Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng

Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho

d :

1



x−2



1



1) Chứng minh hai ñường

2) Trong các mặt phẳng chứa

Lời giải:

1) Đường thẳng d1 u = (1; 2; −2) .

1

qua M1(2; 1; -1),

có vtcp

Đường thẳng u = (−2; −4; 4) .

2

d2 qua M2(0;

3; 1), có vtcp

T u và nên hai đường thẳng

2

a = M song song với nhau.

1

th −2

∉d

ấ u

y 1

2



2) Xét mp(α1) là mặt phẳng

chứa d1 và d2 thì mp(α1) có

vectơ pháp tuyến.

n1 = [u1 , M1M 2 ] = (8; 2;6)

= 2(4;1;3) = 2n 2



Khoảng cách giữa đường thẳng d2 và mp(α) là lớn nhất khi mp(α) phải vuông góc

với mp(α1).

[u , n ] = (8; −11; −7)

Do đó mp(α) nhận 1 2

là vectơ pháp tuyến, qua M1(2; 1; -1).

Phương trình mp(α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = 0

hay 8x – 11y – 7z – 12 = 0.

Bài toán 2: Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (α) và ñiểm A thuộc mp(α), ñiểm

B không thuộc mp(α). Tìm ñường thẳng ∆ nằm trong mp(α) ñi qua A và

cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của B lên đường thẳng ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm

trong mp(α) và vuông góc với đường thẳng AB.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên mp(α) khi đó:

d(B; ∆) = BH ≥ BK

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi H ≡ K hay ∆ là đường thẳng đi qua

hai điểm A, K.

Bình luận phương pháp: Bài toán loại này có thể giải bằng cách, dùng phương

pháp tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng vẫn được, tuy nhiên tính hiệu

quả không cao, lời giải rất dài và cần nhiều kỉ năng mới giải được

Minh chứng cách giải này bằng ví dụ sau:

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 2 y − z −1 = 0 , và các ñiểm

A(1; 0;0) ; B(0;2;−3) . Lập phương trình ñường thẳng d nằm trong (P) ñi qua A và

cách B một khoảng lớn nhất , nhỏ nhất

Lời giải:

Gọi VTCP của đường thẳng d là: ud = (a;b;c) a 2 b 2 c 2 0

+ + >

d ⊂ (P) ⇔ ud .nP = 0 ⇔ c = a

+ 2b









( Vớ nP = (1;2

−1)

i



là vectơ pháp tuyến mp(P))



. .



ud , AB

.



ud

= (−1;2 − 3)  . . 

AB

ud , AB = (−2a − 7b; 2a − 2b; 2a + b)



;



=> d (B, d ) =



=



a 2 + 24ab + 54b 2

2a2 + 4ab + 5b2



1

2



− TH1: Nếu b = 0 thì



d (B, d ) =

a d (B, d ) =

− TH2: Nếu b ≠ 0 ,Đặt t =



;



=



b



6

12t 2 + 24t + 54

2t 2 + 4t + 5

f (t)



Xét hàm số f (t) =



12t2 + 24t

+ 54

2



2t + 4t + 5

f '(t) =



− 96t − 96



(2t



2



+ 4t + 5



)



Ta có



, (t ∈ R) ;

với



lim



t→±∞



12t 2 + 24t

+ 54

2t 2 + 4t + 5



=6



Bảng biến thiên hàm số f(t)

t

f′ t



(

)



-1



−∞



+



0

14



+∞



-



f t



( )



6

6



Từ BBT =>



14



6 < d (B, d ) ≤ 14



So sánh TH1 và TH2 => 6 ≤ d (B, d ) ≤

6

chọn a =1 => c= 1

x=1+t

+) Min(d (B, d )) = ⇔ b



=0



=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :

14









z=t



chọn b = -1 => a =1 , c =-1



x = 1+ t





= −b

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : y = −t



z = −t





+) M ax(d (B, d )) =



⇔a







y=0







Nhận xét: Bài toán loại này, nếu giải bằng phương pháp trên ta thấy rất dài

dòng, bài toán trở nên phức tạp, nếu người giải biết lập luận một tí thì lời giải

của bài tập dạng như trên trở nên ngắn gọn và hiệu quả hơn nhiều, minh họa lời

giải bằng ví dụ 2 như sau:

Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 và

ñiểm A (-3; 3; -3). Viết phương trình ñường thẳng ∆ nằm trên mp(α), qua

ñiểm A và cách ñiểm B(2; 3; 5) một khoảng :

1) Nhỏ nhất .

2) Lớn nhất.

Lời giải:

Ta thấy mp(α) có vectơ pháp tuyến n = (2; −2;1) . Gọi K là hình chiếu của B lên

α

∆, khi đó d(B; ∆) = BK.

1) Gọi H là hình chiếu vuông gócxcủa B 2 t mp(α)

lên

= 2+







Phương trình đường thẳng BH: y = 3 − 2t





z =5+t









Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình:

2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0 ⇔ t = −2 hay H(-2; 7; 3).

Ta thấy d(B; ∆) = BK ≥ BH, d(B; ∆) nhỏ nhất khi đường thẳng ∆ đi qua hai điểm







A, H do vậy AH = (1;

4;6)



là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.



Phương trình của đường thẳng ∆:



x+3

1



=



y-3

4



=



z +3

6



2) Ta thấy d(B; ∆) = BK ≤ AB, d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong

mp(α), qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

∆ có vectơ chỉ phương u = [AB, n ] = (16;11; −10)

∆

α

Phương trình của đường thẳng ∆: x+3 y-3 z +3

=



16



=



11



−10



Bài tập tương

tự:

Bài 1: Trong KG Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C(2;-1; 3)

vuông góc với đường thẳng d:

khoảng lớn nhất. (Đs:

∆:



x-3

1



=



y+2

2



=



z +5

3



và cách điểm D(4; -2; 1) một



x-2 y+1 z -3

).

=

=

1

−8

5



Bài 2: Trong KG Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng

x=1+t







d: y = 0





z = −t









a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua đường thẳng d và B.

b) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt đường thẳng d sao cho khoảng

cách từ A đến đường thẳng ∆1 nhỏ nhất.

c) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt đường thẳng d sao cho khoảng

cách từ A đến đường thẳng ∆2 lớn nhất.

Nhận xét : Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :

+) Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng

thỏa mãn một điều kiện nào đấy.



Bài toán 3:

Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho 2 ñiểm A, B và mặt phẳng



(α )



.



Viết phương trình ñường thẳng d qua A song song với mp

Lời giải:



(α )



sao cho



Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng d, khoảng cách từ B

đến đường thẳng d:d(B,d)= BH

suy ra d ⊥ AB.



≤



BA = const, do đó d(B,d) lớn nhất



⇔



H ≡A,



Như vậy đường thẳng d qua A song song với mp



(α )



dễ dàng xác định được phương trình của đường thẳng d.



đồng thời d ⊥ AB, từ đó



Ví dụ: Trong không gian với hệ

B(2;1;0) và mặt phẳng

thẳng d qua A

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu

vuông góc của B lên

đường thẳng d,

khoảng cách từ B



≤



đến d: d(B,d)= BH BA

= const, do đó d(B,d) lớn

⇔

nhất H ≡A, suy ra d

⊥ AB

V

TP

T

củ

a

mp



n

=α(

1;2

;−1

)

,



BA = (−1;0

;−1)

.

Đường

thẳng d

song



(α

)là

:

son

g

với

mp



(α )



đồng thời

d

⊥ AB nên

đường

thẳng d

có

VTCP:



[



u= n



α



(α )



: x+



, BA



]= (



−2;2;

2)

Vậy phương trình

đường thẳng d:



x



y−1



−1

−=2



2



=



z+1



.



2



Bài toán 4: Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (α) và

ñường thẳng d cắt mặt phẳng (α) và không ñi qua

nằm trên mp(α), ñi qua A sao cho khoảng cách giữa

Lời giải:

Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với

đường thẳng d, B là giao

điểm của đường thẳng d với mp(α).

Xét mp(P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I lần lượt là hình

chiếu vuông góc của B lên mp(P) và d1.

Ta thấy khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và

đường thẳng d là đoạn BH và

BH ≤ BI nên BH lớn nhất khi I ≡ H, khi đó u = [BI,

∆

đường thẳng ∆ có vtcp

n ].

α



Nhận xét: Với bài toán loại này ta tập trung tìm

vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆, thì bài toán sẽ

giải quyết trọn vẹn.

x-1



=

z -3



y-2



,

Ví dụ 1: Trong KG Oxyz, cho ñường thẳng d:

=



mặt phẳng

1

2



−1



(α): 2x – y – z + 4 = 0 và ñiểm A( -1; 1; 1). Viết phương

trình ñường thẳng ∆ nằm trên mp(α), ñi qua A sao cho

khoảng cách giữa ñường thẳng ∆ và ñường thẳng d là

lớn nhất.



Lời giải:

Đường thẳng d có

vtcp



u = (1; 2; -1), mp(α) có

vtpt







x=1+t



n



= (2; -1; -1)



Phương

y = 2 + 2t

trình tham 

z=3−t

số đường

thẳng d:

Gọi B là giao điểm của

đường thẳng d và mp(α),

tọa độ B ứng với t là

nghiệm phương trình:

2+ 2t – 2 – 2t – 3+

t + 4 = 0 ⇔ t = -1

⇒ B(0; 0; 4)

Xét d1 là đường thẳng qua A

và song song với đường

thẳng d

α







x = −1 + t





y = 1 + 2t





z=1−t



Phương trình

tham số của

đường thẳng

d1:

Gọi I là hình chiếu vuông

góc của B lên đường thẳng

d1







⇒ I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t), BI



= (-1 + t; 1 + 2t;-3– t)



T

a

c

ó







51

5



BI.u = 0 ⇔ -1 + −

t + 2(1 + 2t) – 2

(-3– t) = 0 ⇔ t

⇒ ;

=

;

I −

− 

7



 k

3

3

 3 3

51 ,

T B

c = =

h −3 (5



a I



ọ

đ = ; ; 3 n .B ;1

 I ;7

ư 

−−

ợ

)

33

c −









[



Đườ u = k;

∆

ng

thẳng nα = (6;19;−7

∆ có

)

vtcp



]



Phương trình đường

x+1 y−1

thẳng ∆:

=

z−1

=

.

6



19



−7



Ví dụ 2: Trong KG

Oxyz, cho mặt phẳng

(P): x + y – z + 1=

0, ñiểm

A(1; -1; 2) và ñường

thẳng ∆:

=



z-4



x+1



=



. Trong các



ñường thẳng ñi qua

y

2

1



−3



A và song song song

với mp(P), hãy viết

phương trình ñường

thẳng d sao cho

khoảng cách giữa

ñường thẳng d và

ñường thẳng ∆ lớn

nhất.

Lời giải:

Mặt phẳng (α) qua A

và song song với

mp(P) có phương

trình: x + y – z + 2= 0

=> đường thẳng d nằm

trên mp(α).

Đườ

ng

thẳn

g∆



có

vtcp



u

= (2;1;

-3),



mp(α)

có vtpt



 n =

=

(1;

+ α







1;-1)





Phương

y=t

trình tham 

z = 4 − 3t

số đường

thẳng ∆:

Gọi B là giao điểm của

đường thẳng ∆ và mp(α),

tọa độ B ứng với t là

nghiệm

phương trình: -1+ 2t + t –

1

(4- 3t) + 2 = 0 ⇔ t =

1 5

⇒ B(0; ; )







2

2

2