§2. Quỹ đạo kỳ lạ của Sao Thủy - Mecury.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (897.56 KB, 90 trang )
Sao
Th ỷ
2
Ta cú th xem mt tri l khi cu. Do khi lng rt ln nờn mt tri to ra
quanh mỡnh trng hp dn mnh cú tớnh i xng cu. Lỳc ny nghim thớch
hp nht cho vựng khụng thi gian quanh mt tri l nghim Schwarzschild.
Ta xột ht khi lng n v chuyn ng trờn ng trc a ging-thi
gian (time-like) da trờn nghim Schwarzschild.
Ta cú:; chia hai v cho thi gian riờn
2
dx a dx b
ds
& &
= g ab x a x b
= g ab
d d
d
(1)
Ta phi dựng thi gian riờng (proper time) vỡ thi gian riờngl thụng s
Affine.
Nu ta co
(2)
Nh ó bit:
& &
2 L = g ab x a x b
Nờn ta cú:
2
ds
& a &b
= 1 = g ab x x = 2L
d
Thay cỏc ca Schwarschild vo (3):
2L =
1
2m &2 2m 2
2 &2
2
2 &2
&
r r r sin = 1
1
t 1
r
r
(4)
(4) l hm Lagrange cho ht chuyn ng trong khụng thi gian c mụ
t bi nghim Schwarzschild. T nguyờn lý tỏc dng ti thiu ta cú phng
trỡnh Lagrange:
d L
L
x a d x a
&
=0
a = 0,1,2,3
Ta ch cn tỡm 3 phng trỡnh l :
a=0
L
=0
t
1
L
2m &
= 1
t
&
r
t
;
36
0
d
d
2m &
1 r t = 0
(5)
L
&
= r 2
&
L
&
= r 2 sin cos 2 ;
d 2&
&
r r 2 sin cos 2 = 0
d
a=2
( )
a=3
0+
(6)
L
&
= r 2 sin 2
&
L
= 0;
[
]
d 2 2 &
r sin = 0
d
(7)
Trong c hc Newton ta thng xột chuyn ng ca cỏc hnh tinh trong
mt phng nờn bõy gi trong thuyt tng i rng ta cng xột chuyn ng
ca cỏc hnh tinh trong mt phng xớch o.
Xột trng hp :
Thay vo (7):
d 2 2 & d 2
r sin
=
r
d
2 d
&
r 2 = const h
&
= 0
(8)
Xột (5):
d
d
2m
1
r
t& = 0
2m &
1
t = const k
r
(9)
Thay (9) vo (4):
1
2
1
2m
2m 2
2 &2
k 1
1
r 0 r =1
r
r
(10)
t
Thay vo (10) v sau mt vi bin i n gin ta c:
2
du
k 2 1 2mu
2
+ 2 + 2mu 3
+u =
d
2
h
h
(11)
Cú th gii (11) bng tớch phõn ellispe, tuy nhiờn ta cú cỏch gii gn ỳng
sau:
o hm (11) theo:
2
du d 2u
du 2m du
du
+ 2u
= 2
+ 6mu 2
d d 2
d h d
d
37
T õy ta c phng trỡnh Binet tng i tớnh.
d 2u
m
+ u = 2 + 3mu 2
2
d
h
(12)
-Nh li trong c hc Newton ta cú phng trỡnh Binet:
d 2u
à
+u = 2
d 2
h
à = G (M 1 + M 2 )
So sỏnh ta thy phng trỡnh (12) sai khỏc s hng. i vi sao Thy
s hng nynờn ta cú th ỏp dng phng phỏp gn ỳng tớnh .
Ta a vo thụng s:
Thay vo (12):
(13)
Ta tỡm nghim di dng:
u = u0 + u1 + ( 2 )
(14)
Thay (14) vo (13):
2 2
m
u1 + u1 h u0 + ( 2 ) = 0
u0 + u0 2 +
m
h
(15)
p dng phng phỏp nhiu lon ta cú:
1.
Gn ỳng bc khụng : phng trỡnh Binet. Nghim cú dng:
u0 =
m
(1 + e cos ).
h2
Ta choùn
0 = 0
Thc cht õy l bi toỏn Kepler m ta ó gii trong c lý thuyt:
r=
2.
1 + e cos
1
= 1 (1 + e cos )
r
vi
Gn ỳng bc mt:
Thayvo (16):
(16)
m
m
(1 + e cos ) 2 = 2 (1 + 2e cos + e 2 cos 2 )
2
h
h
1
2
Do cos = (1 + cos 2 )
2
m e 2 2me
me 2
+ u1 = 2 1 + + 2 cos + 2 cos 2
u1
2 h
h
2h
u1 + u1 =
Ta tỡm nghim di dng:
Sau khi tỡm nghim ta c:
38
m e2
A = 2 1 +
2
h
me
; B= 2
h
;
me 2
C= 2
6h
Túm li nghim tng quỏt (14) vi chớnh xỏc bc mt cú dng:
u = u0 +
m
h2
1 1
1 + e sin + e 2 cos 2
2 6
(17)
Hay:
u
m
(1 + e cos + e sin ) m {1 + e cos[ (1 )]}
2
h
h2
Ta ó ỏp dng:
cos( ) = cos cos + sin sin
3. Cui cựng ta ó gii quyt xong bi toỏn Kepler trong thuyt tng i
rng v kt qu:
u=
m
{1 + e cos[ (1 )]}
h2
(18)
(18) mụ t qu o hnh tinh l elipse nhng do cosnx cú chu k l nờ
s cú chu k l .
2
= 2 (1 + + ...) 2 (1 + ) = 2 + 2
(1 )
(19)
Biu thc ny cú ngha l sao Thy sau khi quay mt vũng quanh mt tri
thỡ trc chớnh ca elipse s quay c mt gúc bng
Sau khi chuyn sang h SI ta c:
24 3 a 3
2 2 2
c T 1 e2
(
)
(20)
Cụng thc ny do Einstein tỡm ra u tiờn.
trc chớnh ca elipse; vn tc ỏnh sỏng
chu k-Thi gian hnh tinh quay ht mt vũng.
eccentricity ca qu o
Kt qu quan sỏt nm 1971
Tớnh toỏn lý thuyt
Sao Thu
43.1 0.5
43
Sao Kim
8.4 4.8
8.6
Qu t
5 1.2
(Trong 100 nm)
3.8
Đ3. S UN CONG CA TIA SNG.
Theo thuyt tng i hp, ỏnh sỏng trong chõn khụng s truyn
theo ng thng. Theo thuyt tng i rng ỏnh sỏng s truyn theo
39
ng trc a null(null-geodesic ) . Ta s xột tia sỏng i trong trng hp
dn gõy bi mt tri.
Ta xõy dng hm Lagrange cho ỏnh sỏng vi -Schwarschild
& &
2 L = g ab x a x b = 0
(1)
1
2m &2 2m 2
2 &2
2
2 &2
&
2 L = 1
t 1
r r r sin = 0
r
r
(2)
Hon ton tng t nh Đ2 ta c phng trỡnh cho tia sỏng ng vi
=
;
2
&
& = & = 0 ;
sin = 1
d 2u
+ u = 3mu 2
2
d
(3)
Vi trng hp gii hn khi ta tr v thuyt tng i hp
d 2u
2 +u =0
d
(4)
Nghim (4)cú dng:
u0 =
1
cos( 0 ) ;
D
D = const
õy l phng trỡnh ng thng. Kt qu phự hp vi thuyt ca Newton.
Q
D
P
O
OP = r ; OQ = D
1
1
= =u
choùn 0 = 0
OP r
1 1
= cos D = r. cos
r D
40
