2 Vấn đề sinh số nguyên tố lớn

12

Nhắc lại, một số nguyên dương p > 1 được gọi là một số nguyên tố nếu

p không chia hết cho số nguyên dương nào ngoài 1 và p. Ngược lại, số p

được gọi là hợp số.

Ta ký hiệu π(n) là số các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n, và gọi nó

là hàm phân phối của các số nguyên tố.

Ví dụ 1.2.1. π(10) = 4 vì có bốn số nguyên tố nhỏ hơn 10 là 2, 3, 5, 7.

Ta có định lý sau đây về ước lượng xấp xỉ hàm số học π(·):

Định lí 1.2.2. Ta có

π(n)

= 1.

n→∞ n/ ln n

lim



Nói cách khác, giá trị π(n) xấp xỉ bằng n/ ln n khi n vô cùng lớn.

Ví dụ 1.2.3. Với n = 109 , ta có

π(n) = 50847534



và



n/ ln n = 48254942.



Sai số ở đây là 6%.

Vậy ta lấy ngẫu nhiên một số nguyên dương k bit, xác suất để số này

là số nguyên tố bằng 1/ ln 2k . Vậy về trung bình, ta cần ln 2k lần thử để lấy

được một số nguyên tố k bit.

Ví dụ 1.2.4. Nếu k = 3072 thì trung bình lấy ngẫu nhiên ln 23072 ≈ 2130

số, ta sẽ có được một số nguyên tố k bit.

Từ phân tích ở trên, về trung bình thuật toán ngẫu nhiên dưới đây sẽ

dừng sau 2130 bước lặp.

Thuật toán sinh số nguyên tố.



13

Bước 1. Chọn ngẫu nhiên một số nhị phân p độ dài 3072 bit.

Bước 2. Đặt cả hai bit cao nhất và bit thấp nhất của p là 1.

Bước 3. Kiểm tra xem p có là số nguyên tố hay không.

Bước 4. Nếu có thì in ra số nguyên tố p. Còn không thì quay lại Bước 1.

Trong Bước 2 của thuật toán.

• ta thêm bit thấp nhất của p là 1 để đảm bảo rằng p là số lẻ;

• và ta thêm bit cao nhất của p là 1 để đảm bảo rằng số p sinh ra thỏa

mãn

23072−1 < p ≤ 23072 − 1,

điều này cần thiết vì để đảm bảo an toàn cho thuật toán RSA thì các số

nguyên tố sinh ra phải đủ lớn.



14



Chương 2



Một số loại số giả nguyên tố

2.1

2.1.1



Số giả nguyên tố

Khái niệm



Bây giờ ta sẽ trình bày khái niệm về các số giả nguyên tố. Theo định lý

Fermat, nếu n là số nguyên tố và b là số nguyên tuỳ ý, thì bn ≡ b (mod n).

Do đó nếu tồn tại số b sao cho bn ≡ b (mod n) thì n phải là hợp số. Trong

nhiều ứng dụng, chúng ta lại cần đến các thuật toán để chỉ ra một số n là số

nguyên tố. Trong trường hợp này, ta không thể dùng Định lý Fermat nhỏ,

vì định lý ngược của nó không đúng. Tuy nhiên, nếu một số nguyên thoả

mãn các giả thiết của Định lý Fermat nhỏ thì “có nhiều khả năng” nó là

một số nguyên tố ! Ta có định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử b là một số nguyên dương. Nếu n là hợp số

nguyên dương và bn ≡ b (mod n) thì n được gọi là số giả nguyên tố cơ sở

b.

Trong trường hợp (n, b) = 1, ta thường dùng định nghĩa tương đương,

là

bn−1 ≡ 1 (mod n).

Trường hợp này, n được gọi là một số giả nguyên tố Fermat.



15

Ví dụ 2.1.2. Số nguyên 561 = 3 · 11 · 17 là số giả nguyên tố cơ sở 2. Thật

vậy, áp dụng Định lý Fermat nhỏ, ta có

2560 = (22 )280 ≡ 1 (mod 3),

2560 = (210 )56 ≡ 1 (mod 11),

2560 = (216 )35 ≡ 1 (mod 17).

Từ đó suy ra 2560 ≡ 1 (mod 561).

Nói chung các số giả nguyên tố ít hơn nhiều so với các số nguyên tố.

Chẳng hạn, có tất cả 455052512 số nguyên tố bé hơn 1010 nhưng chỉ có

14884 số giả nguyên tố cơ sở trong khoảng đó. Sự kiện này giải thích cách

nói ở trên: Các số thoả mãn Định lý Fermat nhỏ có nhiều khả năng là số

nguyên tố. Tuy nhiên đối với mọi cơ sở tuỳ ý, số các số giả nguyên tố là vô

hạn. Chẳng hạn, ta chứng minh điều đó đối với cơ sở 2.

Định lí 2.1.3. Có vô số số giả nguyên tố cơ sở 2.

Chứng minh. Giả sử n là một số giả nguyên tố cơ sở 2, ta sẽ chứng tỏ rằng

m = 2n − 1 cũng là số giả nguyên tố cơ sở 2. Theo giả thiết, n là hợp số,

chẳng hạn n = dt với 1 < d, t < n, và 2n−1 ≡ 1 (mod n). Dễ thấy rằng m

là hợp số, vì (2d − 1) | (2n − 1). Do n là giả nguyên tố, 2n ≡ 2 (mod n)

n −2



tức là tồn tại k sao cho 2n − 2 = kn. Ta có 2m−1 = 22



= 2kn , và do đó,



m = (2n − 1) | (2nk − 1) = 2m−1 − 1, tức là 2m−1 ≡ 1 (mod m). Vậy số m là

giả nguyên tố cơ sở 2.

Như vậy, để kiểm tra một số có phải là số nguyên tố hay không, trước

tiên ta xem nó có là giả nguyên tố cơ sở 2 hay không, sau đó có thể tiếp tục

kiểm tra đối với các cơ sở khác. Tuy nhiên, tồn tại các số giả nguyên tố với

mọi cơ sở, đó là các số Carmichael. Ta sẽ xem xét nó ngay ở mục sau đây.