§3: Các định lý xác suất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (337.33 KB, 31 trang )
Bài giải
các toa đều có người lên
• Α - có ít nhất 1 toa không có người lên.
n
• Ai - toa thứ i không có người lên, i =1, 2,…n⇒ Α = ∑ Ai
•
A - tất cả
i =1
( )
⇒Ρ Α =C
+... + ( −1)
n
1
n
( n − 1)
n
k
k
−C
2
n
( n − 2)
n
k
k
+C
3
n
( n − 3)
k
nk
1k n −1
.Cn + 0
k
n
( )
⇒ Ρ ( Α) = 1− Ρ Α
14
Ví dụ 3.2: Có n bức thư bỏ ngẫu nhiên vào n phong bì có đề sẵn
địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất 1 bức thư đúng địa chỉ.
Bài giải
A - Có ít nhất 1 bức đúng.
n
⇒ A = ∑ Ai
Αi - Bức thứ i đúng
⇒ Ρ ( Α) = C
1
n
( n − 1) !
n!
i =1
−C
2
n
( n − 2) !
n!
n 1!
n +1 1
n −1
+... + ( −1)
.Cn + ( −1) .
n!
n!
1 1 1
n +1 1
= 1 − + − + ... + ( −1) .
2! 3! 4!
n!
+C
3
n
( n − 3) !
n!
15
2. Định lý nhân xác suất
• Định nghĩa 3.2: Xác suất của biến cố B khi biết rằng biến cố
A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí
hiệu là P(B/A).
• Chú ý: biến cố A có thể xảy ra trước, đồng thời hoặc sau B
• Ngôn ngữ biểu diễn: P(B/A) = xác suất B biết (nếu)A hoặc
Cho A… tính xác suất B.
• Định lý 3.2: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)
Ρ ( Α1 , Α2 ...Α n ) = Ρ ( Α1 ) .Ρ ( Α 2 / Α1 ) .Ρ ( Α3 / Α1 Α 2 ) ...Ρ ( Α n / Α1Α 2 ...Α n−1 )
• Hệ quả:
Ρ ( Β / Α) =
Ρ ( ΑΒ )
Ρ ( Α)
=
Ρ ( Β ) .Ρ ( Α / Β )
Ρ ( Α)
16
HÌNH 3.1
17
• Định nghĩa 3.3: Hai biến cố A,B được gọi là độc lập với nhau
nếu xác suất của biến cố này không thuộc vào việc biến có
kia đã xảy ra hay chưa trong 1 phép thử.
• Định nghĩa 3.4: Một hệ các biến cố được gọi là độc lập toàn
phần nếu mỗi biến cố của hệ độc lập với 1 tổ hợp bất kỳ của
các biến cố còn lại.
• Định lý 3.3: A, B độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)
• Giả sử Αi , i = 1, n là độc lập toàn phần. Khi ấy ta có:
n
n
i =1
i =1
1.Ρ (Π Ai ) = Π Ρ ( Α i )
n
n
i =1
i =1
(
2.Ρ ( Σ Ai ) = 1 − Π Ρ Α i
)
18
Chú ý: Trong trường hợp độc lập không nên dùng công thức
cộng xác suất mà nên dùng công thức nhân xác suất.
• Ví dụ 3.3: 1 mạng gồm n chi tiết mắc nối tiếp.Xác suất
Pi i là
hỏng của chi tiết thứ
. Tính xác suất để mạng hỏng.
n
• Giải: Αi - biến cố chi tiết thứ i hỏng
⇒Α=
Αi
A - biến cố mạng hỏng
i=1
• Vậy xác suất để mạng hỏng là:
∑
n
n
Ρ ( Α ) = Ρ ∑ Αi ÷ = 1 − Π Ρ Αi = 1 − ( 1 − Ρ1 ) ( 1 − Ρ 2 ) ... ( 1 − Ρ n )
i =1
i =1
( )
19
Ví dụ 3.4: Tung 3 xúc xắc. Tính xác suất để:
•
•
1.
1. Tổng số chấm bằng 9 biết có ít nhất 1 mặt 1 chấm
2. Có ít nhất 1 mặt 1 chấm biết số chấm khác nhau
từng đôi một.
Giải:
Gọi A là có ít nhất 1 mặt 1 chấm.
B là tổng số chấm bằng 9
C là các số chấm khác nhau từng đôi một
63 − 53
3
Ρ
ΑΒ
Ρ ( Α) =
(
)
15
6
15
3
6
⇒ Ρ ( Β / Α) =
= 3. 3 3 =
Ρ ( Α ) 6 6 − 5 91
15
Ρ ( ΑΒ ) = 3
6
20
