CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP MỘT VỚI BIẾN KHÔNG GIAN HAI CHIỀU

Header Page 43 of 16.



=

=

u x ( x, y, t ) lim

u ( x, y , t ) 0 ,

lim



x →±∞



x →±∞



ta có

+∞



+∞



∂

u ( x, y, t ) e − imx dx + m 2 ∫ u ( x, y, t ) e − imx dx

∫

∂t −∞

−∞

+∞



− ∫ u yy ( x, y, t ) e − imx dx =

−∞



+∞



∫F



−∞



u ,u x ,u y



( x, y, t ) e−imx dx .



Tiếp tục khai triển Fourier tổng quát theo biến y, ta được

∂

− i mx + ny )

− i mx + ny )

− i mx + ny )

dxdy

u ( x, y , t ) e (

dxdy + m 2 ∫ u ( x, y , t ) e (

dxdy − ∫ u yy ( x, y, t ) e (

∫

∂t R 2

2

2

R

R



=



∫F



u ,u x ,u y



( x, y, t ) e−i( mx+ ny ) dxdy .



R2



Tích phân từng phần và với giả thiết rằng



lim

=

u y ( x, y, t ) lim

=

u ( x, y , t ) 0 ,



y →±∞



y →±∞



Ta có

∂

− i mx + ny )

− i mx + ny )

u ( x, y , t ) e (

dxdy + ( m 2 + n 2 ) ∫ u ( x, y, t ) e (

dxdy

∫

∂t R 2

2

R



=



∫F



u ,u x ,u y



( x, y, t ) e−i( mx+ ny ) dxdy .



R2



Suy ra



 ( m, n, t ) .

ut ( m, n, t ) + ( m 2 + n 2 ) u ( m, n, t ) =

F

u ,u x ,u y

Nhân hai vế với e



( m + n )t , ta được

2



2



 ( m2 + n2 )t u m, n, t  = e( m2 + n2 )t F

 ( m, n, t ) .

(

)

e

u ,u x ,u y



t

Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [t , T ] , ta được



( m + n )s u m, n, s

e

(

)

2



2



s =T

s =t



T



= ∫e



( m +n )s F

 ( m, n, s ) ds

u ,u ,u

2



2



x



y



t



m +n s

( m + n )T u m, n, T − e( m + n )t u m, n, t =

e

(

)

(

) ∫ e( ) F

u ,u ,u ( m, n, s ) ds

2



2



2



T



2



2



2



x



y



t



m +n s

( m + n )T ϕ m, n − e( m + n )t u m, n, t =

e

( )

(

) ∫ e( ) F

u ,u ,u ( m, n, s ) ds

2



2



2



T



2



2



2



x



t



Footer Page 43 of 16.



41



y



Header Page 44 of 16.



( m + n )t u m, n, t e( m

e=

(

)

2



2



2



) ϕ m, n − e( m + n )s F

 ( m, n, s ) ds .

( ) ∫

u ,u ,u

T



+ n2 T



2



2



x



y



t



Từ đây, ta có



(m

=

u ( m, n, t ) e



2



)



+ n 2 (T −t )



(m

ϕ ( m, n ) − ∫ e

T



2



)



+ n 2 ( s −t )



 ( m, n, s ) ds .

F

u ,u x ,u y



t



3.3. Tính không chỉnh của bài toán (3.2)

Ta chú ý rằng trong (3.2), các nhân tử xấu là



e

Vì e



( s − t )( m 2 + n 2 )



( T − t )( m 2 + n 2 )



,e



( s − t )( m 2 + n 2 )



, 0


→ +∞ rất nhanh khi m và n → ∞ nên nghiệm của bài toán (3.2) không ổn



định. Ta xét một ví dụ với F ≡ 0 .

Thật vậy, với ϕ = 0 thì u ( m, n, t ) = 0 .

Đặt



B=

k



( k , +∞ ) × ( k , +∞ ) .



Lấy

0



k

ϕk ( m, n ) = e( t − T )( m2 + n2 )

3



( m + n)2





nÕu ( m, n ) ∉ Bk ,

nÕu ( m, n ) ∈ Bk .



Theo định lý Plancherel, ta có

2

ϕk − ϕ = ϕk − ϕ

+∞ +∞



=



∫

k



∫e



2



(



2( t −T ) m 2 + n 2



)



k



2

2 4 k ( t −T )



≤k e



+∞ +∞



= k e



(m + n)

1



∫ ∫ (m + n)

k



2

2 4 k ( t −T )



k2



+∞



∫

k



3



3



dmdn



dmdn



k



1

1 4 k 2 (t −T )

=

→ 0 khi k → +∞ , ∀t ∈ [0, T ) .

dn

ke

2

4

2(k + n)



Nghiệm ứng với dữ liệu đo



Footer Page 44 of 16.



42



Header Page 45 of 16.



nÕu ( m, n ) ∉ Bk ,



0



k

uk ( m, n, t ) = 

3



2

m

n

+

(

)





nÕu ( m, n ) ∈ Bk .



Ta có



u (.,., t ) − ui (.,., t )



2



+∞ +∞



=u (.,., t ) − uk (.,., t ) =∫

2



k



+∞



= k2 ∫

k



1

2(k + n)



dn

=



2



k2



∫ (m + n)



3



dmdn



k



1

k → +∞ khi k → +∞ .

4



Vậy nghiệm của bài toán (3.2) không ổn định nên bài toán (3.2) là không chỉnh.



3.4. Chỉnh hóa bài toán (3.2)

Để chỉnh hóa bài toán (3.2), ta sẽ dùng phương pháp cắt ngắn, phương pháp này sẽ

cho những kết quả về sự ổn định nghiệm và các đánh giá sai số mới hiệu quả hơn. Bây giờ,

ta phải thay các nhân tử trong (3.2) bằng một số các nhân tử thích hợp. Thật vậy, ta có thể

cắt ngắn các tần số cao m > cε và n > cε trong đó limε →0 cε = ∞ . Lấy α > 0 , 0 < ε < 1 , ta

chọn



1

1

α ln   .

2

ε 



(3.3)



Aε = [ −cε , cε ] × [ −cε , cε ] ,



(3.4)



cε =

Đặt



và



nÕu ( m, n ) ∈ Aε ,



1

0



χ Aε ( m, n ) = 



nÕu ( m, n ) ∉ Aε .



Ta sẽ xấp xỉ bài toán (3.2) bằng bài toán sau



( )



(



)



Bài toán Pϕ' . Với ϕ ∈ L2 R 2 , tìm u ε ∈ C [ 0, T ] ; H 1 ( R 2 ) thỏa

( T − t )( m 2 + n 2 ) 

uε ( m, n, t ) = χ Aε ( m, n ) e

ϕ ( m, n )

T



− χ Aε ( m, n ) ∫ e

t



hay



Footer Page 45 of 16.



43



( s − t )( m 2 + n 2 ) 



Fuε ,uε ,uε ( m, n, s ) ds

x



y



(3.5)



Header Page 46 of 16.



u ε ( x, y , t ) =



1

−

2π



1

2π



∫e



( T − t )( m 2 + n 2 ) 



ϕ ( m, n ) ei( mx + ny ) χ Aε ( m, n ) dmdn



R2



T



∫ ∫e



( s − t )( m 2 + n 2 ) 



Fuε ,uε ,uε ( m, n, s ) e (

x



R2 t



i mx + ny )



y



χ Aε ( m, n ) dsdmdn



(3.6)



( )



Chúng ta sẽ chứng minh tính chỉnh của bài toán Pϕ' , đánh giá sai số giữa nghiệm chính

xác và nghiệm xấp xỉ, từ dữ liệu đo đạc xây dựng một hàm số hội tụ về nghiệm chính xác



u ( x, y, t ) , (khi ε → 0 ).

3.4.1. Các kết quả chính

Đầu tiên ta sẽ tìm một số điều kiện của f sao cho (3.5) được xác định. Tích phân



(



)



trong vế phải của (3.5) được xác định đúng nếu Fu ,ux ,u y thuộc L∞ ( 0, T ) ; L2 ( R 2 ) . Thật vậy,

ta có

Bổ đề 1’. Lấy k > 0 , lấy f : R × R × [ 0, T ] × R × R × R → R là một hàm liên tục thỏa mãn

f ( x, y, z , u , v, w ) − f ( x, y, z , u ', v ', w ') ≤ k ( u − u ' + v − v ' + w − w ' ) ,



trong đó x, y, u , v, w, u ', v ', w ' ∈ R, z ∈ [ 0, T ] .

Nếu



(



)



(



)



F0,0,0 ∈ C [ 0, T ] , L2 ( R 2 ) , V , W1 , W2 ∈ C [ 0, T ] , L2 ( R 2 ) ,



(



)



thì FV ,W1 ,W2 ∈ L∞ ( 0, T ) , L2 ( R 2 ) .



(



)



Hơn nữa, với V , V1 ∈ C [ 0, T ] , H 1 ( R 2 ) , 0 ≤ t ≤ T , ta có



 (.,., t ) − F

 (.,., t ) ≤ 2k 2 V (.,., t ) − V (.,., t ) 2 .

F

1

V ,Vx ,V y

V1 ,V1 x ,V1 y

1

2



Chứng



minh.



Vì



FV ,W1 ,W2 ( x, y, t ) = f ( x, y, t ,V ( x, y, t ) ,W1 ( x, y , t ) ,W2 ( x, y , t ) )



F0,0,0 ( x, y, t ) = f ( x, y, t ,0,0,0 ) nên theo giả thiết với mỗi 0 ≤ t ≤ T , ta có



FV ,W1 ,W2 ( x, y, t ) − F0,0,0 ( x, y, t )

f ( x, y, t ,V ( x, y, t ) ,W1 ( x, y, t ) ,W2 ( x, y , t ) ) − f ( x, y , t ,0,0,0 )



(



)



≤ k V ( x, y, t ) − 0 + W1 ( x, y, t ) − 0 + W2 ( x, y, t ) − 0 .

Suy ra



Footer Page 46 of 16.



44



và



Header Page 47 of 16.



(



)



FV ,W1 ,W2 ( x, y, t ) ≤ F0,0,0 ( x, y, t ) + k V ( x, y , t ) + W1 ( x, y , t ) + W2 ( x, y , t ) .

Từ đây, ta có



FV ,W1 ,W2 (.,., t ) ≤ F0,0,0 (.,., t ) + k V (.,., t ) + k W1 (.,., t ) + k W2 (.,., t ) .

Suy ra

FV ,W1 ,W2 (.,., t ) ≤ sup F0,0,0 (.,., t ) + k sup V (.,., t ) + k sup W1 (.,., t ) + k sup W2 (.,., t ) .

0≤t ≤T



0≤t ≤T



0≤t ≤T



0≤t ≤T



Mặt khác, vì



(



(



)



)



F0,0,0 ∈ C [ 0, T ] , L2 ( R 2 ) , V , W1 , W2 ∈ C [ 0, T ] , L2 ( R 2 ) ,



(



)



nên FV ,W1 ,W2 ∈ L∞ ( 0, T ) , L2 ( R 2 ) . Bất đẳng thức cuối cùng của bổ đề 1’ có thể được chứng

minh bằng định lý Plancherel.



=

=



 (.,., t ) − F

 (.,., t )

F

V ,Vx ,V y

V1 ,V1 x ,V1 y



2



FV ,Vx ,Vy (.,., t ) − FV1 ,V1 x ,V1 y (.,., t )



2



∫



FV ,Vx ,Vy ( x, y, t ) − FV1 ,V1 x ,V1 y ( x, y, t ) dxdy

2



R2



(



≤ k 2 ∫ V ( x, y, t ) − V1 ( x, y, t ) + Vx ( x, y, t ) − V1x ( x, y , t )

R2



+ Vy ( x, y, t ) − V1 y ( x, y, t )



)



2



dxdy





2

2

= k 2  ∫ V ( x, y, t ) − V1 ( x, y, t ) dxdy + ∫ Vx ( x, y , t ) − V1x ( x, y , t ) dxdy

 2

R2

R



∫ V ( x, y , t ) − V ( x, y , t )



+



y



R



1y



2



dxdy



2



+ 2 ∫ V ( x, y, t ) − V1 ( x, y, t ) . Vx ( x, y, t ) − V1x ( x, y, t ) dxdy

R2



+ 2 ∫ V ( x, y, t ) − V1 ( x, y, t ) . Vy ( x, y, t ) − V1 y ( x, y, t ) dxdy

R2





+2 ∫ Vx ( x, y, t ) − V1x ( x, y, t ) . Vy ( x, y, t ) − V1 y ( x, y, t ) dxdy 



R2





Footer Page 47 of 16.



45



Header Page 48 of 16.



 V (.,., t ) − V (.,., t ) 2 + V (.,., t ) − V (.,., t ) 2 + V (.,., t ) − V (.,., t ) 2 

x

y

1

1x

1y









2

2

 +2 ∫ V ( x, y, t ) − V1 ( x, y, t ) dxdy . ∫ Vx ( x, y , t ) − V1x ( x, y , t ) dxdy 

R2

R2





2



≤k 

2

2

 +2 ∫ V ( x, y, t ) − V1 ( x, y, t ) dxdy . ∫ Vy ( x, y , t ) − V1 y ( x, y , t ) dxdy 





R2

R2





2

2

 +2

∫2 Vx ( x, y, t ) − V1x ( x, y, t ) dxdy . ∫2 Vy ( x, y, t ) − V1 y ( x, y, t ) dxdy 



R

R





( Bất đẳng thức Holder)



(



= k 2 V (.,., t ) − V1 (.,., t ) + Vx (.,., t ) − V1x (.,., t ) + Vy (.,., t ) − V1 y (.,., t )

2



2



2



+ 2 V (.,., t ) − V1 (.,., t ) . Vx (.,., t ) − V1x (.,., t )

+ 2 V (.,., t ) − V1 (.,., t ) . Vy (.,., t ) − V1 y (.,., t )

+ 2 Vx (.,., t ) − V1x (.,., t ) . Vy (.,., t ) − V1 y (.,., t )



(



)



≤ 2k 2 V (.,., t ) − V1 (.,., t ) + Vx (.,., t ) − V1x (.,., t ) + Vy (.,., t ) − V1 y (.,., t )

2



2



2



)



(Bất đẳng thức 2ab≤ a2 + b2)



= 2k 2 V (.,., t ) − V1 (.,., t ) 1 .

2





Bây giờ, ta sẽ đưa ra một số ước lượng được sử dụng trong những phần tiếp theo. Đặt

1

bε = 1 + α ln  

ε 



(3.7)



Ta có

Bổ đề 2’. Lấy 0 < ε < 1 , α > 0 và lấy 0 ≤ t ≤ s ≤ T . Ta có

e



( s − t )( m 2 + n 2 )



χ Aε ( m, n ) ≤ ε (t − s )α ,



và

1 + m2 + n2 e



( s − t )( m 2 + n 2 )



χ Aε ( m, n ) ≤ bε ε (t − s )α .



Chứng minh.

• Nếu ( m, n ) ∉ Aε thì χ Aε ( m, n ) = 0 nên bổ đề hiển nhiên đúng.

• Nếu ( m, n ) ∈ Aε thì χ Aε ( m, n ) = 1 , nên ta có

e

Footer Page 48 of 16.



( s − t )( m 2 + n 2 )



χ Aε ( p ) = e

46



( s − t )( m 2 + n 2 )



.



Header Page 49 of 16.



Vì −cε ≤ m, n ≤ cε nên 0 ≤ m 2 + n 2 ≤ 2cε 2 , suy ra e



( s − t )( m 2 + n 2 )



≤e



2( s −t )cε 2



.



Thay



cε =



1

1

α ln   ,

2

ε 



ta được



e



( s − t )( m 2 + n 2 )



≤e



1

1

2( s −t ) α ln

2

ε



hay



e



( s − t )( m 2 + n 2 )



≤ ε(



t − s )α



.



Tương tự, ta có 1 + m 2 + n 2 ≤ 1 + 2cε 2 , suy ra 1 + m 2 + n 2 ≤ bε .

Từ đây, suy ra

1 + m2 + n2 e



( s − t )( m 2 + n 2 )



χ Aε ( m, n ) ≤ 1 + m 2 + n 2 ε (t − s )α ≤ bε ε (t − s )α .



3.4.2. Tính chỉnh của bài toán







(P )

'



ϕ



( )



Để chứng minh tính chỉnh của bài toán Pϕ' , ta sẽ chia chứng minh thành hai bước.



( )



Bước 1. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Pϕ' . Thật vậy, ta

xét



( )



Định lý 3.4.1. Lấy 0 < ε < 1 , ϕ ∈ L2 R 2 và lấy f là hàm như trong bổ đề 1’. Khi đó bài



(



( )



)



toán Pϕ' có nghiệm duy nhất u ε ∈ C [ 0, T ] ; H 1 ( R 2 ) .



(



)



Chứng minh. Với w ∈ C [ 0, T ] ; H 1 ( R 2 ) , ta đặt



Q ( w )( x, y, t ) =



1

ψ ( x, y , t )

2π

1

−

2π



T



∫ ∫e



( s − t )( m 2 + n 2 ) 



Fw,wx ,wy ( m, n, s ) e (



i mx + ny )



χ Aε ( m, n ) dsdmdn ,



R2 t



trong đó



ψ ( x, y , t ) = ∫ e



( T − t )( m 2 + n 2 ) 



ϕ ( m, n ) ei( mx + ny ) χ Aε ( m, n ) dmdn .



R2



(



)



Trước hết ta chứng minh rằng Q ( w ) ∈ C [ 0, T ] ; H 1 ( R 2 ) . Thật vậy, ta có

(T −t ) m 2 + n 2



Q

( w ) ( m, n, t ) = χ Aε ( m, n ) e ( ) ϕ ( m, n )



Footer Page 49 of 16.



47



Header Page 50 of 16.

T



− χ Aε ( m, n ) ∫ e



( s − t )( m 2 + n 2 ) 



Fw,wx ,wy ( m, n, s )ds .



t



Sử dụng bổ đề 1’, ta có thể kiểm tra trực tiếp



(



)





Q

( w) ( m, n, t ) , mQ

( w) ( m, n, t ) , nQ

( w ) ( m, n, t ) ∈ C [0, T ]; L2 ( R 2 ) .

Do



đó,



theo



định



(



lý



Plancherel



(



Q ( w ) ∈ C [ 0, T ] ; H 1 ( R 2 )



thì



)



với



)



w ∈ C [ 0, T ] ; H 1 ( R 2 ) .



(



)



Với mỗi w, v ∈ C [ 0, T ] ; H 1 ( R 2 ) , ta sẽ chứng minh bằng quy nạp



Q



m



( v )(.,., t ) − Q ( w )(.,., t ) 1



2



m



2m (T − t ) k 2 m aεm

≤

||| v − w |||2 ,

( 2m − 1)!!

2m



1)!! 1.3... ( 2m − 1) và aε = bε ε −2Tα .

trong đó ( 2m −=

Thật vậy, với m = 1, ta có

Q ( v )(.,., t ) − Q ( w )(.,., t ) 1



2



= Q ( v )(.,., t ) − Q ( w )(.,., t ) + Qx ( v )(.,., t ) − Qx ( w )(.,., t )

2



2



+ Qy ( v )(.,., t ) − Qy ( w )(.,., t )



 ( w )(.,., t )

 ( v )(.,., t ) − Q

 ( w )(.,., t ) + Q

 ( v )(.,., t ) − Q

=Q

x

x

2



2



 ( v )(.,., t ) − Q

 ( w )(.,., t )

+ Q

y

y

=



∫



 ( v )( m, n, t ) − Q

 ( w )( m, n, t ) dmdn

Q

2



R2



 ( v )( m, n, t ) − Q

 ( w )( m, n, t ) dmdn

+∫ Q

x

x

2



R2



 ( v )( m, n, t ) − Q

 ( w )( m, n, t ) dmdn

+∫ Q

y

y

2



R2



=



2

2

∫ (1 + m + n ) Q ( v )( m, n, t ) − Q ( w)( m, n, t ) dmdn

2



R2



2



T



=



∫∫



R2 t



 ( m, n, s ) 

F

2

2

w , wx , wy

2

2 ( s − t )( m + n )

 ds dmdn .

1+ m + n e

χ Aε ( m, n ) 

 −F

 ( m, n, s ) 

 v ,vx ,v y





Footer Page 50 of 16.



48



2



2



(3.8)



mọi



Header Page 51 of 16.



Theo bổ đề 2’, do

1 + m2 + n2 e



( s − t )( m 2 + n 2 )



χ Aε ( m, n ) ≤ bε ε (t − s )α ,



nên ta có

Q ( v )(.,., t ) − Q ( w )(.,., t ) 1



2



≤ bε ε



2( t −T )α



∫ ∫(

T



)



R2 t



≤ bε ε



2( t −T )α



2



 ( m, n, s ) ds dmdn

 ( m, n, s ) − F

F

w, wx , wy

v ,vx ,v y



2

T 2 T 

 ( m, n, s ) ds  dmdn

−

ds

F

m

n

s

F

1

.

,

,

(

)



v ,vx ,v y

∫  ∫ ∫t w,wx ,wy



R2  t



(bất đẳng thức Holder)

T





=

(T − t ) bε ε

w, wx , wy ( m, n, s ) − Fv ,vx ,v y ( m, n, s ) dsdmdn

∫ ∫ F

2( t −T )α



2



R2 t



≤ (T − t ) bε ε



2( t −T )α



T



∫



 (.,., s ) − F

 (.,., s ) ds

F

w, wx , wy

v ,vx ,v y

2



t



≤ 2k (T − t ) bε ε

2



2( t −T )α



T



∫



w (.,., s ) − v (.,., s ) 1 ds

2



(theo bổ đề 1’)



t



w |||2 2k 2 (T − t ) aε ||| v − w |||2

≤ 2k 2 (T − t ) bε ε −2Tα ||| v − =

2



2



(vì bε ε



2( t −T )α



≤ bε ε −2Tα =

aε và w (.,., s ) − v (.,., s ) 1 ≤ ||| v − w |||2 ).

2



Suy ra (3.8) đúng với m = 1.

Giả sử (3.8) đúng với m = j , tức là



Q ( v )(.,., t ) − Q ( w )(.,., t )

j



2 j (T − t ) k 2 j aεj

||| v − w |||2 .

≤

( 2 j − 1)!!

2j



2



j



1



Ta sẽ chứng minh (3.8) đúng với m= j + 1 , sử dụng giả thiết quy nạp và thực hiện các bước

biến đổi tương tự như trên ta có

Q j +1 ( v )(.,., t ) − Q j +1 ( w )(.,., t )



2

1



= Q ( Q j ( v ) ) (.,., t ) − Q ( Q j ( w ) ) (.,., t )

≤ 2k (T − t ) bε ε

2



2( t −T )α



2

1



T



∫ Q ( v )(.,., s ) − Q ( w)(.,., s )

j



j



t



Footer Page 51 of 16.



49



2

1



ds



Header Page 52 of 16.



≤ 2k (T − t ) bε ε



2( t −T )α



2



2 j (T − s ) k 2 j aεj

2

∫t ( 2 j − 1)!! ||| v − w ||| ds (giả thiết quy nạp)

2j



T



2 j (T − s ) k 2 j aεj

2 t −T α

aε

||| v − w |||2 ds v× bε ε ( ) ≤ bε ε −2 Tα =

≤ 2k (T − t ) aε ∫

2

1

!!

j

−

(

)

t

2j



T



(



2



2 j +1 (T − t ) k ( ) aεj +1

||| v − w |||2

=

( 2 j − 1)!!

2 j +1



)



T



∫ (T − s )



2j



ds



t



2 j +1 (T − t ) k ( ) aεj +1

(T − t )

||| v − w |||2 .

( 2 j − 1)!!

( 2 j + 1)



2 j +1



2 j +1



2( j +1)



2 j +1 (T − t )

k (

( 2 j + 1)!!



2 j +1)



aεj +1



||| v − w |||2 .



Suy ra (3.8) đúng với m= j + 1 .

Lấy sup hai vế của (3.8) theo t , ta được



2m T 2 m k 2 m aεm

||| Q ( v ) − Q ( w ) ||| ≤

||| v − w |||2 ,

( 2m − 1)!!

m



m



2



hay

||| Q



m



( v ) − Q ( w ) ||| ≤ T

m



m



k



m



2m aεm

||| v − w ||| .

( 2m − 1)!!



(3.9)



Vì

lim T m k m



m →∞



2m aεm

= 0,

( 2m − 1)!!



nên từ (3.9) suy ra với mỗi ε cố định sẽ tồn tại một số m0 đủ lớn nguyên dương sao cho



)



(



Q m0 là ánh xạ co ngặt trong C [ 0, T ] ; H 1 ( R 2 ) .



(



)



Suy ra phương trình Q m0 ( w ) = w có một nghiệm duy nhất u ε ∈ C [ 0, T ] ; H 1 ( R 2 ) , tức là



Q m0 ( u ε ) = u ε .



( )



Mặt khác, ta chứng minh Q u ε = u ε .

Thật vậy, ta có



(



)



(



)



m0 +1

m0

Q m0=

Q ( u ε ) Q=

( uε ) Q Q=

( uε ) Q ( uε ) .



( )



Từ đây, do tính duy nhất nghiệm của phương trình Q m0 ( w ) = w suy ra Q u ε = u ε .

Footer Page 52 of 16.



50



Header Page 53 of 16.



Vậy bước 1 đã được chứng minh.







( )



Bước 2. Để có được một kết quả ổn định cho nghiệm của bài toán Pϕ' , ta xét



( )



Định lý 3.4.2. Lấy 0 < ε < 1 , ϕ , g ∈ L2 R 2 và lấy f là hàm như trong bổ đề 1’. Nếu



(



)



( ) ( )



u , v ∈ C [ 0, T ] ; H 1 ( R 2 ) tương ứng là các nghiệm của bài toán Pϕ' , Pg' thì



||| u − v |||≤ 2bε e 2 k T ε

2 2



(



−α T 1+ 2 k 2T



) ϕ−g .



Chứng minh. Từ (3.5) và (3.6), ta có

u (.,., t ) − v (.,., t ) 1 = u (.,., t ) − v (.,., t ) + u x (.,., t ) − vx (.,., t ) + u y (.,., t ) − v y (.,., t )

2



2



2



= u (., t ) − v (., t ) + ux (., t ) − vx (., t ) + uy (., t ) − vy (., t )

2



2



2



2



≤ K1 + K 2 ,

trong đó



K1= 2 ∫ (1 + m 2 + n 2 ) e

R



R



2



(



χ Aε ( m, n ) ϕ ( m, n ) − g ( m, n )



2



K 2= 2 ∫ (1 + m + n

2



( T − t )( m 2 + n 2 )



T



2



) ∫e



( s − t )( m 2 + n 2 )



)



2



dmdn ,



(



)



2



 ( m, n, s ) − F

 ( m, n, s ) ds dmdn .

χ Aε ( m, n ) F

u ,u x ,u y

v ,vx ,v y



t



Thật vậy, ta có



u (.,., t ) − v (.,., t ) =

2



∫



u ( m, n, t ) − v ( m, n, t ) dmdn ,

2



R2



và



ux (.,., t ) − vx (.,., t ) + uy (.,., t ) − vy (.,., t )

2



=



∫



ux ( m, n, t ) − vx ( m, n, t ) dmdn +



∫



im u ( m, n, t ) − v ( m, n, t )



2



R2



=



R



∫



2



uy ( m, n, t ) − vy ( m, n, t ) dmdn

2



R2



(



2



)



2



dmdn +



∫

R



(



in u ( m, n, t ) − v ( m, n, t )



2



)



2



dmdn



2

2

=+

∫ ( m n ) u ( m, n, t ) − v ( m, n, t ) dmdn .

2



R2



Suy ra



u (.,., t ) − v (.,., t ) + ux (.,., t ) − vx (.,., t ) + uy (.,., t ) − vy (.,., t )

2



2



Footer Page 53 of 16.



51



2