4 Số giả nguyên tố Catalan

34

Trước hết ta sẽ thảo luận về một số kết quả về số nguyên tố., để giúp

ích choviệc nghiên cứu các số Catalan.

Một tiêu chuẩn kiểm tra tính nguyên tố là Định lý Wilson, được phát

biểu như sau:

Định lí 2.4.1 (Wilson). Số tự nhiên p là số nguyên tố khi và chỉ khi

(p − 1)! ≡ −1 (mod p).

Trong một số tài liệu, nó được dùng để chứng minh Định lý Fermat

nhỏ, mà một trường hợp cụ thể là:

Định lí 2.4.2. Nếu p là một số nguyên tố thì 2 p ≡ 2 (mod p).

Mặc dù Định lý 2.4.2 là công cụ kiểm tra tính nguyên tố cơ bản và

hữu ích, nhưng điều ngược lại không đúng, chẳng hạn, 2341 ≡ 2 (mod 341)

nhưng 341 không là số nguyên tố. Theo cách tương tự, ta có.

Định lí 2.4.3. Nếu p là số nguyên tố lẻ thì

(−1)



p−1

2



·C p−1 ≡ 2 (mod p).

2



Phép chứng minh của Định lý 2.4.3 được trình bày trong C. Aebi, G.

Cairns [5]. Giống như Định lí 2.4.2, Định lí 2.4.3 là điều kiện cần để số p

là số nguyên tố, và giống như Định lí 2.4.2, ngược lại của nó không đúng;

ví dụ C2953 ≡ −2 (mod 5907) nhưng 5907 không là số nguyên tố. Ta sẽ

gọi những hợp số như thế này là số giả nguyên tố Catalan. Ta có mệnh đề

sau đây.

Mệnh đề 2.4.4. Nếu p là một số nguyên tố lẻ thì các số sau đồng dư nhau

theo modulo p2 :



35

(a)



1

2 ·C p2 −1 ;

2



(b) (−1)



p−1

2



·



p−1

p−1

2



;



(c) 2 p − 1;

2



(d) 2 p − 1;

1

, trong đó

(e) 1 + 2p 1 + 31 + 15 + · · · p−2



1

i



là ký hiệu cho nghịch đảo



của i theo modulo p.

Chứng minh. Phép chứng minh rất dài, có thể tham khảo trong C. Aebi, G.

Cairns [5] (và các tài liệu trích dẫn trong đó).

Nhắc lại rằng nếu p là số nguyên tố và 2 p ≡ 2 (mod p2 ) thì p là một

số nguyên tố Wiferich. Cho đến nay, chỉ có hai số 1093 và 3511 là hai

số nguyên tố Wiferich được tìm ra, không có số nguyên tố Wiferich nào

khác mà nhỏ hơn 1.25 × 1025 (xem . Knauer, J. Richstein [6]), nhưng hiện

tại chúng ta vẫn chưa biết liệu có có hữu hạn hay vô hạn số nguyên tố

Wiferich. Năm 1990 Wiferich chứng minh rằng nếu phương trình Fermat

x p + y p = z p có nghiệm với số nguyên tố lẻ p không là ước của xyz, thì số

nguyên tố p như vậy nhỏ nhất là một số nguyên tố Wiferich (xem trong P.

Ribenboim [7]).

Cuối cùng, như một lưu ý, mệnh đề trên có hệ quả sau:

Hệ quả 2.4.5. Nếu p là một số nguyên tố, thì các kết quả sau là tương

đương:

(a) p là một số nguyên tố Wiferich.

(b) p2 là một số giả nguyên tố.



36

(c) p2 là một số giả nguyên tố Catalan.

Do đó 1194649 = 10932 và 12327121 = 35112 là các ví dụ của số giả

nguyên tố Catalan. Số giả nguyên tố Catalan ít hơn nhiều so với số giả

nguyên tố.

5907,10932 và 35112 là các số giả nguyên tố Catalan duy nhất mà

chúng ta biết tới hiện nay.



37



Kết luận và kiến nghị

1



Những kết quả đã đạt được



Luận văn “Số giả nguyên tố và ứng dụng” đã đạt được các kết quả sau:

1. Thảo luận sơ lược về cơ sở toán học của lý thuyết mật mã khoá công

khai và độ phức tạp của việc sinh số nguyên tố lớn.

2. Trình bày các kiến thức rất cơ sở và quan trọng về một số loại số giả

nguyên tố, bao gồm

• số giả nguyên tố Fermat,

• số giả nguyên tố mạnh,

• số giả nguyên tố Euler,

• số giả nguyên tố Catalan.



2



Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo



Sau những kết quả đã đạt được trong luận văn, có một số vấn đề có thể

được tiếp tục nghiên cứu, chẳng hạn các ứng dụng sâu hơn nữa của số giả

nguyên tố trong lý thuyết mật mã.



38



Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại

học Quốc gia Hà Nội.

[2] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục.

[3] Hà Huy Khoái (2015), Sinh số nguyên tố lớn, Hàm băm, Chữ ký số. Đề

tài nghiên cứu khoa học “Chữ ký số”, Trường Đại học Thăng Long.



Tiếng Anh

[4] W.R. Alford, A. Granville, C. Pomerance (1994), “There are infinitely

many Carmichael numbers”, Annals of Mathematics 139, pp. 703-722

[5] C. Aebi, G. Cairns (2016), “Catalan numbers, primes and twin primes”,

Preprint.

[6] J. Knauer, J. Richstein (2005), “The continuing search for Wieferich

primes”, Mathematics of Computation 74, pp. 1559-1563.

[7] P. Ribenboim (1979), 13 lectures on Fermat’s Last Theorem, SpringerVerlag, New York.

[8] R.M. Solovay, V. Strassen (1977), “A fast Monte-Carlo test for primality”, SIAM Journal on Computing 6, pp. 84-85.