§3. Sự uống cong của tia sáng.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (897.56 KB, 90 trang )
đường trắc địa null(null-geodesic ) . Ta sẽ xét tia sáng đi trong trường hấp
dẫn gây bởi mặt trời.
Ta xây dựng hàm Lagrange cho ánh sáng vớiĠ -Schwarschild
& &
2 L = g ab x a x b = 0
(1)
−1
⎛ 2m ⎞ &2 ⎛ 2m ⎞ 2
2 &2
2
2 &2
&
2 L = ⎜1 −
⎟t − ⎜1 −
⎟ r − r θ − r sin θφ = 0
r ⎠
r ⎠
⎝
⎝
(2)
Hồn tồn tương tự như §2 ta được phương trình cho tia sáng ứng với
θ=
Π
;
2
&
θ& = θ& = 0 ;
sin θ = 1
d 2u
+ u = 3mu 2
2
dφ
(3)
Với trường hợp giới hạn khiĠ ta trở về thuyết tương đối hẹp
d 2u
⇒ 2 +u =0
dφ
(4)
Nghiệm (4)có dạng:
u0 =
1
cos(φ − φ 0 ) ;
D
D = const
Đây là phương trình đường thẳng. Kết quả phù hợp với thuyết của Newton.
Q
D
φ
P
O
OP = r ; OQ = D
1
1
= =u
chọn φ 0 = 0
OP r
1 1
= cos φ ⇔ D = r. cos φ
r D
40
Tuỳ theo giá trịĠmà tam giác có thể thay đổi nhưng lúc nàoĠ lúc nào cũng
vẫn là đường thẳng. Bây giờ quay lại phương trình (3) của thuyết tương đối
rộng.
u"+u = 3mu 2
(6)
Tìm nghiệm dưới dạng:Ġ
Sau khi thay (7) vào (6) ta được:
(7)
2
2
′
′
u0′ + u0 + 3m(u1′ + u1 ) = 3mu0 + 18m 2u0u1 + 27 m 2u1
1. Gần đúng bậc khơng :
Ġ
ta chọnĠ
2. Gần đúng bậc một:
2
′
′
u1′ + u1 = u0 ⇒ u1′ + u1 =
1
cos 2 φ
2
D
(8)
(8) là phương trình vi phân bậc hai có vế phải . Ta cần chọn 1 nghiệm riêng
của
(8) và nghiệm đó có dạng:
u1 =
1
(2 − cos 2 φ )
2
3D
Vậy nghiệm tổng qt gần đúng bậc 1 sẽ là :
u = u 0 + 3mu1 =
cos φ m
+ 2 ( 2 − cos 2 φ )
D
D
(9)
Xét giá trị tiệm cận của (9):
DoĠnên khi Ġ thì Ġ vậy ta có :
0=
cos φ m
cos φ 2m
+ 2 (2 − cos 2 φ ) ≈
+ 2
D
D
D
D
⇒ cos φ = −
2m
π 2m
)
suy ra ngay φ = ± ( +
D
2 D
Từ hình vẽ ta tính được góc lệch của 2 đường tiệm cận khiĠ
Ġ DoĠ nênĠ
+(
Π 2m
+
)
D
2
−(
41
Π 2m
)
+
D
2
Người quan sát cho rằng
ngôi sao ở đây
∆ = 1,75′′
D
Sun
Người quan sát
Vò trí thật của ngôi sao
Tia sáng từ ngôi sao ở rất xa
Vậy tia sáng khi đi ngang qua mặt trời sẽ bị bẻ cong dưới một góc bằng
1,75”. Điều này có thể hiểu do trường hấp dẫn của mặt trời nên khơng – thời
gian bao quanh nó đã bị uốn cong và việc tia sáng bị uốn cong là hệ quả. (Tia
sáng truyền theo đường trắc địa null trong khơng – thời gian quanh mặt trời).
Để kiểm tra người ta chụp các sao khi khơng có mặt trời. Sau đó khi có nhật
thực tồn phần người ta lại chụp lại các sao đó. So sánh hai bức ảnh người
ta nhận thấy các sao trong ảnh khi nhật thực sẽ rời xa nhau hơn do tia sáng
bị bẻ cong khi đi ngang qua mặt trời. Lúc này ta chọn D = bán kính mặt trời,
có nghĩa coi như tia sáng đi sát mép mặt trời.
Ngày nay khi đo các tín hiệu từ các Quasars , người ta nhận thấy khi đi
ngang qua mặt trời các tín hiệu vơ tuyến đã bị lệch từĠ
Thiên hà hoặc lỗ đen có
khối lượng cực lớn
Hiệu ứng thấu kính hấp dẫn khi xét trong
không_thời gian Schwarzschild
Hiệu ứng này được phát hiện năm 1980 khi quan sát quasar
0957+561A,łDo hiệu ứng trên mà chụp được 2 quasars. Thực tế có một
quasar mà thơi.
42
§4. DỊCH CHUYỂN ĐỎ HẤP DẪN –GRAVITATIONAL RED SHIFT
Đây cũng là một trong những hiệu ứng kinh điển chứng minh sự đúng
đắn của thuyết tương đối rộng. Từ ngun lý tương đương ta có thể suy ra
hiệu ứng này.
x0 = t
0
dx2
dx 10
xα
α
x1
xα
2
Để tiện ta ký hiệu như sau:Ġ; Ġ xét hai vị trícách xa nhau với hai đồng hồ
ngun tử chạy đồng bộ với nhau. Từ vị trí 1 ta gửi tín hiệu vơ tuyến đến vị trí
2.
Tại 1: Thời gian giữa hai đỉnh sóng liên tiếp nhauĠlà thời gian riêng vì
máy phát đứng n tạiĠ. Tọa độĠsẽ được xác định từ định nghĩa thời gian
riêng.
a
b
0
0
dτ 2 = ds 2 = g ab dx1 dx1 = g 00 dx1 dx1 + 0 + 0 + 0
α
0
= g 00 ( x1 )(dx1 ) 2
(1)
Do máy phát đứng n tại ı chỉ phụ thuộc vào tọa độ mà khơng phụ thuộc
vào thời gian vì ta xét q trình này trong khơng –thời gian tĩnh (Static Spacetime :khơng –thời gian khơng giãn nở, co lại theo t).
43
Tại 2: Khi tín hiệu đến vị trí thứ 2 thì người quan sát tại đó sẽ nhận thấy
khoảng thời gian giữa hai đỉng sóng liên tiêp sẽ làĠứng với tọa độ thời gian
0
dx2 .
Tương tự như (1) ĺ
Do khơng –thời gian tĩnh nênĠĽ
Lấy (2) chia (1)
(2)
(α .dτ )2 = α 2 = g 00 ( xα )
2
α
2
dτ
g 00 ( x1 )
⎛ g 00 ( xα ) ⎞
2 ⎟
⇒α = ⎜
⎜ g ( xα ) ⎟
⎝ 00 1 ⎠
1
2
(3)
Từ đây ta thấy hệ sốĠ chỉ cho ta biết đồng hồ chuẩn bị tại 2 gõ nhịp bao
nhiêu lần trong khoảng thời gian tiếp nhận giữa hai đỉnh sóng. Điều này có
nghĩa thiết bị ngun tử tại 1 có tần số đặc trưngĠ thì người tiếp nhận tại 2 sẽ
đo được tần sốĠ.
Nếu ta coi thời gian giữa hai đỉnh sóng tại 1 làĠ thì tại 2 sẽ làĠ
Do: T =
1
ν
⇒ T0′ = αT0 =
α
1
=
′
ν0 ν0
α
⎛ g 00 ( x1 ) ⎞
v0
⎟
′
⇒ v0 = = v0 ⎜
⎜ g ( xα ) ⎟
α
⎝ 00 2 ⎠
1
2
(4)
Từ (4) ta nhận thấy nếu:Ġ
Tần số càng nhỏ thì bước sóng càng lớnĠlệch về phía đỏ (bước sóng dài).
*Độ lệch tần số được định nghĩa:
Ġ Nếu như trường hấp dẫn yếu thì ta có:
g 00 ≈ 1 +
(5)
2Φ
c2
;
1
2Φ ⎤ 2
Φ
⎡
1 + 21
1 + 21 ⎥
⎢
′
∆ v v0
c
c −1
=
−1 = ⎢
⎥ −1 ≈
Φ
v0 v0
⎢1 + 2 Φ 2 ⎥
1 + 22
2 ⎥
⎢
c ⎦
c
⎣
Φ − Φ 2 Φ1 − Φ 2
= 21
≈
c + Φ2
c2
(6)
Chú ý: Ġ
Thay (5) vào (6)ĺ
44
Φ = −G
M
r
