z)



K



0}



đợc gọi là tập ràng buộc (hay tập hạn chế, tập chấp nhận đợc) của (P ).

z

Hàm số

(z) := inf{f (x, z) : x G(z)}

đợc gọi là hàm giá trị tối u (hay hàm marginal) của (Pz ). Tập

F (z) := {x G(z) : f (x, z) = (z)}

đợc gọi là tập nghiệm của (Pz ). Tập hợp các nghiệm địa phơng của (Pz )



đợc ký hiệu là F0 (z). Nh vậy, x F0 (z) khi và chỉ khi tồn tại > 0 sao

cho f (x, z) f (, z) với mọi x G(z) B(, ), ở đó B(, ) := {x X :

x

x

x

x x < } ký hiệu hình cầu mở có tâm tại x và bán kính . Hàm giá trị





tối u (ã), ánh xạ G(ã), và các ánh xạ nghiệm F (ã), F0 (ã) là những đối tợng

nghiên cứu chính trong lý thuyết ổn định trong tối u hoá; xem Bonnans và

Shapiro (2000) và những tài liệu dẫn trong đó. Trong lý thuyết đó ngời ta đa

ra những điều kiện cần và đủ để , G, F và F0 liên tục (theo một nghĩa nào

đó) hoặc khả vi (theo một nghĩa nào đó), tùy thuộc vào cấu trúc cụ thể của lớp

bài toán (Pz ) đợc xét. Trong các chơng sau chúng ta sẽ khảo sát một số điều

kiện kiểu đó.

Một trờng hợp riêng của bài toán tối u phụ thuộc tham số xét trong Ví dụ

1.1.4 là bài toán quy hoạch toàn phơng phụ thuộc tham số.

R

Ví dụ 1.1.5. Cho các ma trận A I mìn , C I sìn và ma trận đối xứng

R

D I nìn . Xét bài toán quy hoạch toàn phơng

R

(1.8)



min



1

x Dx + c x : x I n , Ax

R

2



b, Cx = d



R

R

phụ thuộc vào tham số z = (c, b, d) I n ì I m ì I s . ở đây ký hiệu phép

R

chuyển vị ma trận và véctơ. Ký hiệu hàm giá trị tối u, tập hạn chế, tập nghiệm

và tập nghiệm địa phơng của (1.8) tơng ứng bởi (c, b, d), G(b, d), Sol(c, b, d)

và loc(c, b, d). Tính chất của hàm và các ánh xạ đa trị Sol(ã), loc(ã) phụ thuộc

khá nhiều vào tính chất của ma trận D. Ví dụ nh, nếu D là ma trận xác định

R

dơng (tức là v Dv > 0 với mọi v I n \ {0}) thì Sol(ã) là ánh xạ đơn trị,

liên tục trên tập

R

dom G = {(b, d) I m ì I s : G(b, d) = }.

R

R

R

Ngoài ra, loc(c, b, d) = Sol(c, b, d) với mọi (c, b, d) I n ì I m ì I s . Chúng

R

ta lu ý rằng tính chất Lipschitz của ánh xạ G(ã) đã đợc chỉ ra trong Định lý

1.1.1. Có thể đọc một cách có hệ thống các kết quả về tính ổn định nghiệm của

bài toán quy hoạch toàn phơng trong Lee, Tam và Yen (2005).



1.1. ánh xạ đa trị



17



Trong ví dụ sau đây chúng ta xét bài toán quy hoạch lồi.

Ví dụ 1.1.6. Cho X là một tập lồi và : X I {} là một hàm lồi,

R

ở đó X là không gian định chuẩn. Xét bài toán quy hoạch lồi

(P )



min{(x) : x }.



x



Nón tiếp tuyến T () của tại x đợc định nghĩa bởi công thức

T () = {t(x x) : x , t

x





0}.



x



Nón pháp tuyến N () của tại x đợc định nghĩa nh sau

x

0 v T ()}

x

N () = {x X : x , v

X : x , x x



0 x },

= {x

ở đó X ký hiệu không gian đối ngẫu của X và x , v ký hiệu giá trị của

/

x

phiếm hàm tuyến tính x X tại v X. Nếu x , thì ta đặt N () = .

Có thể chứng minh rằng x là nghiệm của (P ) khi và chỉ khi



(1.9)



x

0 () + N (),

x



ở đó



() := {x X : x , x x

x



(x) () x X}

x



là dới vi phân (subdifferential) của tại x dom = {x X : (x) I



R};

xem Ioffe và Tihomirov (1979). Đặt

(1.10)



F (x) = (x) + N (x)



x dom ,



và F (x) = với mọi x dom . Khi đó bao hàm thức (1.9) trở thành 0 F ().

/

x

Vậy việc giải bài toán (P ) đợc quy về việc tìm những điểm x X thỏa mãn



bao hàm thức 0 F (), tức là việc tìm các điểm cân bằng (các không điểm)

x

của ánh xạ F cho bởi (1.10).

Hiển nhiên (1.10) là ánh xạ đa trị có giá trị lồi. Tuy thế, nó không nhất thiết

là ánh xạ đa trị lồi.



1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị



18



Ví dụ 1.1.7. Cho X = I = [1, 1], (x) 0. Khi

R,









(, 0]

F (x) := (x) + N (x) = N (x) =

{0}





[0, )



đó ánh xạ đa trị

nếu x

/

nếu x = 1

nếu x = (1, 1)

nếu x = 1



có đồ thị là tập điểm tô đậm trong Hình 2. Hiển nhiên gph F không phải là tập

lồi.



Hình 2



1.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dới của

ánh xạ đa trị

Nhắc lại rằng một họ các tập con 2X của tập hợp X đợc gọi là một tôpô

trong X nếu

(i) , X ;

(ii) giao của một họ hữu hạn tuỳ ý các tập thuộc lại là một tập thuộc ;

(iii) hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc là một tập thuộc .

Các tập thuộc đợc gọi là các tập mở. Phần bù trong X của một tập mở

đợc gọi là tập đóng. Tập X đợc trang bị một tôpô đợc gọi là một không

gian tôpô, và đợc ký hiệu bởi (X, ). Thay cho (X, ), để cho đơn giản, nhiều

khi ta chỉ viết X, nếu tôpô đã đợc xác định theo một cách nào đó. Nếu

(X, d) là một không gian mêtric thì ta ký hiệu bởi B họ các hình cầu mở

B(x, ) := {y X : d(y, x) < }



(x X, > 0).



1.2. Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dới



19



Xét các tập là giao của một số hữu hạn các tập thuộc B, và ký hiệu bởi họ

các tập có thể biểu diễn dới dạng hợp của một họ tuỳ ý các tập giao nh vậy.

Ta có là một tôpô trên X; đó chính là tôpô tơng ứng với mêtric d đã cho trên

X.

Nếu (X, ) là một không gian tôpô và M X là một tập con tùy ý thì

M := {U M : U }

là một tôpô trên M . Tôpô M đợc gọi là tôpô cảm sinh của M . Tập UM :=

U M đợc gọi là vết 6 của U trên M .

Ta đã biết rằng nếu f : X Y là ánh xạ đơn trị từ không gian tôpô X vào

không gian tôpô Y , thì f đợc gọi là liên tục tại x X nếu với mỗi tập mở V



chứa f () (V là lân cận mở của f () trong tôpô của Y ) tồn tại lân cận mở U

x

x

của x sao cho



f (x) V x U.

Ta nói f là liên tục ở trên X nếu nó là liên tục tại mọi điểm thuộc X. Dễ thấy

rằng f là liên tục ở trên X nếu, với mỗi tập mở V Y , ảnh ngợc

f 1 (V ) := {x X : f (x) V }

của V là tập mở trong X.

Có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục sang cho ánh xạ đa trị theo

hai cách khác nhau. Kết quả là ta thu đợc hai khái niệm có nội dung hoàn toàn

khác nhau: ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và ánh xạ đa trị nửa liên tục dới.

Theo Aubin và Frankowska (1990), hai khái niệm này đã đợc B. Bouligand và

K. Kuratowski đa ra năm 1932. Ngày nay, nhiều khi ngời ta dùng các cụm từ

ánh xạ đa trị nửa liên tục trên theo Berge và ánh xạ đa trị nửa liên tục dới

theo Berge để chỉ hai khái niệm này, vì chúng đợc khảo sát khá kỹ trong một

cuốn chuyên khảo của C. Berge (1959).

Cho F : X Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không gian tôpô

Y.

Định nghĩa 1.2.1. Ta nói F là nửa liên tục trên tại x dom F nếu với mọi tập



mở V Y thỏa mãn F () V tồn tại lân cận mở U của x sao cho

x



F (x) V



x U.



Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc dom F , thì F đợc gọi là nửa

liên tục trên ở trong X.

6



TNTA: trace.



1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị



20



Định nghĩa 1.2.2. Ta nói F là nửa liên tục dới tại x dom F nếu với mọi tập



mở V Y thỏa mãn F () V = tồn tại lân cận mở U của x sao cho

x



F (x) V = x U dom F.

Nếu F là nửa liên tục dới tại mọi điểm thuộc dom F , thì F đợc gọi là nửa

liên tục dới ở trong X.

Định nghĩa 1.2.3. Ta nói F là liên tục tại x dom F nếu F đồng thời là nửa



liên tục trên và nửa liên tục dới tại x. Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc



dom F , thì F đợc gọi là liên tục ở trên X.

Ví dụ 1.2.1. ánh xạ đa trị



{0}

F (x) = [1, 1]



{1}



nếu x < 0

nếu x = 0

nếu x > 0



từ I vào I là nửa liên tục trên ở trong I nhng không là nửa liên tục dới

R

R

R,

tại x = 0. Nh vậy, F không phải là ánh xạ liên tục ở trên I



R.



Hình 3

Ví dụ 1.2.2. ánh xạ đa trị

F (x) =



[0, 1]

{0}



nếu x = 0

nếu x = 0



không phải là ánh xạ liên tục ở trên I vì F chỉ là nửa liên tục dới tại x = 0,

R,



chứ không là nửa liên tục trên tại điểm đó.