§9. Ký hiệu Christoffel và Tenxơ Mêtric.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (897.56 KB, 90 trang )
∇ b gca = 0 ⇒ ∂ b gca − Γ d gda − Γ d gdc = 0
bc
ba
(6)
d
d
∇ c gab = 0 ⇒ ∂ c gab − Γ cagdb − Γ cbgda = 0
(7)
Ta lấy (5)-(6)-(7) và chú ý tới tính đối xứng củaĠ
d
2 Γbcgda + ∂ a gbc − ∂ b gca − ∂ c gab = 0
1
Γ d bcgda = (∂ b gca + ∂ c gab − ∂ a gbc )
2
Nhân cả hai vế vớiĠ
Γd =
bc
1 da
g (∂ b gca + ∂ c gab − ∂ a gbc )
2
Γa =
bc
1 ad
g (∂ b gcd + ∂ c gdb − ∂ d gbc )
2
(8)
(9)
a
Vậy nếuĠ thìĠ có dạng như (9). Ta có thể nói ngược lại : Nếu như Γ bc có
dạng như (9) thì sau khi tính tốn trực tiếp ta thấyĠ
3. Nếu ta đặt .Ġ
⇒ [bc, d] =
1
(∂ b gcd + ∂ c gdb − ∂ d gbc )
2
(10)
thì (10) gọi là ký hiệu Christoffel loại 1
Ta dễ dàng chứng minh tiếp:
∇ cδ ab = 0 ; ∇ c gab = 0
[ab,c] + [cb, a] = ∂ b gac
§10 . ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA
1. Trong mục này ta tìm phương trình cho đường trắc địa xuất phát từ
ngun lý tác dụng tối thiểu. Trong cơ học, cơ hệ sẽ chuyển động từ P đến Q
sao cho biến phân của hàm tác dụng bằng 0.
Còn trong hình học: đường cong nối hai điểm P và Q sẽ ngắn nhất khi biến
phân của hàm tác dụng bằng 0.
Ta chọn hàm L có đặc trưng độ dài. Như đã biết:
ds2 = gabdxadxb
(1)
2
dxa dxb
⎛ ds ⎞
& &
L = ⎜ ⎟ = gab
= gab x a x b
du du
⎝ du ⎠
(2)
Hàm tác dụng:
Ġ
(3)
Bằng phương pháp biến phân ta nhận được phương trình Lagrange_Euler:
19
d ⎛ ∂L ⎞
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
∂L
− ⎜ c⎟=0
=0
⇒
⎜
⎟−
du ⎝ ∂xc ⎠ ∂xc
&
&
∂x c du ⎝ ∂x ⎠
∂L ∂gab a b
& &
x x
=
∂x c ∂x c
∂L
∂
& &
&
= c gab x a x b = 2gàc a
x
c
&
&
∂x
∂x
dgac dxa dxb
&
d ⎛ ∂L ⎞
dx a
+2 b
⎟ = 2gac
⎜
du ⎝ ∂x c ⎠
du
&
dx du du
(
(4)
)
Thay kết quả vừa tìm được vào (4) và sau một vài biến đổi ta nhận được
d 2 xd
d
& &
+ Γab x a x b = 0
2
du
d 2 xa
+ Γ a xb xc = 0
bc & &
2
du
hay
(5)
Phương trình (5) trùng với phương trình (8) - §8.
Thơng số u trong trường hợp này gọi là thơng số Affine, thường ký hiệu
bằng chữ s hoặc (
Nếu ta đặt
ĉ
với Ġ: gọi là hàm Lagrange
Thì phương trình Lagrange- Euler vẫn có dạng:
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
=0
⎜
⎟−
du ⎝ ∂xc ⎠ ∂xc
&
a
2. Vectơ X và Y
b
trực giao nhau khi
r r
X .Y = gab X aY b = 0
(6)
Nếu:Ġ thì vectơĠ gọi là vectơ null
Vectơ null có độ dài bằng khơng nhưng các thành phần của nó khác khơng,
trong khi vectơ zero có độ dài bằng khơng với tất cả các thành phần bằng
khơng.
dxa
dxa dxb
2L = gab
= 0 khi vectơ
là vectơ null.
du du
du
(7)
Do vectơ null nằm dọc theo nón ánh sáng nên hàmĠ = 0 dành cho tia sáng
(hạt photon)
KhiĠ có độ dài bằng đơn vị
Đối với vật m chuyển động với vận tốc < c ta cũng áp dụng phương trình
Lagrange-Euler (phương trình đường trắc địa) nhưng:
2L = gab
dxa dxb
=1
du du
(8)
Chú ý: Nếu ta chọn dấu của mêtricĠ
Thì (8) lấy dấu +
Nếu ta dấu của mêtric
Ġ
Thì (8) lấy dấu -
20
§ 11. TENXƠ RIEMANN
Ta chú ý rằng nói chung đạo hàm hiêp biến khơng giao hốn. Ta có :
Đạo hàm riêng:
Ġ
a
Đạo hàm hiệp biến:Ġ. Xét đạo hàm hiệp biến vectơ phản biến X
a
∇ c X a = ∂ c X a + Γbc X b
Đây là tenxơĠ
(1)
Tác dụng tiếpĠ lên (1) và chú ý (1) là tenxơĠ
(
) (
) (
Tương tự ta tính:
∇ ∇ X = ∂ (∂ X + Γ X ) + Γ (∂ X + Γ X ) − Γ (∂ X
Lấy (3) -(2) và chú ýĠ
∇ ∇ X − ∇ ∇ X = R X + (Γ − Γ )∇ X
)
X ) (3)
a
a
∇ d∇c X a = ∂ d ∂ c X a + ΓbcX c + Γed ∂ c X e + Γe X b − Γe ∂ eX a + Γ a X b (2)
bc
cd
be
c
c
d
d
a
a
c
d
a
bd
a
d
c
a
b
a
bcd
a
ec
b
d
e
e
cd
e
bd
e
dc
e
b
e
dc
e
a
+ Γa
be
b
a
Trong đó:Ġ
(4)
Nếu khơng gian của ta khơng xoắn, nghĩa là :Ġ thìĠ gọi là tenxơ Riemann Christoffel. Gọi tắt là tenxơ Riemann.
a
∇ c∇ d X a − ∇ d ∇ c X a = Rbcd X b
(5)
Nếu sử dụng ký hiệu ĺ
∇∇ X a =
Thì:
[cd]
1 a b
Rbcd X
2
(6)
§ 12. HỆ TỌA ĐỘ TRẮC ĐỊA
Tại điểm P bất kỳ ta ln chọn được hệ tọa độ mà trong đó
Γ a (P) = 0
bc
Hệ tọa độ này có tên hệ tọa độ trắc. Đối với các nhà vật lý thì đó là hệ quy
chiếu qn tính.
NếuĠ tại mọi điểm trong tồn khơng gian thì khơng gian gọi là phẳng
Ta có định lý : điều kiện cần và đủ để khơng gian là phẳng là tenxơ
Riemann=0
§ 13 . TENXƠ RICCI
Ta viết lại định nghĩa tenxơ Riemann
a
a
e a
e a
Rbcd = ∂ cΓbd − ∂ d Γ a + ΓbdΓec − ΓbcΓed
bc
(1)
Với Ġ
(2)
Nhìn vào định nghĩa ta nhận ra ngay tenxơ dộ cong Riemann phản đối xứng
với hai chỉ số cuối:
21
a
a
Rbcd = − Rbdc
(3)
e
e
⇒ geaRbcd = − geaRbdc
⇒ Rabcd = − Rabdc
(4)
Trong phần bài tập ta chứng minh được :
Rabcd = − Rbacd
Rabcd = Rcdab
Ta cũng chứng minh được:
a
a
a
Rbcd + Rdbc + Rcdb = 0
Hạ chỉ số ta có đồng nhất thức Ricci:
Rabcd + Radbc + Racdb = 0
(8)
Bằng cách chọn hệ tọa độ trắc địa cho biểu thức (1) sau đó đạo hàm hiệp
biến rồi hốn vị vòng quanh các chỉ số ta nhận được đồng nhất thức Bianchi:
∇ a Rdebc + ∇ b Rdeca + ∇ c Rdeab = 0
Ta có:
a
Rbcd ⇒ cho a = c
a
Rbad = Rbd = gac Rabcd
a
a
a
Rbd = ∂ aΓbd + ∂ d Γ a + Γ eaΓ e - Γ edΓ e gọi là tenxơ Ricci (9)
ba
bd
ba
Từ Ġ suy ra tenxơ Ricci đối xứng
Ġ : độ cong vơ hướng, hay vơ hướng Ricci
Tenxơ Einstein được định nghĩa như sau:
Gab = Rab −
(10)
1
gabR
2
§ 14. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘ LỆCH TRẮC ĐỊA
Xét họ đường trắc địa theo thơng số ( và được đánh số n
x a = x a (λ , n)
Vectơ tiếp tuyếnĠ
Vectơ nối hai đường trắc địa ngay cạnh nhau
∂x a
a
∂n
=n
DoĠ là đường trắc địa vàĠ là vectơ
tiếp tuyến của nó nên đạo hàm tuyệt đối của
ua sẽ bằng không: ∇U ua = 0
Tác dụng tiếpĠ lên (1)
∇ N ∇ U ua = 0
Cơng trừ hai vế vớiĠ
22
(n + ∆n)
Q(λ , n + ∆n)
r
u
r
n
n
