Cho hàm số fx = Xác định f0 để hàm số fx = Giải thích vì sao hàm số fx = Cho hàm số y = Giả sử hàm số f liên tục tại a, chứng minh |fx| cũng liên tục tại a. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Giả sử f có đạo hàm tại x , chứng minh rằng Xét tại

175

1. Cho hàm số fx =

 
 
= ≠
1 sin
x khi
k x
khi x
x .
Cần sửa lại thế nào để f liên tục tại x = 0.

2. Xác định f0 để hàm số fx =

x x
x 1
ln 1
ln −
− +
liên tục tại x = 0.

3. Giải thích vì sao hàm số fx =

3 sin
2 sin
cos 3
+ +
+ x
x x
x x
liên tục trên R.

4. Cho hàm số y =

 
 
 ≥
− +
− ≤
− 2
cos 2
2 sin
2 sin
2 π
π π
π x
khi x
x khi
B x
A x
khi x
.
Tìm giá trị của A, B để hàm số liên tục trên R. 5. Chứng minh rằng hàm số
arctan
= E.r
gián đoạn tại x = 3.
6. Giả sử hàm số f liên tục tại a, chứng minh |fx| cũng liên tục tại a.

2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

A. BÀI TẬP VỀ ĐẠO HÀM 1. Chứng minh rằng nếu f có đạo hàm tại x = a thì

a x
x af
a xf
a x
− −
→
lim = fa – af ’a.

2. Giả sử f có đạo hàm tại x , chứng minh rằng

h h
x f
h x
f
h
2 lim
− −
+
→
=f ’x .

3. Xét tại x = 0 tính liên tục và tính khả vi của hàm số fx =

 
 
= ≠
1 arctan
x khi
x khi
x x
.

4. Hàm cầu của một sản phẩm là

10 _ ; P là giá bán một đơn vị sản phẩm, Q là sản lượng.
Tìm giá bán cận biên tại Q = 5 và cho biết ý nghĩa kinh tế. 5. Cho hàm tổng chi phí sản suất
ƒ2_ 0,0001_
r
0,02_ 5_ 100. Tìm hàm MC chi
phí cận biên, tiếng Anh:Marginal Cost; nếu Q = 50 thì MC là bao nhiêu? Giải thích ý nghĩa kinh tế. 6. Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là
_ 1000 14. Xác định hàm doanh thu. Tìm doanh thu cận biên khi P = 40.
7. Dùng bảng đạo hàm và các định lý, tìm các đạo hàm cấp 1 của mỗi hàm sau:
1 √ 1 √
Z ln k 1 sin
1 cos l [
1 arctan
2 ´
E
:
½ arccoscos t2½
E
2
E
ln
8
d arcsin
E

8. Ứng dụng Quy tắc L’Hospital để tìm các giới hạn sau đây

a 
 
 
 +
−
+∞ →
x x
x
1 1
ln arctan
2 lim
π b
x x
x
cos 2
2 lim
−
− →
π
π
c
2cos 2
lim tan
x x
x
−
π →
176 d
[ ]
x x
x
ln arctan
2 lim
−
+∞ →
π e
 
 
 
− −
→
x x
x
x
ln 1
1 lim
1
f x
x
x
sin ln
2 sin
ln lim
→
b x
x e
e
x x
x
cos sin
lim
− →
− h
1 ln
ln lim
1
−
+ →
x x
x
i 
 
 
 −
− −
→ n
m x
x n
x m
1 1
lim
1
m, n
∈N. j
lim
E’? K
pÂ
.K
¯pÂ
ˆ=,E
q
Ä
k lim
E?
ê
E  E
l lim
E?
;
E E
ă :
m lim
E?
ẵ
E
ă
n lim
E’,∞ B
arctan
E
Dùng quy tắc L’Hospital để tìm giới hạn trong bài tập ở buổi trước, nếu có thể
9. Giải thích vì sao khi tính các giới hạn sau khơng dùng được quy tắc L’Hospital rồi tìm chúng bằng cách khác
a x
x x
x
x
sin sin
lim +
−
+∞ →
b
2
sin1 lim
sin
x
x x
x
→
c x
x x
x
cos lim
+
+∞ →
d x
x x
x
cot sin
lim +
→
e x
x
x 2
1 lim
+
+∞ →
.
B. BÀI TẬP VỀ VI PHÂN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI 1. Tìm biểu thức vi phân của các hàm số: