CÁC ẢNH HƯỞNG DO TÍNH PHI TUYẾN CỦA

Hình 2.1 Đường cong chuyển đổi điện áp xấp xỉ đường thẳng

Số hạng đầu tiên là hệ số dòng một chiều. Số hạng thứ hai là hệ số

tuyến tính mong muốn, do đó a1 là hệ số khuếch đại tuyến tính. Các số hạng

khác thể hiện độ cong của đường cong khuếch đại, và chúng tạo ra các

thành phần không mong muốn ở các tần số khác. Nếu chỉ có một tín hiệu

đầu vào thì các thành phần tín hiệu không mong muốn sẽ là các hàm điều

hoà cơ bản. Nhưng nếu có nhiều tín hiệu vào vin thì các tín hiệu sẽ được tạo

ra với các tần số là các tổ hợp toán học của các tần số của các tín hiệu đầu

vào. Được gọi là các sản phẩm điều chế tương hỗ. Sau đây ta nghiên cứu

kết quả khi có hai tín hiệu đầu vào (mặc dù cuối cùng chúng ta cũng sẽ

quan tâm đến tín hiệu có cường độ lớn). Điều đó cho thấy sự hình thành

của các hài cũng như các sản phẩm điều chế tương hỗ.

Đầu vào :

Trong đó

và



vin = Acosϕ a (t ) + Bcosϕ b (t )



(2.2)



ϕ a = ϕ a (t ) = ω a t + θ a



(2.3)



ϕ b = ϕ b (t ) = ω b t + θ b



(2.4)



2.1.2 Các số hạng bậc 2

2

Các số hạng bậc chẵn có nguồn gốc từ hệ số bậc 2, tức là sinh ra từ vin .

2

Kết hợp số hạng a2vin trong biểu thức (2.1) và biểu thức (2.2) ta có:



29



2

a2 vin = a2 [Acosϕ a + Bcosϕ b ]2



= a2 [A 2cos 2ϕ a + 2 ABcosϕ a cosϕ b + B 2cos 2ϕ b ]



(2.5)

A2

B2

[1+cos2ϕ a ]+AB{cos[ϕ a − ϕ b ]+cos[ϕ a − ϕ b ]}+ [1+cos2ϕ b ]}

2

2

2

2

2

2

A +B

A

B

=a 2 (

+

cos2ϕ a +

cos2ϕ b + AB{cos[ϕ a − ϕ b ]+cos[ϕ a − ϕ b ]})

2

2

2

= a 2{



Số hạng thứ nhất trong biểu thức 2.5 là hệ số dòng một chiều, về bản

chất nó là sự tách sóng. Còn các số hạng thứ 2 và thứ 3 là hài bậc 2 của hai

tín hiệu được chỉ ra ở d và f ở hình 2.2. Ở trong hình này thì các tín hiệu cơ

bản ở a và b. Các số hạng cuối cùng có các tần số là tổng và hiệu của hai

tần số tín hiệu đầu vào được chỉ ra ở c và e. Hai số hạng cuối cùng là các

điều chế tương hỗ. Khi biên độ của các tín hiệu vào bằng nhau, thì chúng

lớn hơn các hài 6 dB.



Hình 2.2 Phổ của sản phẩm bậc 2 từ 2 tín hiệu biên độ bằng nhau

a. Điểm chắn

Ta có thể vẽ (Hình 2.3) công suất của các tín hiệu không mong muốn

cùng với công suất của tín hiệu mong muốn trên cùng một hình, tất cả so

với công suất của mỗi tín hiệu đầu vào. Ở các mức tín hiệu thấp, tất cả các



30



đường cong này là đường thẳng. Khi mức tín hiệu vào mà càng lớn thì các

sản phẩm bậc 2 tăng gấp đôi nhanh như thành phần mong muốn, các đường

thẳng cắt nhau.



Hình 2.3 Công suất ra của tín hiệu cơ bản và sản phẩm bậc 2

hai tín hiệu vào có công suất bằng nhau

Ở điểm cắt nhau hoặc là điều chế tương hỗ hoặc là hài, thành phần

cơ bản, sản phẩm bậc 2 có công suất ra bằng nhau. Độ dốc của các đường

thẳng này đã biết, điểm cắt của các đường này được gọi là các điểm chắn

(IP), xác định các sản phẩm bậc 2 ở mức thấp. Công suất ra của điểm giao

nhau của đường cong IM bậc 2 và đường cong cơ bản được gọi là điểm

chắn IM bậc 2 đầu ra được ký hiệu là OIP2 IM. Công suất vào ở điểm mà

đường cong hài bậc 2 cắt đường cơ bản được gọi là IIP2 H. Vì rằng một IP

nằm trên đường cong đáp ứng tuyến tính. Đặc trưng là độ lớn hơn của các

điểm chắn đầu vào hoặc đầu ra được thể hiện rõ, nên các bộ khuếch đại sử

dụng OIPs và các bộ trộn sử dụng IIPs. Công suất của hai tín hiệu cơ bản

có thể bổ xung bằng các hài bậc chẵn, làm tăng giá trị của IP lên 3dB.



31



Như hình 2.3 nếu một đầu ra thấp hơn x dB so với IP hài bậc 2, hài

bậc 2 của nó sẽ thấp hơn 2x dB so với IP. Tương tự nếu 2 tín hiệu có biên

độ bằng nhau thì sẽ thấp hơn x dB so với điểm chắn IM bậc 2, các IM của

chúng sẽ thấp hơn 2x dB so với IP. Điều này thể hiện rằng sự khác nhau

giữa hai tín hiệu cơ bản có biên độ bằng nhau và các hài của nó hoặc các

IM tương tự như sự khác nhau giữa các tín hiệu cơ bản và IP tương ứng.

Nói cách khác mức tín hiệu phải nằm giữa mức IP và mức IM hoặc hài

tương ứng.

Ví dụ 2.1: Hài bậc 2 (Hình 2.4)



s

Hình 2.4 Ví dụ 2.1

IP hài bậc 2 đầu ra (OIP2H) là 17 dB và công suất tín hiệu đầu ra là –

8 dBm thấp hơn 25 dB so với điểm chắn. Vì vậy hài bậc 2 nhỏ hơn 25 dB

so với công suất ra bằng -33 dB nhỏ hơn 2x25 dB= 50 dB so với điểm

chắn. Chúng ta đã biết, công suất tín hiệu vào khác 25 dB so với IIP2 H, nên

hài thấp hơn 25 dB so với công suất tín hiệu đầu ra.

Nếu biên độ của một tín hiệu vào thay đổi, từ biểu thức (2.5) hài của

tín hiệu sẽ thay đổi gấp đôi so với mức thay đổi ở đầu vào nhưng hài khác

32



sẽ không bị ảnh hưởng. Biên độ của IM thay đổi do biên độ của 2 tín hiệu

đầu vào thay đổi. Nên nếu chỉ một tín hiệu cơ bản thay đổi , thì IM sẽ thay

đổi mức tương ứng (Xem hình 2.5)



Hình 2.5 Phổ của sản phẩm bậc 2 của 2 tín hiệu không bằng nhau

b. Biểu diễn toán học:

Bây giờ ta sẽ biểu diễn toán học hoá như đã từng mô tả, dựa trên

biểu thức (2.5). Công suất đầu ra hài bậc 2 Pout , H 2 quan hệ với công suất đầu

ra tín hiệu cơ bản Pout , F và điểm cắt đầu ra hài bậc 2 OIP2H như sau:

pout , H 2 =



2

pout , F



pOIP 2, H



(2.6)



Công suất đầu ra Pout , IM 2 với mọi IM bậc 2 quan hệ với các công suất

2 tín hiệu cơ bản đầu ra Pout , F 1 , Pout , F 2 và điểm cắt IM bậc 2 như sau:

pout , IM 2 =



pout , F 1 pout , F 2

pOIP 2, IM



(2.7)



Ở đây F1 biểu diễn tín hiệu cơ bản a hoặc b trong hình 2.2 và 2.5, F2

là tín hiệu cơ bản còn lại.

Tỷ số giữa hài bậc 2 của tín hiệu cơ bản F và tín hiệu cơ bản ở đầu ra

có thể tính được bằng cách chia biểu thức (2.7) cho Pout , F .



33



pout , H 2

pout , F



=



pout , F



(2.8)



pOIP , H



Tỷ số giữa IM bậc 2 với công suất đầu ra của tín hiệu cơ bản thứ nhất

tương tự ta có thể tính được bằng cách chia biểu thức (2.7) cho công suất

đầu ra tín hiệu cơ bản:

pout , IM 2

pout , F 1



=



pout , F 2

pOIP , IM



(2.9)



Tất cả các biểu diễn này có thể quan hệ đến các tham số đầu vào

tương ứng bằng cách chia các biến cho hệ số khuếch đại tín hiệu cơ bản, ví

dụ:

pin , IM 2

pin , F 1



=



pin , F 2

pIIP , IM



(2.10)



Các biến ở đây là: Mức công suất đầu vào tương ứng với IM bậc 2,

công suất đầu vào của tín hiệu cơ bản 1 và 2, Pin , F1 , Pin , F 2 . Và điểm cắt đầu

vào với IM bậc 2 , PIIP 2, IM . Công suất đầu vào tương đương với một hài

hoặc IM là công suất đầu ra mà được tạo ra để tín hiệu của nó được khuếch

đại tuyến tính từ công suất đầu vào hơn là tạo ra bên trong module.

Các biểu thức này có thể được viết dưới dạng dB. Ví dụ biểu thức

(2.6) trở thành:

pout , H 2 = 2 pout , F − pOIP 2, H



(2.11)



Từ biểu thức (2.1), (2.2) và (2.5) và định nghĩa điểm cắt, rõ ràng là

biên độ đầu ra ở IP2IM thoả mãn:

2

AOIP , IM = a1 AIIP 2, IM = AIIP 2, IM



Nên



(2.12)



AIIP 2, IM = a1 a2



(2.13)



Dẫn đến công suất tiêu thụ trên điện trở R có điện áp xuất hiện là:

pIIP 2, IM =



1 a1 2

( )

2 R a2



(2.14)



34



Chú ý từ biểu thức 2.1 ta có a1 không có đơn vị, a2 có đơn vị ngược

với điện áp do đó (2.14) có đơn vị công suất.

c. Các số hạng bậc chẵn khác

4

Số hạng thứ 5 a4vin nó sẽ tạo ra các tín hiệu không mong muốn là các



hài và IM. Vì độ dốc của công suất ra chống lại công suất cơ bản đối với

các hệ số bậc chẵn và các bậc cao hơn và chúng có độ dốc hơn các hệ số

bậc 2 và chúng sẽ trở lên không đáng kể (so với các hệ số bậc 2), ở các

mức tín hiệu đủ thấp. Ảnh hưởng của chúng lên các số hạng bậc 2 cần chú

ý, tuy nhiên bởi vì chúng và các số hạng bậc chẵn khác giải thích sự cong

của trong các đường của hình 2.3 ở các mức cao. Chú ý là thành phần một

chiều trong biểu thức (2.5) khi được nhân với bản sao khác của biểu thức

(2.5) xảy ra khi số hạng bậc 4 được hình thành, tạo ra các số hạng với các

tần số giống hệt số hạng bậc 2. Điều tương tự cũng xảy ra khi các số hạng

bậc chẵn cao hơn được mở rộng. Vì vậy hài bậc 2 và các IM bậc 2 tỷ lệ

với:

c2 a2C2 + c4 a4C4 + c6 a6C6 + ... , ở đây ai là từ biểu thức (2.1), ci là các hằng số



khác, Ci là sản phẩm Aj Bi-j sắp sếp từ Ai đến Bi, phụ thuộc đặc biệt vào IM

và hài. Ví dụ khi A=B, Ci=Aj Ai-j =Ai chỉ số hạng đầu tiên là có ý nghĩa ở

các mức thấp của A và B, dẫn đến đặc tính đường thẳng ở các mức thấp

trong hình 2.3, nhưng các số hạng khác trở lên có ý nghĩa ở các mức cao.

Sự kết hợp của các số hạng này ở các mức cao tạo ra sự làm phẳng của

đường cong đó. Có thể hiểu rằng độ dốc càng cao có thể xảy ra ở các mức

càng cao, tương ứng với công suất cao hơn ở Ci. Nhưng phải nhớ rằng giá

trị của tập hợp các hệ số trong biểu thức (2.1) là ảnh hưởng của đường cong

thực tế, không phải do nó gây ra.



35



2.1.3 Các số hạng bậc 3

3

Các số hạng bậc 3 trong biểu thức (2.1) là a3vin . Nó có thể đạt được



bằng cách nhân biểu thức (2.5) với biểu thức (2.2), thay a2 bằng a3 kết quả

là:

3

a3vin = a3{



A2 + B 2 A 2

B2

+ cos2ϕ a + cos2ϕ b + AB{cos[ϕ a (t ) − ϕ b (t )]+cos[ϕ a − ϕ b ]}}

2

2

2

.[(Acosϕ a + Bcosϕ b ]

 A2 + B 2



(Acosϕa + Bcosϕ b )





 2



2

 A



[Acosϕa + Acos3ϕa + Bcos(2ϕa − ϕb )+Bcos (2ϕa + ϕ b ) ]

+

 4



=a 3  2



 + B [Acos(ϕ − 2ϕ )+Acos(ϕ + 2ϕ )+Bcosϕ +Bcos3ϕ ] 

a

b

a

b

b

b

 4







 + AB  Acos(2ϕa − ϕb )+2Acosϕ b + Acos(2ϕa + ϕ b ) 



 2  +Bcos(ϕa − 2ϕb )+2Bcosϕ a + Bcos(ϕa + 2ϕ b ) 













(3 A3 + 6 AB 2 )cosϕa + (3B 3 + 6 A2 B)cosϕ b 





2

2

+3[A Bcos(2ϕa -ϕb )+AB cos(ϕ a -2ϕ b )] 

=a 3 



2

2

+3[A Bcos(2ϕa + ϕb )+AB cos(ϕa +2ϕ b )] 

+A 3cos3ϕ + B 3cos3ϕ



a

b







(2.15)



(2.16)



(2.17)



Dòng thứ nhất trong biểu thức (2.17) bao gồm các tín hiệu ở tần số

cơ bản, nhưng biên độ của chúng là các hàm phi tuyến của biên độ đầu vào

(Khi A và B bằng nhau thì chúng tỷ lệ với luỹ thừa bậc 3 của biên độ đầu

vào). Chúng sẽ góp phần vào tạo dạng phi tuyến của hệ số khuếch đại cơ

bản ở các mức cao. Dòng thứ 2 và thứ 3 gồm các hệ số IM và dòng cuối

cùng là các hài bậc 3. Ở các mức thấp, các IM và các hài gồm n lần một tần

số có các biên độ mà tỷ lệ với công suất thứ n của biên độ cơ bản tương

ứng. Ở các mức cao, các số hạng khác với các công suất n+2i, i là số

nguyên, trở thành đáng kể và tạo ra đặc tính cong trong đồ thị đáp ứng (tính

= dB).



36



Hình 2.6 Phổ tần số sản phẩm bậc 3 với 2 đầu vào có cùng mức

Hình 2.6 thể hiện phổ tần số bậc 3 với 2 đầu vào có cùng mức, và

hình 2.7 chỉ ra sự thay đổi của phổ khi biên độ của một tín hiệu vào thay

đổi. Các IM bậc 3 mà gần các tín hiệu mong muốn (bao gồm các số hạng

với các tần số khác nhau) là vấn đề khó khăn bởi vì khó mà lọc được chúng



Hình 2.7 Phổ tần số sản phẩm bậc 3 với 2 đầu vào không cùng mức

a. Điểm chắn



37



Hình 2.8 Công suất ra của tín hiệu cơ bản và các sản phẩm bậc 3

Hình 2.8 thể hiện sự thay đổi đường thẳng công suất của tín hiệu cơ

bản, hài và điều chế tương hỗ với công suất vào ở mức thấp và chúng đưa

ra điểm chắn (IP) bậc 3.

Hình trên tương tự như thể hiện trong hình 2.3 của sản phẩm bậc 2,

nhưng độ dốc của những sản phẩm bậc 3 dốc hơn từ đó chúng đặc trưng

cho tính phi tuyến lập phương hơn là bình phương.

Điều chế tương hỗ và hài thay đổi 3 dB cho mỗi dB thay đổi của tín

hiệu đầu vào và những đầu ra cơ bản. Chúng tỷ lệ với tín hiệu cơ bản mong

muốn thay đổi 2 dB mỗi dB thay đổi cuối cùng. Những sự thay đổi tương

tự như IP2 được thể hiện trong phần 2.2.1 áp dụng ở đây cho IP3.

Ví dụ 2.2: IM bậc 3 trong hình 2.9

Điểm chắn IM bậc 3 đầu ra (OIP3 IM) tại 21 dBm và công suất ra của

cả hai tín hiệu là +5 dBm, ở dưới điểm chắn 16 dB. Bởi vậy, IM bậc 3 thấp

hơn tín hiệu 32 dB, tại -27 dBm và thấp hơn điểm chắn (IP) 48 dB. Chúng

ta cũng có thể xác định sự khác nhau giữa tín hiệu cơ bản và IM là 32 dB

và sự khác nhau giữa tín hiệu đầu vào và IIP3IM là 16 dB

38



Hình 2.9 Ví dụ 2.2

b. Biểu diễn toán học

Sau đây ta có thể thấy rõ bằng việc xem xét kỹ biểu thức (2.17).Công

suất đầu ra hài bậc 3 ( Pout , H 3 ) quan hệ với công suất đầu ra cơ bản Pout , F và

điểm chắn đầu ra hài bậc 3 OIP3H bởi:

pout , H 3 =



3

pout , F



(2.18)



2

pOIP 3, H



Công suất IM đầu ra Pout , IM 3 tại một tần số ±2 f1 ± f 2 quan hệ với các

công suất 2 tín hiệu cơ bản đầu ra, Pout , F 1 tại f1 và Pout , F 2 tại f 2 , và điểm chắn

IM bậc 3 OIP3IM, bởi:

pout , IM 3 (±2 f1 ± f 2 ) =



2

pout , F 1 pout , F 2

2

pOIP 3, IM



(2.19)



Chú ý Pout , F là công suất của tín hiệu cơ bản mà có tần số gấp đôi

trong công thức cho tần số đầu ra các IM. Điều đó với hai tần số là f1 sẽ

khác nhau đối với các IM khác nhau. Trong gần vùng tần số tín hiệu cơ

bản, mỗi IM sử dụng tần số gần tần số của 2 tín hiệu cơ bản nhất trong



39