CHƯƠNG 1: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH TRI THỨC CẦN DẠY

Ở bài 6 “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, vấn đề trọng tâm là biểu

diễn sự tương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thức của một ẩn, trong đó ẩn

số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết

Ở bài 7 “Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp)”, vấn đề trọng tâm

là việc biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng bằng phương pháp lập bảng

Đến lớp 9, “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” được gặp lại ở bài 8:

“Giải bài toán bằng cách lập phương trình” (thuộc chương 4: – “Hàm số

=

y ax 2 (a ≠ 0) – Phương trình bậc hai một ẩn”). Mục tiêu của bài này là giúp học



sinh

“_ Biết chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn

_ Biết cách tìm mối liên hệ giữa các dữ kiện trong bài toán để lập phương

trình

_ Biết trình bày bài giải của một bài toán bậc hai”

Với mục tiêu trên thì GBTBCLPT là phương tiện để PT được sử dụng như

công cụ tường minh trong việc giải các bài toán nhất và bậc hai, đồng thời nêu

ra “ẩn số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết” có thể thấy được đây

chính là một trong những nguyên nhân dẫn đến việc HS luôn chọn ẩn là đại

lượng cần tìm

1.2 GBTBCLPT trong SGK Toán THCS

1.2.1 GBTBCLPT trong SGK Toán 8

Chương III: “Phương trình bậc nhất một ẩn” trong M8 gồm các nội dung sau

-



Mở đầu về phương trình



-



Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải



-



Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0



-



Phương trình tích



-



Phương trình chứa ẩn ở mẫu



-



Giải bài toán bằng cách lập phương trình



-



Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp)



Trong đó GBTBCLPT được trình bày riêng ở hai bài cuối chương.

Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn

M 8 xây dựng cách biểu diễn một đại lượng chứa ẩn như sau

“Trong thực tế, nhiều đại lượng biến đổi phụ thuộc lẫn nhau. Nếu kí hiệu một

trong các đại lượng ấy là x thì các đại lượng khác có thể được biểu diễn dưới

dạng một biểu thức của biến x.

Ví dụ 1: Gọi x (km/h) là vận tốc của một ôtô. Khi đó:

Quãng đường ôtô đi được trong 5 giờ là 5x (km).

Thời gian để ôtô đi được quãng đường 100km là



100

(h).

x



Giả sử hàng ngày bạn Tiến dành x phút để tập chạy. Hãy viết biểu thức với biến

x biểu thị:

a)



Quãng đường Tiến chạy được trong x phút, nếu chạy với vận tốc

trung bình là 180m/ph.



b)



Vận tốc trung bình của Tiến (tính theo km/h), nếu trong x phút

Tiến chạy được quãng đường 4500m.



Gọi x là số tự nhiên có hai chữ số (ví dụ x = 12). Hãy lập biểu thức biểu thị số

tự nhiên có được bằng cách:

a)



Viết thêm chữ số 5 vào bên trái số x (ví dụ: 12 → 512 , tức là 500 +

12);



b)



Viết thêm chữ số 5 vào bên phải số x (ví dụ: 12 → 125 , tức là

12 ×10 + 5 ).”



Từ đoạn trích trên chúng tôi có nhận xét sau:

Trước hết M 8 xét bài toán quen thuộc với HS trước đây là bài toán vận tốc,

qua đó đưa vào cách biểu diễn các đại lượng chứa ẩn và các đại lượng phụ thuộc

lẫn nhau. Sự xuất hiện của hoạt động 1 nhằm củng cố cách biểu diễn các đại lượng

phụ thuộc theo một đại lượng cho trước. Một điểm đáng chú ý ở đây là yêu cầu

trong hoạt động 1 và hoạt động 2 là giống nhau tuy nhiên ở hoạt động 2 là một bài

toán về số tự nhiên, có thể đây là dụng ý của các tác giả nhằm nhấn mạnh lại việc

biểu diễn các đại lượng phụ thuộc theo một đại lượng cho trước. Tuy nhiên, ở đây

lại được đưa vào hai dạng toán là toán về chuyển động và toán về tìm số, để cho

HS thấy rằng ta không chỉ biểu diễn các đại lượng phụ thuộc trong các bài toán về

chuyển động mà còn các dạng toán khác nữa.

Trong ví dụ 2 (bài toán cổ):

“Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

Một trăm chân chẵn.

Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”



Đây là một bài toán số học quen thuộc thường được xuất hiện trong SGK

THCS. Điều này làm cho ta thấy được việc tìm ra một phương pháp giải khác

ngoài phương pháp số học (trước đây đã được dùng để giải bài toán này) cho các

bài toán số học và trong ví dụ này mục đích là giới thiệu cách giải bằng phương

pháp đại số.

Ta thấy rằng trong đề bài yêu cầu tìm số gà, số chó, và trong phần hướng

dẫn giải của SGK là gọi ẩn là số gà. Sau đó ở hoạt động 3 lại yêu cầu HS giải lại

bài toán trên với cách gọi ẩn là số chó, và 19/19 bài tập trong SGK đều được

SGK hướng dẫn giải với cách chọn ẩn là đại lượng cần tìm.

Chúng tôi đặt ra câu hỏi: Tại sao SGK lại trình bày như thế, đây có phải

là bước đầu để hình thành nên một quy tắc hành động trong HS: chọn ẩn là đại

lượng cần tìm hay không? Câu trả lời phần nào được thể hiện 1 cách ngầm ẩn

trong phần trả lời hoạt động 2 bài 7 trang 28 của G8: “Cách chọn ẩn này dẫn đến

phương trình giải phức tạp hơn; cuối cùng còn phải làm thêm một phép tính nữa

mới ra đáp số” (hoạt động 2 này yêu cầu chọn ẩn không phải là đại lượng cần

tìm và nêu nhận xét) thêm vào đó sau bài đọc thêm trang 30 của M8 có chú ý

như sau: “Trong cách giải trên đây, mặc dù bài toán hỏi tổng số áo may theo kế

hoạch, nhưng chúng ta đã không chọn đại lượng đó làm ẩn…” theo như trong

chú ý trên cũng ngầm nói rằng các bài toán trước đây đã luôn chọn ẩn là đại

lượng cần tìm.

Bên cạnh đó chúng tôi còn nhận thấy được rằng tất cả các bài toán cho

trong M8 luôn dẫn đến điều kiện của ẩn là số nguyên dương, điều này phần nào

làm cho HS có được cách đặt điều kiện cho ẩn dễ dàng, tuy nhiên cũng chính

điều này làm cho HS nhầm lẫn trong việc luôn cho điều kiện của ẩn là số dương

mà ít quan tâm đến kiến thức thực tế trong quá trình làm bài nên dẫn đến việc

làm sai kết quả cuối cùng của bài toán (khi HS so sánh kết quả tìm được với

điều kiện của ẩn để kết luận)



Ví dụ: Bài 41/trang 58 trong M9

Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người

chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng

150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?

Bài giải do học sinh trình bày:

Gọi x (x > 0) là số của bạn thứ nhất chọn

x + 5 là số của bạn thứ hai chọn

Tích của hai số là: x(x + 5)

Theo đầu bài ta có phương trình: x( x + 5) =

150

 x2 + 5x – 150 = 0

Ta có: ∆= 52 − 4.1.(−150)= 25 + 600= 625

⇒ ∆ =25

−5 + 25

−5 − 25

⇒ x1 =

=

10; x2 =

=

−15 (loại)

2

2



Vậy hai số được chọn là: số Minh chọn là 10 và Lan chọn là 15 hoặc ngược

lại.

Bài giải được trình bày trong G 9 :

Gọi số mà một bạn đã chọn là x và số bạn kia chọn là x + 5.

Tích của hai số là x(x + 5).

Theo đầu bài ta có PT: x=

( x + 5) 150 hay x 2 + 5=

x − 150 0.

Giải PT: ∆ = 25 − 4.1.(−150) = 625 = 252 ; x1 = 10; x2 = −15.



Trả lời:

– Nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại.

– Nếu bạn Minh chọn số –15 thì bạn Lan chọn số –10 hoặc ngược lại.

Đối với bài toán này điều kiện của ẩn là mọi giá trị đều có thể chấp nhận,

nhưng do HS có thói quen đặt điều kiện cho ẩn là số dương nên đã dẫn đến việc

bỏ sót kết quả của bài toán

1.2.2 GBTBCLPT trong SGK toán 9

Chương IV: “Hàm số

=

y ax 2 (a ≠ 0) – Phương trình bậc hai một ẩn”

-



Hàm số

=

y ax 2 (a ≠ 0)



-



Đồ thị của hàm số

=

y ax 2 (a ≠ 0)



-



Phương trình bậc hai một ẩn



-



Công thức nghiệm của phương trình bậc hai



-



Công thức nghiệm thu gọn



-



Hệ thức Vi-ét và ứng dụng



-



Phương trình quy về phương trình bậc hai



-



Giải bài toán bằng cách lập phương trình



Trong đó GBTBCLPT được trình bày riêng một bài ở cuối chương.

“Ví dụ. Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy

định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so

với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 5 ngày trước khi hết thời

hạn, xưởng đã may được 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may

xong bao nhiêu áo?



Giải. Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x ( x ∈ Ν, x > 0 ) .

Thời gian quy định may xong 3000 áo là



3000

(ngày).

x



Số áo thực tế may được trong 1 ngày là x + 6 (áo).

Thời gian may xong 2650 áo là



2650

(ngày).

x+6



Vì xưởng may xong 2650 áo trước khi hết hạn 5 ngày nên ta có PT

3000

2650

.

−5 =

x

x+6



Giải PT trên:

0,

3000( x + 6) − 5 x( x + 6) =

2650 x hay x 2 − 64 x − 3600 =



∆=' 322 + 3600

= 4624, ∆=' 68,

x1 = 32 + 68 = 100, x2 = 32 − 68 = −36,

x2 = −36 không thỏa mãn điều kiện của ẩn.



Trả lời. Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong 100 áo.”

Mở đầu bài SGK trình bày ví dụ là bài toán năng suất như trên (tương tự bài

toán năng suất đã được xuất hiện đầu tiên ở bài đọc thêm trong M8) và điều đặc biệt

ở đây là nguyên một bài giảng chỉ có một ví dụ và một hoạt động (bài toán về diện

tích) mà ngoài ra không còn phần nào khác nữa. Có thể thấy SGK chỉ nêu ra các bài

toán số học quen đã được gặp ở các lớp dưới để HS có thể tiếp thu một phương

pháp giải mới đó là phương pháp đại số một cách dễ dàng hơn. Điều đáng chú ý ở

đây là trong phần giải các bài toán được trình bày trong M9 vẫn gọi ẩn là đại lượng

cần tìm và điều kiện của ẩn cũng là số nguyên dương. Cũng tương tự như ở M8, các



bài tập trong M9 đều được trình bày hướng dẫn giải trong G9 với cách chọn ẩn là

đại lượng cần tìm.

Ví dụ: Bài 43/trang 58 trong M9

Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường

sông dài 120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi

về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi 5 km và với vận tốc nhỏ hơn

vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng

thời gian đi.

Bài giải được trình bày ở trang 61 trong G9

Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là x (km/h), x > 0, thì vận tốc lúc về là x – 5

(km/h).

Thời gian đi 120 km là: 120/x (giờ).

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian lúc đi hết tất cả là: 120/x + 1 (giờ)

Đường về dài 120 + 5 = 125 (km).

Thời gian về là:



125

(giờ).

x −5



Theo đầu bài ta có PT:



120

125

+1 =

x

x −5



Giải PT:



x2 − 5 x + 120 x − 600 =

125 x ⇔ x2 −10 x − 600 =

0;

x = 30; x = −20 (loại).

1

2

Trả lời: Vận tốc của xuồng khi đi là 30 km/h.



Ví dụ: Bài 49/trang 59 trong M9

Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong

việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày.

Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc?

Bài giải được trình bày ở trang 63 của G9

Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là x (ngày), x > 0.

Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình

đội II làm xong việc là x + 6 (ngày).

Mỗi ngày đội I làm được 1/x (công việc),

Mỗi ngày đội II làm được



1

(công việc).

x+6



Mỗi ngày cả hai đội làm được ¼ (công việc).

Ta có PT:



1

1

1

.

+

=

x x+6 4



Giải PT:



0 ; ∆' = 1 + 24 = 52 ;

x( x + 6) = 4 x + 4 x + 24 hay x2 − 2 x − 24 =

x = 6, x = −4 (loại).

1

2

Trả lời: Một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc;

Một mình đội II làm trong 12 ngày thì xong việc.

Các dạng toán được đề cập trong SGK, SBT đối với chủ đề GBTBCLPT

T ts : Toán tìm số



T cđ : Toán chuyển động

T ns : Toán năng suất

T hh : Toán hình học

T kh : Toán có nội dung khác

Bảng 2.1.Thống kê các bài toán trong SGK, SBT phân loại theo các dạng toán được

đề cập

Các dạng toán



M8



E8



M9



E9



Tổng số bài tập



T ts



10



14



5



5



34



T cđ



4 + 1 vd



9



4



7



25



T ns



3



1



2 + 1 vd



5



12



T hh



1



0



4 + 1 hđ



2



8



T kh



5



3



3



3



14



Tổng cộng



24



27



20



22



93



được đề cập



• Nhận xét:

Trong các dạng toán được đề cập trong SGK, SBT đối với chủ đề

GBTBCLPT, dạng toán về tìm số được cho nhiều nhất tập trung chủ yếu ở lớp 8,

tiếp theo đó là dạng toán về chuyển động với số lượng bài không nhỏ. Có thể

thấy việc hai dạng toán này có số lượng khá cao trong các bài tập là vì đây cũng

là những dạng toán mà HS thường gặp ở các lớp dưới.

Các chiến lược giải gắn với chủ đề GBTBCLPT

• Chiến lược giải số học: Giải toán bằng phương pháp số học



-



Dùng các kiến thức về số học đã được học trước đây để suy luận ra

kết quả của bài toán



Ví dụ: Bài tập 35/trang 25 trong M8

“Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng 1/8 số học sinh cả lớp.

Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số

học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học

sinh?”

Bài giải: Học kì một, số HS giỏi chiếm 1/8 = 12.5% số HS cả lớp

Học kì hai, tăng thêm 3 HS nên số HS giỏi chiếm 20% số HS cả lớp.

 tăng thêm 3 HS thì tỉ lệ tăng thêm là 20% – 12.5% = 7.5% nên số HS của

lớp là 3*100/7.5 = 40 HS

Vậy lớp 8A có 40 HS.

• Chiến lược giải đại số: Giải toán bằng phương pháp đại số

Thực hiện theo trình tự các bước GBTBCLPT được trình bày trong M8

Bước 1. Lập phương trình:

-



Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;



-



Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;



-



Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.



Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình,

nghiệm nào thỏa mãn điểu kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ: Bài tập 46/trang 59 trong M9