Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (580.64 KB, 71 trang )
Sáng kiến kinh nghiệm:
TÍNH HIỆU QUẢ TRONG LỜI GIẢI BÀI TOÁN
CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng
Chương trình cải cách sách giáo khoa lớp 12 hiện hành, bên cạnh các bài
toán cơ bản, tương đối đơn giản như: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên đường
thẳng và lên mặt phẳng, hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng, viết phương
trình đường thẳng, viết phương trình mặt phẳng,… còn có những bài toán phức
tạp, đòi hỏi người giải cần có một kiến thức nhất định, như tìm tọa độ của điểm
thuộc đường thẳng, thuộc mặt phẳng sao cho thỏa biểu thức lớn nhất, nhỏ nhất,
hoặc viết phương trình đường thẳng cách điểm cho trước lớn nhất... Đây là
những dạng toán khó, chỉ có trong chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại
học cao đẳng.
Từ thực tế giảng dạy học sinh 12 tại trường, tôi nhận thấy đây là dạng toán
không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi, những
em có nhu cầu học ôn thi đại học và cao đẳng. Đứng trước bài toán loại
này người giải có sự lựa nhiều phương pháp khác nhau sao cho lời giải hiệu quả.
Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy,
vectơ, phương pháp tọa độ thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen
thuộc.
Từ ví dụ sau, phần nào sẽ thấy được việc lựa chọn phương pháp quan trọng
như thế nào khi tiến hành giải toán nói chung, và khi giải toán cực trị hình học
giải tích không gian nói riêng.
Ví dụ:
Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm A(2;5;3) và
x−1
z−2
=
y
.
Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa
ñường thẳng d:
=
2
1
2
ñường thẳng d sao cho khoảng cách từ A ñến (α ) lớn nhất. (ðề thi ñại học
năm 2008, khối A).
Phương pháp giải phổ biến
Phương trình mp (α ) dạng: ax +by +cz +d = 0, a2+b2+c2 >0
mp (α ) chứa d nên mp (α ) qua M,N. Ta có:
a + 2c + d
=0
−a−b+d =0
c
=
−a
− 2a − b
2
−d =
2
d =a+b
⇔
Phương trình mp (α ) viết lại: ax +by
-
2a
+b
2
z +a +b = 0
2a + 5b −
a2 +b2 +
2
3
(2a + b) + a + b
2
2a + b
2
Khoảng cách từ A đến mp (α ) là:
d(A, (α ) ) =
=
9b
8a 2 + 5b2
+ 4ab
9
(1)
5
• a=
0, ta
có:
d(A,
(α ) )
=
≠
• a 0,
chọn a = 1
ta có: d(A,
(α ) ) =
9
b
9b
5b 2 + 4b + 8
5
b
2
+
4
=
b
8
+
9b
Đ
, f’(b) =
ặt 5b + 2
f( 9 5b 2 + 4b + 8 − 9b
b 5b 2 + 4b + 8
)
5b 2 + 4b + 8 2
= 5b 2 + 4b + 8
(
)
f
⇔ 9(5b2
’
( + 4b + 8)
=
b
) 9b(5b+2)
= ⇔ 18b = -72
0 ⇔
b = -4
5lim f (b) =
BBT của b→±∞
hàm f(b)
Ta có
-
∞
2
2
D
ự
a
v
à
o
B
B
T
s
u
y
r
a
v
ớ
i
a
0
,
0
<
f’(b)
∞
+
-4
0
+
f(b)
9
5
9
5
9
(2)
≠
9
b
9
d
(
A
,
(
α
)
)
− 9
2
≤
Từ (1) và (2) suy ra
d(A, (α ) ) lớn nhất
khi d(A, (α ) ) =
tại b =
-4, (a
= 1)
Vậy phương trình mp (α ) : x - 4y
+z – 3 = 0.
Nhận xét:
Với phương pháp giải tổng quát như trên có nhiều sự hạn chế: Dài dòng và
tổng hợp nhiều kiến thức khó, gây nhiều khó khăn cho cả học sinh khá trong
việc luyện tập dạng toán này.
Bài toán sẽ đơn giản hơn khi ta giải quyết theo hướng sau.
Đường thẳng d đi qua M(1;0;2) và có
vtcp:
u d (2;1;2)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d, AH = const.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mp (α ) . Ta có khoảng cách từ A
đến mp (α ) :
d(A, (α ))=AK
Do đó d(A, (α ) ) lớn nhất
⇔
(α ) ⊥
≤
AH,
⇔
H≡K
[
mp
Ta tìm được VTPT của mp(A,d) là n = MA ,
u
mp(A,d).
]= (9;0;−9)
d
Mặt phẳng
chứa d đồng thời mp (α ) ⊥ mp(A,d) nên ta tìm được VTPT của
mp
[ ]= (9;−36;9)
(α )
(α )là:
n = n,
u
α
d
Vậy phương trình của mp (α ) là: 9x -36y +9z -27 = 0
⇔
x - 4y +z – 3 = 0.
Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, song việc tìm ra một lời giải hợp
lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ. Với mỗi bài toán có đặc
thù riêng, người giải cần lựa chọn phương pháp giải thích hợp, để mang lại
hiệu quả.
Đứng trước thực trạng trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho
các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng
linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự
học, tự
nghiên cứu. Được sự động viên, giúp đỡ của quý thầy cô giáo tổ Toán - Tin, Ban
Giám hiệu Trường THPT Lý Tự Trọng, tôi đã mạnh dạn viết SKKN:
“TÍNH HIỆU QUẢ TRONG LỜI GIẢI BÀI TOÁN
CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN”.
• Thuận lợi
- Đa số học sinh nắm tốt kiến thức cơ bản bộ môn hình học giải tích
không
gian . - Đa số học sinh chịu khó, chịu nghiên cứu các dạng bài tập.
- Được sự động viên của BGH, sự góp ý nhiệt tình của quý thầy cô giáo tổ
Toán – Tin Trường THPT Lý Tự Trọng.
• Khó khăn
- Học sinh không có thế mạnh bộ môn hình.
- Không có nhiều thời gian để đưa ra đầy đủ các dạng bài tập về cực trị.
- Đặc điểm phần cực trị kiến thức khó hiểu, gây khó khăn trong việc dạy.
2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới
- Với mỗi bài toán, việc định ra một hướng giải hiệu quả không những giúp
cho người giải tiết kiệm được thời gian, hạn chế việc vận dụng những kỉ năng
phức tạp, mà nó còn là một vấn đề mang tính khoa học trong tư duy, cũng như
trong cách suy nghĩ. Với SKKN“ Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị
hình học giải tích không gian” cũng vậy. Với việc định hướng lời giải đúng cho
từng loại bài toán cực trị, mang lại nhiều lợi ích cho người giải. Người giải đã
chuyển từ bài toán khó, phức tạp thành bài toán dễ mang lại hiệu quả cao.
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài
- Học sinh lớp 12A1, 12A2 Trường THPT Lý Tự Trọng.
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu hướng giải quyết các bài toán cực
trị hình học giải tích không gian hiệu quả.
II. Phương pháp tiến hành
1. Cơ sở lý luận
Trong thực tế dạy học, yêu cầu người giáo viên không những trang bị cho
học sinh phương pháp giải được bài toán cực trị, mà còn phải biết chọn lọc hướng
giải quyết bài toán sao cho ngắn gọn, đảm bảo tính hiệu quả. Tránh trường hợp
sử dụng các cách giải phức tạp làm cho học sinh rối và tính hiệu quả không cao.
Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận,
khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được
những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên, chứ không áp đặt ngay kiến thức
nâng cao.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này, chủ yếu tập trung vào việc phân tích tìm
lời giải bài toán và tính hiệu quả của từng phương pháp lựa chọn, sao cho mang
lại kết quả ngắn gọn và hiệu quả nhất.
2. Các biện pháp tiến hành
• Phương pháp phân tích tổng hợp.
• Phương pháp thực nghiệm.
• Phương pháp toán học để xử lý số liệu thu được.
*) Số liệu thống kê trước khi thực hiện đề tài.
Tiến hành điều tra mức độ hiểu biết của học sinh lớp 12a1, 12a2 Trường
THPT Lý Tự Trọng về “Tính hiệu quả trong lời giải bài toán cực trị hình học
giải tích không gian” trong 2 năm học, số lượng học sinh biết giải hiệu quả bài
toán thể hiện qua bảng sau:
Năm học
Lớp
Số
lượng
2010- 2011
2011 - 2012
12a1+ 12a2
12a1+ 12a2
95
95
Không biết
giải
83 87,4%
79 87,2%
Biết giải
nhưng chưa
hiệu quả
12 12,6%
16 12,8%
Biết giải
hiệu quả
bài toán
0
0%
0
0%
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Nhiệm vụ và giải pháp của đề tài
Dạng toán cực trị trong hình học giải tích không gian nói chung rất đa dạng
và phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn
phương pháp giải hiệu quả, đi đôi với việc vận dụng linh hoạt các kiến thức đã
học, không những mang lại kết quả cao trong bài giải, mà còn làm cho học sinh
phát triển tư duy sáng tạo. Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ mang tính chất gợi mở
cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo của học sinh để mang
lại hiệu quả cao trong giải toán cực trị hình học giải tích không gian. Cũng nhằm
mục đích giúp cho các em tự tin hơn, trước khi bước vào các kì thi quan trọng
cuối cấp THPT. Để đạt kết quả cao, học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm
nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan.
2. Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho
trước
Bài toán 1: Trong KG Oxyz, cho ñường thẳng d và hai ñiểm phân biệt A,
B không thuộc d. Tìm ñiểm M trên ñường thẳng d sao cho MA + MB có
giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
TH1: Đường thẳng AB và đường thẳng d đồng phẳng.
Phương pháp làm giống như hình học phẳng.
TH2: Đường thẳng AB và đường thẳng d không đồng phẳng.
- Khi đó có hai khả năng sau:
1.
Nếu d và AB vuông góc với nhau