Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

a. Định nghĩa: Véctơ n 0 được gọi là véctơ pháp tuyến

của mặt phẳng nếu nó nằm trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng . Gọi tắt là véctơ vuông góc với mặt
phẳng .
Ký hiệu: n

I. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

:

n
A B
C
D
A B
D C
Cho hình lập phương ABCD.ABCD.Hãy tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABBA
Câu hỏi : Một mặt phẳng có bao nhiêu
véctơ pháp tuyến? Vì sao?

n
Chú ý
:
Nếu là 1 véctơ pháp tuyến
của mặt phẳng thì véctơ k k
0
cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng .

n
n

n
n
k
n
= Đn SGK
KH:
b a
n
=
[ ]
Hoặc
b a
n ,
=
a
nhận vectơ:
hai vectơ không cùng phương:
Có giá song song hoặc nằm trong
mp . CMR,
mp nhận
làm vectơ pháp tuyến
,
; ;
3 2
1
a a
a a
= ;
;
3 2
1
b b
b b
=
; ;
1 2
2 1
3 1
1 3
2 3
3 2
b a
b a
b a
b a
b a
b a
n −
−
=
b
A B
C
n
Là một vectơ pháp tuyến của
mp
[ ]
b a
n ,
=
VËy nÕu A, B, C là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng
thì
là một vectơ pháp tuyến của
.
[ , ]
AB
AC
= n
α
A B
C
n 
Trong kh«ng gian Oxyz cho 3 ®iĨm: A2;- 1;3,B4;0;1,C-10;5;3. Hãy tìm toạ độ một
vectơ pháp tuyến của mpABC Hoạt động 1.
Hướng dẫn
Mà
AB
= 2;1;-2
AC
=-12;6; 0
=[ , ]
Ta có
AB
AC
n
Vậy 12;24;24
= n
Cho mặt phẳng đi qua điểm M
= x
o
; y
o
; z
o
và có véctơ pháp tuyến n = A; B ; C.CMR, điều kiện cần và ®đ ®Ĩ ®iĨm M = x; y ; z thuộc
mặt phẳng là:
Bài toán1:
A x-x
o
+ B y-y
o
+ C z-z
o
= 0
Điểm M = x; y; z
khi và chØ khi M α
M ⊥
n
⇔ M
M . n = 0
⇔ A x-x
+ B y-y + C z-z
= 0
Gi¶i:
α
M M
 
n
HS xem CM ở SGK
1.Định nghĩa
Phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 A
2
+ B
2
+ C
2
≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
CMR,tập hợp các điểm Mx;y;z thoả mãn PT: Ax+By+Cz+D=0 trong đó A,B,C không
đồng thời bằng 0 là một mặt phẳng nhận vectơ =A;B;C làm vectơ pháp tuyến
n
Mặt phẳng đi qua điểm M
= x ; y
; z và
có véctơ pháp tuyến = A; B; C thì phương trình có dạng:
n
A x-x
o
+ B y-y
o
+ C z-z
o
= 0
Mặt phẳng có phương trình tổng quát là :
Ax+By+Cz+D=0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là =A;B;C
n
Hãy tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng :
4x-2y-6z+7=0
Hướng dẫn
=2;-1;-3
n
=4;-2;-6 hoặc
n
Ví dụ : Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 ®iĨm:
A-1; 1; 2 ; B-4; 3; 1 ; C2; -1; 0 . Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ABC.
Lời giải:
A B
C n
Ta có : AB = -3; 2; -1
AC = 3; -2; -2
AB , AC = -6; -9; 0 = -32 ; 3; 0
MpABC ®i qua A-1; 1; 2
vµ nhËn
n = 2; 3; 0 là vectơ pháp
tuyến. Suy ra phương trình
là :
2 x + 1
+ 3 y - 1
+ 0. z - 2 = 0
⇔ 2
x + 3
y - 1 = 0
Tæng kÕt : Tæng kết :
- Nếu mặt phẳng
qua M x
, y z
và có một vectơ pháp tuyến là
nA; B; C thì phương trình của nó là:
A x - x
o
+ B
y - y
o
+ C
z - z
o
= 0
- NÕu u
vµ v
lµ hai vectơ không cùng phương và có giá song song
hoặc thuộc mặt phẳng
thì: n = u , v
lµ véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
n
P
M
u v
v
u a
b
Bài tập về nhà :
Bài tập sách giáo khoa : 1, 2,3-
trang 80
Bài tập làm thêm :
Lập PT các mặt phẳng toạ độ: Oxy,Oyz,Ozx
cám ơn quý thầy cô giáo về dự giờ thăm lớp cùng các em học
sinh tham gia tiết học
Bài tập củng cố: Viết phương trình của mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng AB với A1; 3; -2, B3; 1; 0 Lời giải:
I
A
B
Gọi I là trung điểm của AB



=
+
= =
+ =
= +
=
1 2
2 z
2 2
1 3
y 2
2 1
3 x
I I
I
I
Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I nhËn AB lµm VTPT vËy nã cã pt:
1 z
y x
1 z
2 y
2 x
= +
+ −
⇔ =
+ +
− −
− = 1; -1; 1
2 1
2; 2; -1