Chương 1. LỚP NGHIỆM N-SOLITON KHÔNG TÁN XÃ CỦA HAI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TRÊN NỬA TRỤC KHÔNG GIAN

phi tuyến

iut = uxx + |u|2 u, x > 0.

Các kết quả mục này của Luận án đã được công bố trong bài báo [2] (trong

"Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến Luận án").



1.1



Phương trình Korteweg-de Vries



Trong mục này chúng tôi sẽ xây dựng một lớp nghiệm N -soliton không tán

xạ tường minh cho phương trình Korteweg-de Vries

ut + 6uux + uxxx = 0, x > 0, −∞ < t < ∞.



(1.1.1)



trong đó ẩn hàm u(x, t) là hàm giá trị phức. Chúng tôi giới hạn việc tìm

nghiệm u(x, t) của phương trình Korteweg-de Vries trong một lớp hàm số

mà là lớp thế vị không tán xạ của toán tử Schr¨dinger.

o

Trong bốn tiểu mục của mục này, ba Tiểu mục 1.1.2, 1.1.3 và 1.1.4 trình

bày các kết quả nghiên cứu của Luận án, Tiểu mục 1.1.1 mô tả các kiến

thức chuẩn bị bao gồm các kết quả nghiên cứu trước đây của V. È. Lyantse

và P. L. Vu về toán tử Schr¨dinger trên nửa trục (ở đây biến không gian

o

x thuộc nửa trục dương [0, ∞)). Các kết quả của chúng tôi trong hai Tiểu

mục 1.1.2 và 1.1.3 là điều kiện cần và đủ để thế vị không tán xạ u(x, t) của

toán tử Schr¨dinger cũng là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries.

o

Các kết quả này sẽ được thể hiện cụ thể trong ba Định lý 1.1.3, 1.1.4

và 1.1.5. Nội dung Tiểu mục 1.1.4 trình bày các ví dụ cụ thể về nghiệm

của phương trình Korteweg-de Vries được xác định theo hai Định lý 1.1.3

và 1.1.5.



1.1.1



Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ



Nội dung chính của tiểu mục này là các kiến thức chuẩn bị của Mục 1.1

và không chứa kiến thức mới. Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt các kết quả

nghiên cứu của V. È. Lyantse về cặp bài toán tán xạ thuận và tán xạ

ngược đối với toán tử Schr¨dinger trên nửa trục dương (x ∈ [0, ∞)). Sau

o

đó chúng tôi giới thiệu công thức mô tả thế vị không tán xạ của P. L. Vu.

Các kết quả này đã được chứng minh chi tiết trong các tài liệu trích dẫn.

Bởi vậy chúng tôi chỉ giới thiệu kết quả mà không trình bày chứng minh.

18



A. Bài toán tán xạ thuận trên nửa trục

Xét toán tử Schr¨dinger L(t) được cho bởi công thức

o

d2

L(t)y = 2 y + u(x, t)y,

dx



(1.1.2a)



với miền xác định là không gian con trù mật sau đây của L2 (0, ∞)

Dom(L(t)) ={y(., t) ∈ L2 (0, ∞) ∩ ACloc [0, ∞),

dy

∈ ACloc [0, ∞), Ly ∈ L2 (0, ∞), y(0) = 0},

dx



(1.1.2b)



trong đó, ACloc [0, ∞) là tập hợp các hàm y(x) liên tục tuyệt đối địa phương

trên nửa khoảng [0, ∞). Ở đây, biến thời gian t là một tham số tự do. Hàm

thế vị u(x, t) được giả thiết là hàm liên tục, nhận giá trị phức và là hàm

giảm nhanh theo đánh giá

∞



eεx |u(x, t)|dx < ∞



(1.1.2c)



0



với ε > 0 nào đấy cho trước. Do u(x, t) nhận giá trị phức nên toán tử L(t)

được xét nói chung không phải là toán tử tự liên hợp.

Bài toán tán xạ thuận là bài toán thứ nhất trong cặp bài toán tán xạ

([22, 30, 31]). Trong bài toán tán xạ thuận, một tập hợp đặc biệt được xây

dựng từ toán tử Schr¨dinger L(t) và tập này được gọi là dữ liệu tán xạ của

o

toán tử L(t). Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày quá trình xây dựng dữ liệu

tán xạ của toán tử L(t).

Từ toán tử L(t) được nêu ra ở trên chúng ta xét phương trình vi phân

d2 y

+ u(x, t)y = −ρ2 y,

2

dx



(x, t) ∈ [0, ∞) × (−∞, ∞).



(1.1.3)



trong đó λ = −ρ2 là tham số phổ.

Nếu phương trình (1.1.3) có nghiệm không tầm thường y(x, t, ρ) thuộc

không gian L2 (0, ∞) sao cho y(x, t, ρ) ∈ Dom(L) thì λ = −ρ2 là một giá

trị riêng của toán tử L(t). Phương trình vi phân (1.1.3) là phương trình

vi phân cấp hai nên tập nghiệm của nó là một không gian tuyến tính hai

chiều. Sau đây chúng ta sẽ đưa ra một cơ sở của không gian hai chiều này

gồm hai nghiệm riêng của (1.1.3).

19



Phương trình (1.1.3) có một nghiệm ký hiệu là e(x, t, ρ) và được xây

dựng theo điều kiện tiệm cận

lim e−iρx e(x, t, ρ) = 1.



x→+∞



(1.1.4)



Căn cứ vào điều kiện (1.1.4) và sử dụng phương pháp biến thiên hằng số

chúng ta chuyển được bài toán (1.1.3) − (1.1.4) về phương trình tích phân

∞



e(x, t, ρ) = eiρx +



sin ρ(ξ − x)

u(ξ, t)e(ξ, t, ρ)dξ.

ρ



x



ε

Nếu ρ là một số phức thuộc nửa mặt phẳng Im ρ > − thì sự tồn tại nghiệm

2

của phương trình tích phân trên đã được chỉ ra bằng cách sử dụng phương

pháp xấp xỉ liên tiếp. Tính duy nhất nghiệm của bài toán (1.1.3) − (1.1.4)

cũng đã được chứng minh. Chúng ta mô tả kết quả này bằng bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.1. ([24, 30, 31]). Giả sử hàm thế vị u(x, t) thỏa mãn điều kiện

ε

(1.1.2c). Khi đó trên nửa mặt phẳng Im ρ > − tồn tại duy nhất một

2

nghiệm e(x, t, ρ) của phương trình (1.1.3) thỏa mãn điều kiện tiệm cận

ε

(1.1.4). Hơn nữa, e(x, t, ρ) là hàm chỉnh hình theo biến ρ khi Im ρ > − .

2

Cùng với nghiệm e(x, t, ρ), phương trình (1.1.3) cũng có một nghiệm

e(x, t, ρ) trong miền Im ρ > 0 với điều kiện tiệm cận

˜

lim eiρx e(x, t, ρ) = 1.

˜



x→+∞



(1.1.5)



Trên nửa mặt phẳng Im ρ > 0 hai hàm e(x, t, ρ) và e(x, t, ρ) hình thành

˜

một cơ sở của không gian tuyến tính hai chiều ứng với tập các nghiệm của

(1.1.3). Do e(x, t, ρ) với Im ρ > 0 là hàm tăng nhanh theo hàm mũ khi

˜

x → +∞ nên e(x, t, ρ) ∈ L2 (0, ∞), mặt khác e(x, t, ρ) với Im ρ > 0 là hàm

˜

giảm nhanh nên e(x, t, ρ) ∈ L2 (0, ∞). Suy ra, nếu λ = −ρ2 là một giá trị

riêng của L(t) thì hàm riêng tương ứng là e(x, t, ρ) và theo điều kiện biên

ta phải có đẳng thức e(0, t, ρ) = 0.

Định nghĩa 1.1.1. Cho toán tử Schr¨dinger L(t) được xác định theo

o

(1.1.2a)−(1.1.2c) và hàm e(x, t, ρ) là nghiệm duy nhất của bài toán (1.1.3)−

(1.1.4). Chúng ta gọi số phức ρ = 0 nằm trong nửa mặt phẳng Im ρ ≥ 0 là

giá trị kỳ dị của toán tử L(t) nếu e(0, t, ρ) = 0.

20



Từ Định nghĩa 1.1.1 chúng ta thấy rằng nếu ρ là giá trị kỳ dị của toán

tử L(t) và Im ρ > 0 thì λ = −ρ2 là một giá trị riêng của L(t). Hơn nữa,

toán tử L(t) được xác định bởi (1.1.2a) không còn giá trị riêng nào khác.

Số lượng giá trị riêng của toán tử L(t) chính là số không điểm của hàm

e(t, ρ) = e(0, t, ρ) trên nửa mặt phẳng Im ρ > 0.

Theo Bổ đề 1.1.1 hàm e(x, t, ρ) chỉnh hình theo biến ρ trong miền

ε

Im ρ > − nên hàm e(t, ρ) = e(0, t, ρ) là hàm chỉnh hình trong miền đó.

2

Trên miền Im ρ ≥ 0 hàm e(t, ρ) chỉnh hình và người ta đã chứng minh

được rằng e(t, ρ) −→ 1 khi |ρ| −→ +∞ nên các không điểm theo biến

ρ của nó nằm trong một tập con compact của miền này. Vì e(t, ρ) ≡ 0

nên số không điểm của e(t, ρ) trên miền Im ρ ≥ 0 là một số hữu hạn. Để

thuận tiện ta đánh số các không điểm này. Ký hiệu các không điểm không

thực bởi ρj , Im ρj > 0, j = 1, 2, . . . , N , ký hiệu các không điểm thực bởi

ρN +n , Im ρN +n = 0, n = 1, 2, . . . , m và các bội tương ứng là m1 , . . . , mN +m .

Tương tự với bài toán toàn trục, trong bài toán nửa trục chúng ta chỉ

xét các thế vị đẳng phổ, tức là các giá trị riêng của toán tử L(t) không phụ

thuộc vào thời gian t ([3, 46]).

Chúng ta đặt

Mj (x, t) = ie−iρj x Res

ρ=ρj



(x, t) ∈ [0, ∞) × (−∞, ∞),



e(t, ρ) iρx

˜

e

,

e(t, ρ)



(1.1.6)



j = 1, 2, . . . , N,



trong đó e(t, ρ) = e(0, t, ρ). Từ (1.1.6) ta thấy các hàm số Mj (x, t) là các

˜

˜

đa thức theo x (có hệ số phụ thuộc t), có bậc là mj − 1.

Định nghĩa 1.1.2. Cho toán tử Schr¨dinger L(t) được xác định theo

o

(1.1.2a) − (1.1.2c) và hàm e(x, t, ρ), e(x, t, ρ) là nghiệm của phương trình

˜

(1.1.3) xác định (duy nhất) theo các điều kiện (1.1.4), (1.1.5) tương ứng.

Chúng ta gọi các đa thức Mj (x, t), j = 1, 2, . . . , N được xác định từ các

hàm số e(0, t, ρ), e(0, t, ρ) và các giá trị kỳ dị ρj theo công thức (1.1.6), là

˜

các đa thức chuẩn của toán tử Schr¨dinger L(t).

o

Đặt ε0 = min{ε/2, Im ρ1 , . . . , Im ρN }. Khi đó hàm e(t, ρ) và e(t, −ρ)

đều xác định trên dải | Im ρ| < ε0 . Từ hai hàm này chúng ta sẽ xây dựng

hàm tán xạ của toán tử L(t) như sau:

Định nghĩa 1.1.3. Cho toán tử Schr¨dinger L(t) được xác định theo

o

(1.1.2a)−(1.1.2c) và hàm e(x, t, ρ) là nghiệm duy nhất của bài toán (1.1.3)−

21



(1.1.4). Khi đó, với ρ thuộc dải | Im ρ| < ε0 , chúng ta gọi hàm số s(t, ρ)

được cho bởi công thức

e(t, −ρ)

s(t, ρ) =

,

e(t, ρ)

là hàm tán xạ của toán tử Schr¨dinger L(t).

o

Các không điểm của e(t, ρ) nằm bên ngoài dải 0 < Im ρ < ε0 . Do đó hàm

tán xạ s(t, ρ) của toán tử L(t) không có cực điểm trong dải 0 < Im ρ < ε0

và hàm phân hình trên dải | Im ρ| < ε0 . Thêm nữa, Lyantse ([24]) đã chỉ

ra rằng

1

s(t, ρ) = 1 + O

, |ρ| −→ ∞.

ρ

Định nghĩa 1.1.4. Tập hợp

S(t) = {s(t, ρ); ρ1 , . . . , ρN ; M1 (x, t), . . . , MN (x, t)},



(1.1.7)



bao gồm hàm tán xạ s(t, ρ), các giá trị kỳ dị ρj , và các đa thức chuẩn

Mj (x, t), j = 1, 2, . . . , N của toán tử L(t), được gọi là tập dữ liệu tán

xạ của toán tử Schr¨dinger L(t).

o

Tập dữ liệu tán xạ S(t) trong (1.1.7) chính là kết quả của bài toán tán xạ

thuận đối với toán tử Schr¨dinger L(t).

o

B. Bài toán tán xạ ngược trên nửa trục

Bài toán tán xạ ngược là bài toán thứ hai trong cặp bài toán tán xạ

đối với toán tử Schr¨dinger L(t). Trong bài toán này chúng ta cho một tập

o

hợp nào đấy

S(t) = {s(t, ρ); ρ1 , . . . , ρN ; M1 (x, t), . . . , MN (x, t)},

bao gồm:

+) Hàm số s(t, ρ) phân hình trong dải | Im ρ| < ε0 và không có cực điểm

trong dải 0 < Im ρ < ε0 (với ε0 > 0 cho trước) và

s(t, ρ) = 1 + O



1

, |ρ| −→ ∞.

ρ



+) N số phức ρ1 , . . . , ρN nằm trên nửa mặt phẳng Im ρ ≥ ε0 , với các bội

tương ứng là m1 , m2 , . . . , mN .

22



+) N đa thức M1 (x, t), . . . , MN (x, t) theo biến x với bậc tương ứng là

m1 − 1, m2 − 1, . . . , mN − 1 và các hệ số phụ thuộc tự do vào t.

Mục tiêu của bài toán tán xạ ngược là xây dựng toán tử Schr¨dinger

o

L(t) sao cho tập S(t) ở trên chính là tập dữ liệu tán xạ của toán tử xây

dựng được.

+

Từ hàm tán xạ s(t, ρ) trong S(t) ta xây dựng fs (x, t) là ảnh suy rộng

của s(t, ρ) − 1 qua biến đổi Fourier ngược

+

fs (x, t) =



1

2π



s(t, ρ) − 1 eiρx dρ,



0 < Im ρ < ε0 ,



+



(x, t) ∈ [0, ∞) × (−∞, ∞).

trong đó tích phân ở vế phải được hiểu là

a+iη



= lim

+



a→∞

−a+iη



,



ở đây η là một số thực nào đấy thỏa mãn bất đẳng thức 0 < η < ε0 . Tính

chỉnh hình của s(t, ρ) trong dải 0 < Im ρ < ε0 đảm bảo cho giá trị của tích

phân trên không phụ thuộc vào η.

+

Kết hợp fs (x, t) với các giá trị ρj và các đa thức Mj (x, t) chúng ta xác

định hàm số

+

f (x, t) = fs (x, t) − {M1 (x, t)eiρ1 x + . . . + MN (x, t)eiρN x },



(x, t) ∈ [0, ∞) × (−∞; ∞).

Từ hàm f (x, t) được xây dựng ở trên chúng ta đưa ra phương trình tích

phân Gelfand-Levitan-Marchenko sau đây

∞



K(x, y, t) =



K(x, ξ, t)f (ξ + y, t)dξ + f (x + y, t),



(1.1.8)



x



0 ≤ x ≤ y < ∞, −∞ < t < ∞,

với K(x, y, t) là ẩn hàm phải tìm.

Từ nghiệm K(x, y, t) của phương trình tích phân (1.1.8) chúng ta xác

định hàm số

u(x, t) = 2



∂

K(x, x, t),

∂x



(x, t) ∈ [0, ∞) × (−∞, ∞).

23



(1.1.9)



Hàm u(x, t) được xây dựng từ công thức (1.1.9) được chứng minh là hàm

số liên tục và thỏa mãn đánh giá (1.1.2c). Từ hàm u(x, t) chúng ta xây

dựng được toán tử L(t) theo biểu thức (1.1.2a) và miền xác định (1.1.2b).

Sau đó, tập dữ liệu tán xạ của toán tử L(t) mà ta xây dựng được như vậy

cũng đã được chỉ ra là một tập hợp trùng với tập hợp S(t) được cho ban

đầu. Tính duy nhất nghiệm của bài toán tán xạ ngược được mô tả bằng

định lý sau đây

Định lý 1.1.1. ([24]). Dữ liệu tán xạ S(t) xác định duy nhất thế vị u(x, t)

và toán tử Schr¨dinger L(t) ứng với nó.

o

C. Thế vị không tán xạ trên nửa trục

Cho đến hiện nay, việc giải tường minh phương trình tích phân (1.1.8)

vẫn chỉ giới hạn trong một số ví dụ hạn chế. Có một lớp đáng chú ý của

các tập dữ liệu tán xạ S(t) mà phương trình này có thể giải được tường

minh. Cụ thể ta xét các tập dữ liệu tán xạ mà ứng với nó ta có s(ρ, t) ≡ 1.

Chúng ta gọi những thế vị u(x, t) như vậy là các thế vị không tán xạ. Các

thế vị không tán xạ đã được P. L. Vu đưa ra trong bài báo [41]. Ta sẽ mô

tả vắn tắt về các thế vị không tán xạ như sau:

Dữ liệu tán xạ S(t) ứng với thế vị không tán xạ được quy về

S(t) = {ρj , Im ρj > ε0 , Mj (x, t), j = 1, . . . , N },



(1.1.10)



trong đó ρj là các số kì dị có bội tương ứng là mj và Mj (x, t) là các đa

thức chuẩn theo biến x có bậc là mj − 1 và có hệ số phụ thuộc t.

Tương ứng với S(t) trong (1.1.10) hàm f (x, t) là

f (x, t) = −{M1 (x, t)eiρ1 x + . . . + MN (x, t)eiρN x },

(x, t) ∈ [0, ∞) × (−∞; ∞).

Với f (x, t) được xét ở trên, phương trình (1.1.8) trở thành phương trình

tích phân với nhân suy biến. Cụ thể chúng ta có thể tìm hàm K(x, y, t)

theo dạng tách biến

N



Kj (x, t)eiρj y ,



K(x, y, t) =

j=1



và quy bài toán về việc tìm K1 (x, t), K2 (x, t), . . . , KN (x, t). Khi đó phương

trình cơ bản (1.1.8) được quy về một hệ phương trình tuyến tính mà có

thể giải theo phương pháp Cramer. Trong trường hợp này từ (1.1.9), P. L.

Vu đã đưa ra biểu diễn của các thế vị không tán xạ trong định lý dưới đây:

24



Định lý 1.1.2. ([41]). Thế vị không tán xạ u(x, t) của toán tử Schr¨dinger

o

được biểu diễn qua dữ liệu tán xạ S(t) bằng công thức sau đây:

∂2

u(x, t) = 2 2 ln(det B(x, t)),

∂x



(x, t) ∈ [0, ∞) × (−∞, ∞),



(1.1.11)



trong đó ma trận B(x, t) được xây dựng từ dữ liệu tán xạ với các phần tử

là

∞



Mj (x + ξ, t)ei(ρj +ρn )ξ dξ, j, n = 1, 2, . . . , N,



Bjn =δjn +



(1.1.12)



x



δjn = 1 đối với j = n, δjn = 0 đối với j = n,

(x, t) ∈ [0, ∞) × (−∞, ∞).

D. Nhận xét sơ bộ về quy luật tiến hóa đối với dữ liệu tán xạ

của thế vị không tán xạ

Phần cuối của tiểu mục này chúng tôi xin giới thiệu một vài thông tin

về những kết quả hiện có trên nửa trục của phương pháp bài toán ngược

tán xạ và mục tiêu cụ thể của Luận án đối với phương trình Korteweg-de

Vries.

Xét toán tử Schr¨dinger (1.1.2a) với thế vị u(x, t) cũng chính là nghiệm

o

của phương trình Korteweg-de Vries (1.1.1). Khi đó hàm e(x, t, ρ) và dữ

liệu tán xạ S(t) có quy luật phụ thuộc vào t bị chi phối bởi phương trình

Korteweg-de Vries. Quy luật tiến hóa đó đối với hàm e(x, t, ρ) là ([3, 41, 46])

et (x, t, ρ)+4{e(x, t, ρ)}xxx + 6u(x, t)ex (x, t, ρ)

+ 3ux (x, t)e(x, t, ρ) = −4ik 3 e(x, t, ρ).

Phương trình Schr¨dinger tuyến tính (1.1.3) cũng có một nghiệm riêng

o

Ω(x, t, ρ) được cho bởi điều kiện biên ([24, 41])

Ω(x, t, ρ)



= 0,

x=0



Ωx (x, t, ρ)



= 1.

x=0



Trong bài báo [41], P. L. Vu đã đưa thêm giả thiết là nghiệm riêng Ω(x, t, ρ)

có quy luật tiến hóa là

Ωt (x, t, ρ)+4{Ω(x, t, ρ)}xxx + 6u(x, t)Ωx (x, t, ρ)

+ 3ux (x, t)Ω(x, t, ρ) = γΩ(x, t, ρ),

25



(1.1.13)



với γ là một hằng số.

Xuất phát từ tiến hóa của hàm e(x, t, ρ) và giả thiết (1.1.13), P. L. Vu

đã tính toán được các quy luật tiến hóa của các phần tử trong tập dữ liệu

tán xạ S(t), với giả thiết thêm là bậc của các đa thức chuẩn đều bằng

không.

Nhận xét 1.1.1. Người ta đã chứng minh ([3, 46]) rằng vế trái của (1.1.13)

cũng là một nghiệm của (1.1.3). Giả thiết (1.1.13) nói rằng nghiệm này tỷ

lệ với nghiệm Ω(x, t, ρ), vì vậy giả thiết này là khá mạnh. Để khắc phục

Giả thiết (1.1.13) chúng tôi sau này sẽ thay thế giả thiết này bằng Giả thiết

(1.1.42) về cấu trúc của các giá trị kỳ dị của dữ liệu tán xạ..

Sử dụng phép đổi biến của Hirota đối với phương trình Korteweg-de

Vries (1.1.1)

∂2

u(x, t) = 2 2 ln τ (x, t),

(1.1.14)

∂x

chúng ta đưa việc tìm nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries về

phương trình sau đây

2

τxt τ − τt τx + (τ τxxxx − 4τx τxxx + 3τxx ) = 0.



(1.1.15)



Người ta đã chứng minh rằng nếu τ (x, t) là nghiệm của (1.1.15) và u(x, t)

được xác định bởi (1.1.14) thì u(x, t) là nghiệm của (1.1.1). Vế trái của

phương trình (1.1.15) là một dạng song tuyến tính đối với ẩn hàm τ (x, t).

Do đó phương trình (1.1.15) được gọi là dạng song tuyến tính của phương

trình Korteweg-de Vries ([3, 18, 19]). Sử dụng phép đổi biến Hirota nói

trên và phương trình song tuyến tính (1.1.15) chúng tôi quy việc mô tả

tiến hóa cho dữ liệu tán xạ về việc tìm nghiệm riêng cho phương trình song

tuyến tính (1.1.15) dưới dạng

τ (x, t) = det B(x, t),



(1.1.16)



trong đó ma trận B(x, t) được xác định bởi (1.1.12).

Trong hai Tiểu mục 1.1.2 và 1.1.3 chúng tôi sẽ đưa ra điều kiện cần và

đủ đối với các đa thức chuẩn Mj (x, t) trong (1.1.12) để τ (x, t) xác định

theo (1.1.16) chính là nghiệm của phương trình song tuyến tính (1.1.15).

Từ kết quả tính toán đa thức chuẩn Mj (x, t) chúng tôi đưa ra được một

lớp nghiệm không tán xạ tường minh của phương trình Korteweg-de Vries

trên nửa trục.

26



Quy luật tiến hóa của các đa thức tán xạ Mj (x, t)



1.1.2



Trong tiểu mục này chúng ta cần sử dụng bổ đề sau về tổ hợp tuyến tính

các hàm số mũ với các hệ số đa thức.

Bổ đề 1.1.2. Cho a1 (x), a2 (x), . . . , am (x) là các đa thức của biến x và

α1 , α2 , . . . , αm là các số phức phân biệt. Khi đó đồng nhất thức

a1 (x)eα1 x + a2 (x)eα2 x + . . . + am (x)eαm x ≡ 0,



(1.1.17)



xảy ra khi và chỉ khi aj (x) ≡ 0 với mọi j = 1, 2, . . . , m.

Chứng minh. Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Nếu m = 1 thì từ đồng nhất thức a1 (x)eα1 x ≡ 0, nhân hai vế với e−α1 x ta

nhận được a1 (x) ≡ 0. Do đó Bổ đề đúng với m = 1.

Tiếp theo ta giả sử rằng Bổ đề đúng với m = k. Ta cần chứng minh nó

cũng đúng với m = k + 1. Ứng với m = k + 1 ta xét đồng nhất thức

a1 (x)eα1 x + a2 (x)eα2 x + . . . + ak (x)eαk x + ak+1 (x)eαk+1 x ≡ 0.

Nhân hai vế của phương trình trên với e−αk+1 x ta nhận được

a1 (x)e(α1 −αk+1 )x + a2 (x)e(α2 −αk+1 )x + . . . + ak (x)e(αk −αk+1 )x + ak+1 (x) ≡ 0.

(1.1.18)

Gọi bậc của đa thức ak+1 (x) là p, tức là deg ak+1 (x) = p. Lấy đạo hàm hai

vế của (1.1.18) liên tiếp p + 1 lần ta nhận được đẳng thức:

b1 (x)e(α1 −αk+1 )x + b2 (x)e(α2 −αk+1 )x + . . . + bk (x)e(αk −αk+1 )x ≡ 0,



(1.1.19)



trong đó

dp+1

aj (x)e(αj −αk+1 )x .

(1.1.20)

p+1

dx

Sử dụng giả thiết quy nạp, từ (1.1.19) chúng ta nhận được bj (x) ≡ 0 với

mọi j = 1, 2, . . . , k. Thay bj (x) ≡ 0 vào (1.1.20) ta suy ra aj (x)e(αj −αk+1 )x

phải là một đa thức có bậc không vượt quá p. Nếu aj (x) ≡ 0 thì ta đặt

aj (x)e(αj −αk+1 )x = aj (x) và khi đó

˜

bj (x)e(αj −αk+1 )x =



e(αj −αk+1 )x =



aj (x)

˜

aj (x)



là hàm hữu tỷ. Điều này mâu thuẫn với giả thiết αj = αk+1 . Như vậy ta

khẳng định được aj (x) ≡ 0 với mọi j = 1, 2, . . . , k. Thay vào (1.1.18) ta

thu được ak+1 (x) ≡ 0. Bổ đề đã được chứng minh.

27



Chúng ta trở lại với câu hỏi: Với điều kiện nào thì thế vị không tán

xạ u(x, t) trong (1.1.11) là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries

(1.1.1)? Để trả lời câu hỏi này chúng ta sẽ thế hàm

τ (x, t) = det B(x, t),

trong đó B(x, t) được xác định theo công thức (1.1.12), vào phương trình

(1.1.15).

Trước tiên ta hãy xét trường hợp thế vị không tán xạ có dữ liệu tán xạ

S(t) chỉ chứa một giá trị kì dị ρ1 , Im ρ1 > 0 với bội là m1 . Khi đó đa thức

chuẩn tương ứng được ký hiệu là M1 và có bậc là m1 − 1. Trong trường

hợp này hàm τ được xác định theo (1.1.16) và (1.1.11) là

τ (x, t) = 1 + M (x, t)ekx ,

trong đó



k = 2iρ1 , Im ρ1 > 0,



(1.1.21)



M1 (x + ξ, t)ekξ dξ.



(1.1.22)



∞



M (x, t) = e−kx

x



Vì M1 (x, t) là đa thức của x có bậc là m1 − 1, nên từ (1.1.22) ta thấy rằng

M (x, t) cũng là một đa thức bậc m1 − 1 theo biến x. Do đó ta có thể đặt

M (x, t) = am1 xm1 −1 + . . . + a1 ,



(1.1.23)



với aj là các hàm giá trị phức của t, j = 1, 2, . . . , m1 .

Định lý 1.1.3. Cho toán tử Schr¨dinger L(t) có thế vị không tán xạ u(x, t)

o

và dữ liệu tán xạ S(t) chỉ chứa một giá trị kì dị ρ1 . Xét hàm τ (x, t) được

xây dựng từ toán tử L(t) bởi (1.1.21) − (1.1.22). Khi đó hàm τ (x, t) là

nghiệm của phương trình song tuyến tính (1.1.15) nếu và chỉ nếu đa thức

chuẩn M1 (x, t) trong dữ liệu tán xạ S(t) có bậc 0 theo biến x và phụ thuộc

vào t theo đẳng thức sau

3



M1 = −kCe−k t ,



(1.1.24)



trong đó C là một hằng số phức nào đó.

Chứng minh. Thế (1.1.21) vào (1.1.15) chúng ta thu được

(1 + M ekx )(Mxt + kMt + Mxxxx + 4kMxxx + 6k 2 Mxx + 4k 3 Mx + k 4 M )ekx

− (Mx + kM )(Mt + 4Mxxx + 12kMxx + 12k 2 Mx + 4k 3 M )e2kx

+ 3(Mxx + 2kMx + k 2 M )2 e2kx = 0,

28



M = M (x, t).