Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (580.64 KB, 71 trang )
u = (2; −2;1)
Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với đường thẳng d.
mp(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận u = (2; −2;1) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp(P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
Điểm M thuộc đường thẳng d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao
điểm của d và mp(P).
Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:
2
2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0 ⇔ 9t + 18 = 0 ⇔ t = −2
Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng:
+ 2 17
Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho hai ñiểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0). Hãy tìm ñiểm
M trên trục Ox sao cho MA + MB ñạt giá trị nhỏ nhất
i
AB = (−1;1; −2) và
Lời giải:
= (1;0;0) qua O(0; 0; 0), đường thẳng AB có vtcp
Ox có vtcp
i.AB = −1 ≠ 0 ⇒ Ox và đường thẳng AB không vuông góc.
Ta có [i, AB]OA = (0; 2; 1).(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nên đường thẳng AB và
đường thẳng Ox chéo nhau.
Phương trình tham số của đường thẳng Ox:
x=t
y=0
z=0
(t -3)2 + 0 + 4
(t -2)2 +1 + 0
M ∈ Ox ⇒ M(t;0;0)
S = MA + MB =
+
+
= (t -3)2 + 4
(t -2)2 +1
Ta phải tìm t sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất
- Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xét các điểm M(t; 0) ∈ Ox và hai
điểm P(3;-2), Q(2; 1) thì S = MP + MQ
Ta thấy P, Q nằm hai bên so với Ox.
Trong mp Oxy phương trình đường thẳng PQ : 3x + y – 7 = 0
S = MP + MQ nhỏ nhất khi M là giao điểm của Ox và PQ ⇒ 3t - 7 = 0
Hay t = 7 . Vậy M( 7 ;0;0) là điểm cần tìm.
3
3
Nhận xét: Ta có thể áp dụng phương pháp giải này để giải dạng toán : “ Cho 2
điểm A, B và đường thẳng d, tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d để
MA
đạt giá trị lớn nhất”.
− MB
(t -3)2 + 4
Cách khác: Sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm tọa độ điểm M.
(t -3)2 + 4
• Từ biểu thức S =
Ta xét hàm số
+ (t -2)2 + 1
f t
( )
=
(t -2)2 + 1
+
Có đạo hàm ′
f t
( )
=
(t∈ℝ)
+
t−3
(t
(t
( )
=0⇔
+
(
−(t − 3)
t−3 2+4
)
với điều kiện 2 ≤ t ≤ 3 ta có:
−2
(t
f′ t
−3
−3
(t
−2
(
)2
+4
t−2
)2
+1
)2
+4
)2
+1
t−3
t−2
=0
(t − 2)
(*) ⇔
t−2 2+1
)
(*) ⇔ ( t − 3)2 [(t − 2) 2 + 1] = (t − 2)2 [(t − 3)2
+ 4]
t = 1∉[2;3]
⇔ t
(
)2
=4 t
(
−2 2
)
⇔
−3
t − 3 = −2(t
7
⇔ t − 3
= 2(t − 2)
t=
3
Bảng biến
thiên của hàm
số f(t) :
t
−∞
7
3
+∞
f’(t)
-
0
+∞
f(t)
Từ
mi
bảng
biến n f
thiên
t
suy ra (
)
M( ; 0; 0).
3
7
38 + 10
3
=
Vậy MA +
MB đạt giá
trị nhỏ nhất
bằng
7
38
c
,
tại
đ38
ạ+ 10
t 3
đ
ư
ợ
f
3
,
tl
ứà
c3
t
=
7
Nh
ận
xét
:
Q
ua
2
cá
ch
tiế
n
hà
nh
nh
ư
trê
n
ph
ươ
ng
ph
áp
ch
uy
ển
về
xét
bà
i
to
án
tro
ng
hì
nh
họ
c
ph
ẳn
g khá dễ, ngắn gọn, hiệu quả, người
giải không cần dùng các kiến thức
phức tạp, cũng không cần các kỉ năng
cao.
Cách giải thứ 2 dùng công cụ
đạo hàm, đòi hỏi người giải phải có kỉ
năng cao hơn, cách giải dài dòng và
phức tạp hơn nhiều, không có sự sáng
tạo, tính hiệu quả không cao.
d
( )
:x
+ )2
0 +
(
−t 3(
)2 − t
+
( )2
0
0
(
−t
−t
) )2
+ 3 2
( t − 4t + 6
+ −t
2
( )2
3
−
t2
− 2t
t
+3
+
)
y
z
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho
ñường thẳng
= = và hai ñiểm
1 1 1
A 0;0;3 , B 0;3;3 .Tìm tọa ñộ ñiểm M
(
) (
)
∈ d
( )
sao cho:
1)
2)
nhỏ nhất.
MA + MB
MA − MB lớn nhất.
Lời giải:
x=t
1)Cách 1: Chuyển về dạng tham số d
phương trình của
d
( )
)
:
y=t
(
z=t
Gọi M có M t;t;t , t ∈ ℝ .
( )
tọa
∈ dạn
độ
( g
của d
)
T 2
3t
a− 6t
+9
c
ó
P
=
+ MB
P
=
=
2
M 3t
A −12t
+ 18
+
= 3
(
P= 3
t −1 + 2
+
( )2
(
t−2
)2
+2
N
H 2 ) K (2; 2 )
t;0 ∈ (1;
( ) −
Ox ;
Trong mặt phẳng
Oxy xét các điểm
Rõ ràng H và K là 2 điểm nằm hai bên trục Ox.
• Ta có P
3
=
(
NH
3HK
+ NK
)
.
≥
Dấu
⇔ H , thẳng ⇔ N = HK ∩ Ox .
“=” xảy N , K hàng
ra
Đường thẳng HK có
HK
2)
vectơ chỉ phương
nên có vectơ
.
= (1;2
pháp tuyến
n = 2 và đi qua H nên có phương trình tổng quát
(
)( x
2; −1
2 2
−1 − 1
)
y+
(
2
)
= 0 ⇔ 2 2x − y − 3 2 = 0 .
Tọa độ giao điểm N của đường thẳng HK và
trục Ox là nghiệm của hệ
2 2x
−y−3 2
=0
3
2.
x
= Vậy
y
=
y
=
0
0
3
N
;0 .
2
⇔
V
m
3.HK = 3 3 .
ậi
n
P
−
t
=
t
−2
g ′=
u(
)
Ta
có
)
t
−1
(
)
2+2
− t − 2 2
)
(
+2
)
2
+2
,
u2 + 2
u2 + 2
− u.u
=
2
(
u
s
ố
Đ t;0 ≡ N
ạN ( ⇔
t 3 ;0 ) t
đ= 3 .
ư
ợ
c
k
h
i
2
t −1
+
t 1
2
( )2
( X )2
+2
−
t f 2 + lf
2
( ét ) 2 i (t)• Xét hàm
m số
h
g u
=
t
(
→
à
+
=
(
±
)
∞∞
m
.
>0
1
=
nêng(u)
số hàm
2
(
+
u2 + 2 3
2
+ 2 u2 + 2
u
)
3
S
3 3 ;
M
Ta ′ t =
f
u nhỏ ;
( )
đồng biến trên ℝ .
2 2
nhấ
y
+
2
t
g t − 1 = g − t − 2 ⇔ t − 1 = −t
• Do đó từ (*) (
)
( )
bằn
ta có
r
+2⇔t=3
t −1
g3
a
3
t −1 + 2
( )2
khi
M
t−2
A
t−2 +2
( )2
+
2
f ′( t
M
B
) =0⇔
Cách 2: Sử
dụng đạo hàm
để tìm tọa độ
điểm M.
3
t
• Làm
như
(2
−
cách
1, đến
)
2+2
đoạn
P=
.
t−1
=−
t−2
(
t
⇔
t−1
−
1
)
2
=
− t
+
2
+
(
−2
(*)
)
Bảng biến thiên của hàm số f (t):
3
2
0
t
−∞
+∞
f′ t
( )
−
+
+∞
+∞
f t
( )
3
Từ bảng biến thiên suy ra min f t
)
Vậy
min MA + MB = 3
3
(
)
=
(
f
3
đạt được tại t =
là
= 3.
3
, tức
2
3 3 3
M
; ;
.
2 2 2
Cách 3:
Bước 1 : Tìm tọa độ H và H’ lần lượt là hình chiếu của A, B lên d
Bước 2 : Tính AH và BH’
Bước 3 : Tìm M thỏa mãn
.
.
MH = − AH MH ' =>ycbt
BH '
( Trong đó B’ là điểm sao cho B’H’ = BH’, A, B’
khác phía với d và A, B’, d đồng phẳng)
Nhận xét: Với cách giải này bài toán trở nên phức
tạp, học sinh tiếp nhận không tự nhiên mang tính áp
đặt, lời giải khó hiểu.
2). Tương tự câu 1), ta tính được MA − MB
=
3
(
t 2 − 2t + 3 −
2
t 2 − 4t + 6
)
MA − MB
=
3
−
(
t −1
)2
+2
(
t−2
)2
+2
Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm N
t;0 ∈ Ox ;
( )
Khi đó MA − MB
=
H 1; 2 ; K 2; 2 .
(
) (
)
3 NH − NK
Nhận thấy H, K nằm cùng phía so với trục Ox.
Suy ra MA − MB
3 NH − NK ≤ 3HK .
=
Bài toán này vô nghiệm vì KH || Ox .
Nhận xét: Rõ ràng với phương pháp qui về hình học phẳng như trên giúp người
giải, giải quyết bài toán rất hiệu quả, cho kết quả ngắn gọn.
d:
x−1
=
y−2
=
z−1
Ví dụ 4: Trong KG Oxyz, cho ñường thẳng
và hai ñiểm
2
2
1
A(-1; 1; 1), B(1; 4; 0). Hãy tìm ñiểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Lời giải: 1 + 2t
x=
Đường thẳng d có phương trình tham y = 2 + 2t
số
z=1+t
qua điểm N(1; 2; 1), có vtcp u = (2; 2;1)
AB = (2;3; −1)
và
Ta có u . CD = 4 + 6 – 1 = 9 ≠ 0 ⇒ d không vuông góc với AB và
[u, AB]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – 4 = 6 ⇒ d và AB chéo nhau
- Chu vi tam giác MAB là 2p = 2(MA + MB + AB), do AB không đổi nên 2p đạt
giá trị nhỏ nhất khi MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
(2t)2 + (2t M ∈d ⇒ M(1 + 2t;2+2t;1 + t) , ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị
− 2)2 + (t
nhỏ
+1)2
Xét
điểm
nhất.
Xét f t = MA + MB = (2t + 2)2 + (2t + 1)2 + t 2 +
( )
f t = 9t 2 +12t + 5
+
( )
=
(3t + 2)2 + 1 +
9t 2 − 6t + 5
(3t −1)2 + 4
(x − 1)2 + 4
Đặt x = 3t, khi đó ta được biểu thức: g(x) = (x + 2)2 + 1 +
.
Từ bài toán tìm t để f(t) nhỏ nhất, chuyển về bài toán tìm x sao cho g(x) nhỏ
nhất.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xét N(x;0) ∈Ox, và 2 điểm P(-2;-1),
Q(1;2) thì g(x) = NP + NQ.
Ta thấy P; Q nằm về hai bên của Ox và đường thẳng PQ: x - y + 1 = 0.
g(x) = NP + NQ nhỏ nhất khi N là giao điểm của Ox và đường thẳng PQ. khi đó
2 4 1
x = -1 suy ra t = -1/3 vậy M( ; ; )
3 3 3
Cách khác: Có thể sử dụng công cụ đạo hàm để giải tìm t, rồi suy ra tọa độ
điểm M
Nhận xét:
Một lần nữa chúng ta nhận thấy sự ưu việt trong khâu xử lí bài toán
về hình học phẳng.
Trong dạng toán này, nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm t
là việc làm phức tạp, người giải phải có nhiều kỉ năng. Giải bằng phương
pháp đạo hàm cái khó nhất là phải giải phương trình f’(t) = 0, rất khó khăn
ngay cả những học sinh có học lực khá.