Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Tìm toạ độ giao điểm.

Giải hệ này ta tìm được hai giao điểm A(2;0) và B(-3;-1)

Ví dụ 14: Biện luận số giao điểm của (C) và d trong đó:

d: mx – y - 3m - 2=0

(C): x2 + y2 -4x-2y = 0

Giải: Vì bài toán này không phải chỉ ra toạ độ giao điểm nên ta có thể sử dụng phương pháp

2 để giải.

Tâm và bán kính của đường tròn này là: I(2;1) và R =

Khoảng cách từ tâm I đến d là h =



TH1:



5



m+3

m2 + 1



1



m<−



2

< 5 ⇔ (m+3) <5(m + 1) ⇔ 4m – 6m-4> 0 ⇔



m2 + 1

m > 2



m+3



2



2



2



⇒ h < R ⇒ d và (C) có 2 giao điểm.

TH2:



1



m

=

−

2

= 5 ⇔ (m+3)2 =5(m2 + 1) ⇔ 4m2 – 6m-4= 0 ⇔ 

2



m +1

m = 2



m+3



⇒ h = R ⇒ d và (C) có 1 giao điểm hay d tiếp xúc với (C).

TH3:



m+3

m +1

2



> 5 ⇔ (m+3)2 >5(m2 + 1) ⇔ 4m2 – 6m-4< 0 ⇔ -1/2 < m< 2



⇒ h > R ⇒ d và (C) không có giao điểm nào.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.



Ví dụ 15: Cho (C): x2 + y2 -4x + 6y – 12 = 0 và điểm D(1;1).

1) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho AB đạt giá trị lớn nhất.

1) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho AB đạt giá trị nhỏ nhất.

1) Viết phương trình đường thẳng ∆3 đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho DA=2DB

Giải:

Đường tròn này có tâm I(2;-3) và bán kính R = 5.

Ta có ID =



17 < 5 ⇒ D nằm trong đường tròn ⇒ mọi đường thẳng đi qua D đều



cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.



8



a) ∆1 đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB max ⇔ AB là đường

kính của đường tròn này ⇒ ∆1 đi qua D và I ⇒ phương trình có dạng: 4x+y-5 = 0.

b) ∆2 đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB min ⇔ d(I;AB)max = ID

⇔ AB ⊥ ID tại D ⇒ ∆1 đi qua D và nhận ID làm vectơ pháp tuyến ⇒ phương trình có

dạng: x-4y+3 = 0.



uuu

r uuur

c) Ta có: Phương tích của điểm D đối với đường tròn (C) là: P = DA.DB =-2DA2

mà P = ID2 – R2 = 17 – 25 = -8 ⇒ DA2 = 4

⇒ (xA – 1)2 + (yA – 1)2 =4 (1)

mà A ∈ (C) ⇒ xA2 + yA2 -4xA + 6yA – 12 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ A(-1;1) hoặc A(115/17;33/17)

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn là: y = 1 và 98x -15y - 83=0

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn.



Cho đường tròn (C): (x - a)2 + (y - b)2 = R2 . (C) có tâm I(a; b) và bán kính R

Bài toán 1:Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm M(x0; y0) ∈ (C).

Giải: Gọi ∆ là tiếp tuyến với đường tròn (C). Vì ∆ tiếp xúc với (C) tại M ⇒ ∆ đi qua

uuur

M và nhận IM (x0 – a; y0 – b) làm vecctơ pháp tuyến ⇒ phương trình có dạng:

(x0 – a)(x - x0) + (y0 – b)(y - y0) = 0 (1)

Chú ý:

+ Phương trình (*) có thể biến đổi về dạng sau: (x 0 – a)(x - a) + (y0 – b)(y - b) = R2

(1a)

+ Nếu phương trình đường tròn cho ở dạng : x2 + y2- 2ax -2by + c = 0 thì tiếp tuyến

của đường tròn tại điểm M(x 0,y0) có dạng: x.x0 + y.y0 – (x + x0)a - (y + y0)b + c = 0 (1b)

(Phương trình này được suy trực tiếp từ (1a)).

Cách thành lập phương trình tiếp tuyến ở dạng(1a) và (1b)gọi là "phương pháp phân

đôi toạ độ".

Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ một điểm M(x 0; y0) không

thuộc đường tròn.

Bài toán này có hai cách giải như sau:

Cách 1:

+/ Xét đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với Ox. Khi đó ∆ có phương trình là x

= x0.

∆ là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d(I;∆ ) = R. Từ đẳng thức này sẽ suy ra được ∆ có

phải là tiếp tuyến của đường tròn hay không.



9



+/ Xét đường thẳng ∆ đi qua M và có hệ số góc là k. Phương trình của ∆ có dạng: y =

k(x-x0) + y0.

∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R. Giải điều kiện này ta sẽ tìm được k.

Chú ý: Để chứng minh một điểm M nằm ngoài đường tròn ta làm như sau:

-



Tính IM.



-



So sánh IM với R:



+ Nếu IM > R thì M nằm ngoài đường tròn

+ Nếu IM < R thì M nằm trong đường tròn.

+ Nếu IM = R thì M nằm trên đường tròn.



Cách 2:

- Đường thẳng ∆ đi qua M có phương trình: A(x - x0) + B(y - y0) = 0 trong đó A2 + B2 ≠ 0.

- ∆ là tiếp tuyến với đường tròn (C) ⇔ d(I;∆ ) = R (*)

- Từ điều kiện (*), tìm mối liên hệ giữa A và B. Vì a và b không đồng thời bằng 0 nên có thể

chọn a một giá trị thích hợp rồi suy ra b hoặc ngược lại.

Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến có hệ số góc là k.

Giải:

- Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc k có dạng: y = kx + m.

- ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R. Giải điều kiện này ta sẽ tìm được m.

Chú ý:

- Nếu tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng: ax+ by+ c = 0 thì phương trình ∆ sẽ

có dạng: ax+by + c' = 0 (c' ≠ c).

- Nếu tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng ax+ by+ c = 0 thì phương trình ∆ sẽ

có dạng: -bx+ay + c' = 0 (c' ≠ c).

Ví dụ 16: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2-6x +2y + 6 = 0 và điểm A (1;3)

a) Chứng minh rằng điểm A ở ngoài đường tròn.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.



Giải:

Đường tròn (C) có tâm I(3; -1) bán kính R = 2.

a) Ta có: IA = 2 5 > R ⇒ A nằm ngoài đường tròn (C).

b) Ta giải bài toán này theo hai cách.

Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là (a; b) có dạng:

a(x – 2) + b( y – 6) = 0 (a2 + b2 ≠ 0)

Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d(I,d) = R

⇔



a (3 − 1) + b(−1 − 3)

a2 + b2



b = 0

=2 ⇔ (a - 2b) = (a + b ) ⇔ 3b -4ab = 0 ⇔ 

.

b = 4 a

3



2



2



2



2



10



*) Nếu b = 0, vì a ≠ 0 chọn a = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng: x = 1.

4

*) Nếu b= a. Chọn a = 3, b = 4

3

phương trình tiếp tuyến có dạng: 3x -4y-15=0

Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với (C) là: x = 1

3x – 4y – 15 = 0.

Cách 2:

*) Xét ∆ đi qua A và vuông góc với Ox ⇒ phương trình ∆ : x = 1 hay x – 1 = 0.

∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ⇔



3 −1

1



=2. Đẳng thức này đúng nên x = 1 là



tiếp tuyến của (C).

*) Xét ∆ đi qua A và có hệ số góc là k. Phương trình của ∆ là: y = k(x – 1) + 3 hay kx – y +

3 – k = 0.

∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ⇔

(k+2)2 = k2 + 1 ⇔ k =-



3k + 1 + 3 − k

k2 +1



=2



3

3

⇒ ta được tiếp tuyến: y = - (x–1) + 3 ⇔ 3x + 4y – 15 = 0

4

4



Nhận xét: Trong cách giải 2: ta phải xét hai trường hợp nhưng lời giải của mỗi trường hợp

lại khá ngắn gọn và đơn giản. Phù hợp với đối tượng học sinh mà kỹ năng tính toán còn hạn

chế. Một sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải theo cách này đó là không xét

trường hợp thứ nhất tức là tiếp tuyến vuông góc với Ox (đường thẳng không có hệ số góc)

và do đó bài toán sẽ mất nghiệm.

Ví dụ 17: Cho đường tròn có phương trình là: x2 + y2 + 4x + 4y -17 = 0.

Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Điểm tiếp xúc là M(2;1)

b) d đi qua A(3;6)

c) d song song với đường thẳng 3x - 4y - 2008 = 0



Giải:

Đường tròn này có tâm I(-2;-2), bán kính R = 5

a) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ nhất.

Theo phương pháp phân đôi toạ độ ⇒ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại

M(2;1) là:

2x +1.y +2(x + 2) + 2(y+1) -17 = 0

⇔ 4x + 3y-11 = 0.

b) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ hai.



11



Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là (a; b) có dạng:

a(x – 2) + b( y – 6) = 0

Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d(I,d) = R

⇔



a (−2 − 3) + b(−2 − 6)

a +b

2



2



=5 ⇔ (5a + 8b)2 = 25(a2 + b2) ⇔ 39 b2 +80ab = 0.



*) Nếu b = 0, vì a ≠ 0 chọn a = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng: x = 2.

*) Nếu b ≠ 0: ⇒ a = -39/80.b. Chọn a = -39, b = 80

phương trình tiếp tuyến có dạng: -39x + 80y-402=0.

Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài.

c) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ ba.

Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 3x- 4y – 2008 = 0 có dạng: 3x

– 4y + c = 0.

Đường thẳng này là tiếp tuyến với đường tròn

⇔ d(I;d3) = R ⇔



3.(−2) − 4(−2) + c

32 + 42



=5 ⇔ 2 + c =25 ⇒ c = 23 hoặc c = -27.



Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: 3x – 4y + 23 = 0 hoặc 3x – 4y – 27 = 0.



Ví dụ 18: Cho đường tròn x2 + y2- 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(2;4).

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho

M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = -1.

Đại học Tài chính kế toán- 1997

Giải:

Đường tròn này có tâm I(1;3) và bán kính R = 2.

a) Ta có: IM =



2 < 2 = R ⇒ M nằm trong đường tròn. Vậy mọi đường thẳng đi qua M đều



cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Đường thẳng ∆ đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm

uuur

của AB ⇒ IM ⊥ AB ⇒ ∆ nhận IM (1;1) làm vectơ pháp tuyến ⇒ phương trình của ∆:

x-2+y-4 = 0 ⇔ x + y – 6 = 0.

b) Phương trình của ∆ có hệ số góc là k=-1: y = -x+m hay x + y – m = 0

∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ⇔



1+ 3 − m

1+1



=2



12



m = 4 − 2 2

(4-m)2 = 8 ⇔ 

 m = 4 + 2 2

Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài là:



x + y -4+2 2 = 0

x + y -4-2 2 = 0



Ví dụ 19: Cho đường tròn (C): x2 + y2+2x -4y -4 = 0 và điểm A(2; 5).

Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn. Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với

đường tròn tại hai điểm M, N. Hãy tính độ dài MN.

Đại học Ngoại thương- 1997

Giải:

Qua A ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là: x = 2 và y = 5.

Toạ độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

x = 2

⇔

 2

2

x

+

y

−

2

x

−

6

y

+

6

=

0





x = 2

⇒ M(2; 2)



y = 2



Toạ độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

y = 5

⇔

 2

2

x + y − 2x − 6 y + 6 = 0

⇒ MN =



( −1 − 2 )



2



 x = −1

⇒ N(-1; 5)



y = 5



+ (5 − 2) 2 = 3 2



Ví dụ 20: Cho (C): x2 + y2-2x +2y -3 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) biết tiếp

tuyến cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho ∆ ABC có diện tích bằng 4.

Giải: (C)có tâm I(1;-1) và bán kính R =



5



Giả sử A(a;0), B(0; b) trong đó a > 0 và b> 0.

Phương trình đường thẳng AB có dạng:

SAOB = 4 ⇒



x y

+ = 1 ⇔ bx + ay – ab = 0

a b



1

ab =4 ⇒ ab = 8.

2



AB tiếp xúc với (C) ⇒ d(I,AB) = R ⇔



b − a − ab

a2 + b2



a = 4

= 5 ⇒ b – a = -2 ⇒ 

b = 2



Vậy phương trình AB: x + 2y – 4 = 0

Dạng 4: Một số bài toán khác về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.



Ví dụ 21: Cho đường thẳng d: x – y + 1 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 4y = 0. Tìm

điểm M ∈ d sao cho qua M vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho

góc AMB = 600



13



Giải:

(C): (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5.

⇒ Đường tròn có tâm I(-1;2) và có bán kính



5.



Từ góc AMB bằng 600 ⇒ AMI = 300

⇒ MI = 2AI = 2R = 2



5.



Gọi toạ độ của M(x;y).

x − y +1 = 0

Ta có hệ phương trình 

2

2

( x + 1) + ( y − 2) = 20

Giải hệ này ta được: x = -3, y = -2

x = 3, y = 4.

Vậy có hai điểm M thoả mãn M1 (-3;-2) và M2 (3;4)

VẤN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường tròn.



Cho hai đường tròn: (C1): x2 + y2-2a1x -2b1y + c1 = 0

(C2): x2 + y2-2a2x -2b2y + c2 = 0

Để xét vị trí tương đối của (C) và (C) ta có hai phương pháp như sau:

Phương pháp 1: Xét số giao điểm của (C1) và (C2). Số giao điểm của (C1) và (C2) là số

 x 2 + y 2 − 2a1x − 2b1 y + c1 = 0

nghiệm của hệ phương trình:  2

2

 x + y − 2a 2 x − 2b2 y + c2 = 0

- Nếu hệ vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có giao điểm nào ⇒(C1) không cắt

(C2).

- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì (C1) và (C2) có một giao điểm ⇒(C1) tiếp

xúc với (C2)

.



- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì (C1) và (C2) có hai giao điểm .

- Nếu hệ có vô số nghiệm thì (C1) trùng (C2)



Phương pháp 2:

- (C1) có tâm I1 (a1; b1) và bán kính R1

- (C2) có tâm I2 (a2; b2) và bán kính R2

- Tính I1I2 = d

- Biện luận vị trí tương đối:

+ Nếu R1 − R2 < d < R1 + R2 thì (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

+ Nếu d = R1 + R2 thì (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau.



14



+ Nếu d = R1 − R2 thì (C1) và (C2) tiếp xúc trong nhau.

+ Nếu d > R1 + R2 thì (C1) và (C2) ngoài nhau.

+ Nếu d < R1 − R2 thì (C1) và (C2) chứa trong nhau.

Nhận xét:

- Đối với phương pháp 1 ta chỉ ra được hai đường tròn có cắt nhau hay không và còn

chỉ ra được toạ độ giao điểm của hai đường tròn nhưng trong trường hợp hai đường tròn tiếp

xúc nhau thì không chỉ ra được tiếp xúc trong hay ngoài.

- Đối với phương pháp 2: Ta chỉ ra được vị trí tương đối của hai đường tròn một cách

cụ thể tuy nhiên không tìm được toạ độ tiếp điểm nếu có.

Tuỳ từng bài toán cụ thể để lựa chọn phương pháp giải phù hợp hoặc có thể phải

phối hợp hai phương pháp.

Ví dụ 22: Xét vị trí tương đối của hai đường tròn sau: (C) x2 + y2-2x -6y +-15 = 0

(C) x2 + y2-6x -2y -3 = 0

Giải:

(C1) có tâm I1(1;3) và bán kính R1 = 5

(C2) có tâm I2(3;1) và bán kính R2 = 13

I1I2 = 2 2

Ta thấy: R1 − R2 < I1I 2 < R1 + R2 ⇒ hai đường tròn cắt nhau.

Ví dụ 23: Cho hai đường tròn: (C): x2 + y2 = 1 và (Cm): x2 + y2-2(m+1)x +4my -5 = 0

Xác định m để (Cm) tiếp xúc với (C).

Giải:

(C) có tâm O(0;0) và bán kính R = 1.

(Cm) có tâm I(m+1; -2m) và bán kính R' =

Ta thấy OI =



(m + 1) 2 + 4m 2 + 5



(m + 1) 2 + 4m 2 < R' ⇒ điểm O nằm trong đường tròn tâm I ⇒ (C) và



(Cm) chỉ có thể tiếp xúc trong nhau.

Điều kiện để hai đưòng tròn tiếp xúc trong là R' – R = OI

⇔



(m + 1) 2 + 4m 2 + 5 -1 = (m + 1) 2 + 4m 2



Giải phương trình này ta được: m = -1 hoặc m = 3/5

Chú ý: Để chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau thông thường ta phải xét hai

trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài.



15



Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.



Để viết phương trình tiếp tuyến chung ∆ của hai đường tròn ta làm như sau:

*) Kiểm tra xem đường thẳng có dạng x = m( đường thẳng không có hệ số góc) có

phải là tiếp tuyến chung của hai đường tròn không.

*) Xét ∆ : y = ax+ b.

Đường thẳng này là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ⇔ khoảng cách từ I1 đến ∆

d ( I1; ∆) = R1

= R1 và khoảng cách từ I2 đến ∆ = R2 ⇔ 

d ( I 2 ; ∆) = R2

Giải hệ này ta sẽ tìm được a và b.

Ví dụ 24: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn:

(C1): x2 + y2-8x -2y + 7 = 0 , (C2): x2 + y2-3x -7y + 12 = 0 và viết phương trình tiếp tuyến

chung của hai đường tròn ấy.

Giải:

Toạ độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:

 x 2 + y 2 − 8 x − 2 y + 7 = 0

 2

2

 x + y − 3x − 7 y + 12 = 0

x = 1

x = 3

Giải hệ này ta được 

hoặc 

y = 2

y = 4

Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

*) Xét đường thẳng x = m ⇔ x – m = 0.

 4 − m = 10



Đường thẳng này là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ⇔  3

5 hệ này vô

 −m =

2

2

nghiệm ⇒ đường thẳng dạng x = m không phải là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

*) Xét đường thẳng ∆ có dạng: y = ax + b ⇒ ax – y + b = 0

 1 − 4a − b = 10 a 2 + 1



∆ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ⇔  7 3

5 2

a +1

 − a −b =

2

2 2



16



 a = −3



 b = 3



Giải hệ này ta được:  a = −1 ⇒ có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: y = -3x + 3 và y = -1/3 x + 17/3



3

 

  17

 b =

3



VẤN ĐỀ 5: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HỌ ĐƯỜNG TRÒN



Trong vấn đề này ta thường gặp một số bài toán liên quan đến họ đường tròn như

sau:

Cho họ đường tròn (Cm) : f(x, y, m) = 0

Bài toán 1: Tìm tập hợp tâm của đường tròn (Cm)

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

 xI = f ( m)

- Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đã cho (theo m) 

.

 y I = g ( m)

- Từ hệ trên khử m để tìm mối liên hệ giữa xI và yI.

- Kết hợp với điều kiện tìm được ở trên để giới hạn quỹ tích tìm được.

Bài toán 2: Tìm điểm cố định mà họ đường tròn luôn đi qua với mọi m.

Phương pháp giải:

- Giải sử A(x0;y0)) là điểm cố định mà họ đường tròn luôn đi qua với mọi m

⇔ phương trình f(x0, y0, m) = 0 đúng với mọi m.

- Viết phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn m sau đó cho tất cả các hệ số của

m bằng 0 kể cả hệ số tự do.

- Giải hệ đó ta sẽ tìm được x0 và y0.

Bài toán 3: Tìm điểm mà họ đường tròn không bao giờ đi qua với mọi m.

Phương pháp giải:

- Giải sử A(x0;y0)) là điểm mà họ đường tròn không bao giờ đi qua với mọi m

⇔ phương trình f(x0, y0, m) = 0 vô nghiệm m.

- Viết phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn m sau đó cho tất cả các hệ số của

m bằng 0 còn hệ số tự do khác 0.

- Giải hệ đó ta sẽ tìm được điều kiện của x0 và y0.



17



Ví dụ 26: Cho (Cm): x2 + y2+2mx -2(m-1)y + 1 = 0

a) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng: ∆ : x + y + 1 + 2 2 = 0

b) Tìm m để từ điểm A(7;0) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với (Cm) vuông góc với nhau.

c) Tìm m để từ điểm A(7;0) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với ( Cm) và tạo với nhau góc

600.

Giải:

m > 1

Điều kiện để (Cm) là đường tròn là: m2 + (m-1)2 – 1 > 0 ⇔ 

m < 0



Với điều kiện trên thì đường tròn này có tâm I(-m; m-1) và bán kính R =

a) (Cm) tiếp xúc với ∆ ⇔ d(I;∆ ) = R ⇔



−m + m − 1 + 1 + 2 2



m = 2

 m = −1 (tm)





1+1



2m 2 − 2m



= 2m 2 − 2m ⇔



K



A



I



K



b) Từ giả thiết ⇒ AHIK là hình vuông ⇒ AI = R 2

⇒ m = 4± 41

m = 5



¼ 0

−5



 HAK = 60 ⇔   m = 3

c) Từ giả thiết ⇒ 

(tm)

¼



0

 HAK = 120

  m = 25

  m = −3

Ví dụ 27: Cho đường cong: (Cm) có phương trình: x2 + y2+(m+2)x –(m+4)y + m+1 = 0

a) Chứng minh rằng (Cm) luôn là đường tròn với mọi giá trị của m.

b) Tìm tập hợp các tâm của đưòng tròn khi m thay đổi.

c) Chứng minh rằng khi m thay đổi họ các đường tròn ( Cm) luôn đi qua hai điểm cố

định.

d) Tìm những điểm trong mặt phẳng mà họ ( Cm) không đi qua dù m lấy bất kỳ giá trị

nào.

Giải: a)Ta có : a2 + b2 – c =



m 2 + 4m + 8

> 0 ∀ m ⇒ (Cm) là đường tròn với mọi m.

2



m+2



 x = − 2

b) Toạ độ tâm I của đường tròn là 

y = m + 4



2



18