1. Trang chủ >
  2. Khoa học xã hội >
  3. Giáo dục học >

Nếu d và AB không vuông góc với nhau

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (580.64 KB, 71 trang )


u = (2; −2;1)



Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với đường thẳng d.

mp(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận u = (2; −2;1) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mp(P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0

Điểm M thuộc đường thẳng d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao

điểm của d và mp(P).



Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:



2



2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0 ⇔ 9t + 18 = 0 ⇔ t = −2

Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

+ 2 17

Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho hai ñiểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0). Hãy tìm ñiểm

M trên trục Ox sao cho MA + MB ñạt giá trị nhỏ nhất

i

AB = (−1;1; −2) và

Lời giải:

= (1;0;0) qua O(0; 0; 0), đường thẳng AB có vtcp

Ox có vtcp

i.AB = −1 ≠ 0 ⇒ Ox và đường thẳng AB không vuông góc.

Ta có [i, AB]OA = (0; 2; 1).(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nên đường thẳng AB và



đường thẳng Ox chéo nhau.

Phương trình tham số của đường thẳng Ox:











x=t

y=0







z=0







(t -3)2 + 0 + 4

(t -2)2 +1 + 0

M ∈ Ox ⇒ M(t;0;0)



S = MA + MB =



+

+



= (t -3)2 + 4



(t -2)2 +1



Ta phải tìm t sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất

- Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xét các điểm M(t; 0) ∈ Ox và hai

điểm P(3;-2), Q(2; 1) thì S = MP + MQ

Ta thấy P, Q nằm hai bên so với Ox.

Trong mp Oxy phương trình đường thẳng PQ : 3x + y – 7 = 0

S = MP + MQ nhỏ nhất khi M là giao điểm của Ox và PQ ⇒ 3t - 7 = 0

Hay t = 7 . Vậy M( 7 ;0;0) là điểm cần tìm.

3



3



Nhận xét: Ta có thể áp dụng phương pháp giải này để giải dạng toán : “ Cho 2

điểm A, B và đường thẳng d, tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d để

MA

đạt giá trị lớn nhất”.

− MB



(t -3)2 + 4



Cách khác: Sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm tọa độ điểm M.

(t -3)2 + 4



• Từ biểu thức S =

Ta xét hàm số



+ (t -2)2 + 1



f t



( )



=



(t -2)2 + 1



+



Có đạo hàm ′

f t



( )



=



(t∈ℝ)



+

t−3



(t

(t



( )



=0⇔



+



(



−(t − 3)

t−3 2+4



)



với điều kiện 2 ≤ t ≤ 3 ta có:



−2



(t



f′ t



−3



−3



(t



−2



(



)2



+4



t−2



)2



+1



)2



+4



)2



+1



t−3

t−2



=0



(t − 2)

(*) ⇔

t−2 2+1



)



(*) ⇔ ( t − 3)2 [(t − 2) 2 + 1] = (t − 2)2 [(t − 3)2

+ 4]







t = 1∉[2;3]

⇔ t



(

)2

=4 t

(

−2 2

)











−3



t − 3 = −2(t









7



⇔ t − 3







= 2(t − 2)



t=



3







Bảng biến

thiên của hàm

số f(t) :

t

−∞

7

3



+∞



f’(t)



-



0



+∞



f(t)



Từ

mi

bảng

biến n f

thiên

t

suy ra (



)



M( ; 0; 0).

3







7







38 + 10

3



 

 



=



Vậy MA +

MB đạt giá

trị nhỏ nhất

bằng

7



38



c

,

tại

đ38

ạ+ 10

t 3

đ

ư





f



3



,

tl

ứà

c3



t

=

7



Nh

ận

xét

:

Q

ua

2



ch

tiế

n



nh

nh

ư

trê

n

ph

ươ

ng

ph

áp

ch

uy

ển

về

xét



i

to

án

tro

ng



nh

họ

c

ph

ẳn



g khá dễ, ngắn gọn, hiệu quả, người

giải không cần dùng các kiến thức

phức tạp, cũng không cần các kỉ năng

cao.

Cách giải thứ 2 dùng công cụ

đạo hàm, đòi hỏi người giải phải có kỉ

năng cao hơn, cách giải dài dòng và

phức tạp hơn nhiều, không có sự sáng

tạo, tính hiệu quả không cao.



d



( )



:x



+ )2

0 +

(

−t 3(

)2 − t

+



( )2

0

0

(

−t



−t



) )2



+ 3 2

( t − 4t + 6

+ −t

2



( )2



3





t2

− 2t

t

+3

+



)



y

z



Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho

ñường thẳng

= = và hai ñiểm



1 1 1

A 0;0;3 , B 0;3;3 .Tìm tọa ñộ ñiểm M

(

) (

)

∈ d



( )



sao cho:

1)

2)

nhỏ nhất.



MA + MB

MA − MB lớn nhất.





Lời giải:



x=t



1)Cách 1: Chuyển về dạng tham số d

phương trình của

d



( )



)



:







y=t



(







z=t



Gọi M có M t;t;t , t ∈ ℝ .

( )

tọa

∈ dạn

độ

( g

của d



)



T 2

3t

a− 6t

+9



c

ó



P

=



+ MB

P

=

=

2

M 3t

A −12t

+ 18

+







= 3



(







P= 3





t −1 + 2

+

( )2



(



t−2



)2



+2













N

H 2 ) K (2; 2 )

t;0 ∈ (1;

( ) −

Ox ;



Trong mặt phẳng

Oxy xét các điểm



Rõ ràng H và K là 2 điểm nằm hai bên trục Ox.

• Ta có P



3



=



(



NH



3HK



+ NK



)



.







Dấu

⇔ H , thẳng ⇔ N = HK ∩ Ox .

“=” xảy N , K hàng

ra

Đường thẳng HK có

HK

2)

vectơ chỉ phương

nên có vectơ

.

= (1;2

pháp tuyến

n = 2 và đi qua H nên có phương trình tổng quát



(

)( x



2; −1

2 2



−1 − 1



)



y+



(



2



)



= 0 ⇔ 2 2x − y − 3 2 = 0 .



Tọa độ giao điểm N của đường thẳng HK và

trục Ox là nghiệm của hệ

2 2x

−y−3 2

=0











 3

 2.

x

= Vậy









y

=



y

=



0



0







3



N







;0 .





2















V

m

3.HK = 3 3 .

ậi

n



P







t



=



t

−2



g ′= 

u(



)



Ta





)



t

−1



(



)



2+2



− t − 2  2



)



(



+2



)



2



+2



,



u2 + 2

u2 + 2

− u.u



=





2





(



u



s





Đ t;0 ≡ N

ạN (  ⇔

t  3 ;0 ) t

đ= 3 .

ư



c

k

h

i



2 



t −1



+



t 1

2

( )2

( X )2

+2



t f 2 + lf

2

( ét ) 2 i (t)• Xét hàm

m  số

h

g u

=

t

(





à

+

=

(

±

)

∞∞

m





.

>0



1



=



nêng(u)

số hàm



2



(



+



u2 + 2 3

2



 + 2 u2 + 2

u





)





3





S

3 3 ;

M

Ta ′ t =

f

u nhỏ ;  

( )

đồng biến trên ℝ .

2 2

nhấ

y





+

2

t

g t − 1 = g − t − 2  ⇔ t − 1 = −t

• Do đó từ (*) (

)

( )

bằn

ta có

r





+2⇔t=3

t −1

g3

a

3

t −1 + 2

( )2

khi

M

t−2

A

t−2 +2

( )2

+





2



f ′( t



M

B



) =0⇔



Cách 2: Sử

dụng đạo hàm

để tìm tọa độ

điểm M.

3

t

• Làm

như

 (2



cách

1, đến

)

2+2

đoạn

P=

.



t−1

=−

t−2



(

t





t−1





1



)

2



=

− t



+

2

+



(



−2







(*)



)







Bảng biến thiên của hàm số f (t):

3



2



0

t



−∞

+∞

f′ t



( )





+

+∞

+∞

f t



( )



3



Từ bảng biến thiên suy ra min f t



)

Vậy



min MA + MB = 3

3



(



)



=



(



f



3

 



đạt được tại t =





= 3.



3



, tức



2





3 3 3

M

; ;



 .



2 2 2





Cách 3:

Bước 1 : Tìm tọa độ H và H’ lần lượt là hình chiếu của A, B lên d

Bước 2 : Tính AH và BH’

Bước 3 : Tìm M thỏa mãn



.

.

MH = − AH MH ' =>ycbt

BH '



( Trong đó B’ là điểm sao cho B’H’ = BH’, A, B’

khác phía với d và A, B’, d đồng phẳng)

Nhận xét: Với cách giải này bài toán trở nên phức

tạp, học sinh tiếp nhận không tự nhiên mang tính áp

đặt, lời giải khó hiểu.



2). Tương tự câu 1), ta tính được MA − MB

=



3



(



t 2 − 2t + 3 −







2



t 2 − 4t + 6



)



MA − MB

=



3





(



t −1



)2



+2



(



t−2



)2



+2















Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm N

t;0 ∈ Ox ;



( )

Khi đó MA − MB

=



H 1; 2 ; K 2; 2 .



(



) (



)



3 NH − NK



Nhận thấy H, K nằm cùng phía so với trục Ox.

Suy ra MA − MB

3 NH − NK ≤ 3HK .

=



Bài toán này vô nghiệm vì KH || Ox .

Nhận xét: Rõ ràng với phương pháp qui về hình học phẳng như trên giúp người

giải, giải quyết bài toán rất hiệu quả, cho kết quả ngắn gọn.



d:



x−1



=



y−2



=



z−1



Ví dụ 4: Trong KG Oxyz, cho ñường thẳng

và hai ñiểm

2

2

1



A(-1; 1; 1), B(1; 4; 0). Hãy tìm ñiểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Lời giải: 1 + 2t

x=



Đường thẳng d có phương trình tham  y = 2 + 2t



số

z=1+t







qua điểm N(1; 2; 1), có vtcp u = (2; 2;1)

AB = (2;3; −1)



Ta có u . CD = 4 + 6 – 1 = 9 ≠ 0 ⇒ d không vuông góc với AB và

[u, AB]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – 4 = 6 ⇒ d và AB chéo nhau

- Chu vi tam giác MAB là 2p = 2(MA + MB + AB), do AB không đổi nên 2p đạt

giá trị nhỏ nhất khi MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

(2t)2 + (2t M ∈d ⇒ M(1 + 2t;2+2t;1 + t) , ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị

− 2)2 + (t

nhỏ

+1)2



Xét

điểm

nhất.

Xét f t = MA + MB = (2t + 2)2 + (2t + 1)2 + t 2 +



( )



f t = 9t 2 +12t + 5

+



( )



=



(3t + 2)2 + 1 +



9t 2 − 6t + 5

(3t −1)2 + 4



(x − 1)2 + 4



Đặt x = 3t, khi đó ta được biểu thức: g(x) = (x + 2)2 + 1 +

.

Từ bài toán tìm t để f(t) nhỏ nhất, chuyển về bài toán tìm x sao cho g(x) nhỏ

nhất.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xét N(x;0) ∈Ox, và 2 điểm P(-2;-1),

Q(1;2) thì g(x) = NP + NQ.

Ta thấy P; Q nằm về hai bên của Ox và đường thẳng PQ: x - y + 1 = 0.

g(x) = NP + NQ nhỏ nhất khi N là giao điểm của Ox và đường thẳng PQ. khi đó

2 4 1







x = -1 suy ra t = -1/3 vậy M( ; ; )

3 3 3

Cách khác: Có thể sử dụng công cụ đạo hàm để giải tìm t, rồi suy ra tọa độ

điểm M

Nhận xét:

Một lần nữa chúng ta nhận thấy sự ưu việt trong khâu xử lí bài toán

về hình học phẳng.

Trong dạng toán này, nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm t

là việc làm phức tạp, người giải phải có nhiều kỉ năng. Giải bằng phương

pháp đạo hàm cái khó nhất là phải giải phương trình f’(t) = 0, rất khó khăn

ngay cả những học sinh có học lực khá.



Xem Thêm
Tải bản đầy đủ (.docx) (71 trang)

×