Các tính chất của nguyên hàm : Sự tồn tại của nguyên hàm : Bảng các nguyên hàm : áp dụng

+ ∀
C = const cã Fx + C còng lµ một nguyên hàm của fx.
+ Ngợc lại, mọi nguyên hàm của hàm số fx trên khoảng a; b đều có thĨ viÕt díi d¹ng
Fx + C víi C = const. Hay ta nãi: {Fx + C, C
∈ R} lµ hä các
nguyên hàm của fx. Kí hiệu là:
f x dx
và còn đọc là tích phân bất định của fx.
Vậy: f x dx F x
C F x
f x =
+ ⇔ =
∫
DÊu
∫
gäi lµ dấu tích phân, fxdx gọi là biểu thức dới dấu tích phân và là vi phân của mọi
nguyên hàm Fx cđa fx v× : dFx = Fxdx = fxdx
HS theo dâi vµ ghi chÐp.
HS tù rót ra nhËn xÐt: mn tìm tất cả
các nguyên hàm của hàm số fx ta chỉ cần tìm một nguyên hàm thì mọi
nguyên hàm khác đều suy ra đợc bằng cách cộng vào đó một hằng số
nào đó.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Ví dụ:
2
1 2xdx x C
= +
1 2
2 dx
x C x
= +

3. Các tính chất của nguyên hàm :

GV đặt câu hỏi để dẫn đến các tính chất. Tõ cho biÕt
? f x dx
=
∫
§· biÕt aFx = aFx = afx. VËy
? af x dx
=
∫
víi a ≠
0.
§· biÕt Fx + Gx = Fx + Gx. VËy
[ ]
? f x
g x dx +
=
∫
§· biÕt Fux = Fu.ux. VËy
? f u x u x dx
=
HS nêu và chứng minh c¸c tÝnh chÊt.
ThËt vËy:
a f x dx a F x C
aF x aC
= +
= +
∫
mµ aF x
aF x af x
= =
vµ aC = const nên
af x dx aF x aC
= +
đpcm.
Chứng minh tơng tù trªn.
3
f x dx f x
=
∫
af x dx a f x dx a =
≠
∫ ∫
[ ]
f x g x dx
f x dx g x dx
+ =
+
∫ ∫
∫
f t dt F t C
f u x u x dx F u x C
= +
⇒ =
+
∫ ∫
GV bæ sung: VËy nÕu
f t dt F t C
= +
∫
th× f u du
F u C
= +
∫
víi u = ux .

4. Sự tồn tại của nguyên hàm :

GV nêu định lý, cho HS thừa nhận: Định lý
: Mọi hàm số fx liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
GV nêu quy ớc : Từ đây chỉ xét các hàm số
liên tục. Hiển nhiên vì Ft = ft nên
Fux = Fu.ux = fu.ux = fux.ux
đpcm.
HS theo dõi và ghi chép.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS

5. Bảng các nguyên hµm :

GV híng dÉn HS từ đạo hàm suy ra nguyên hàm của các hàm số sơ cấp và của
hàm số hợp tơng ứng.
x = ? ⇒
? dx
=
∫
x
α
= ? ⇒
? x dx
α
=
∫
lnx = ? ⇒
? e
x
= ? ⇒
? a
x
= ? ⇒
? sinx = ?
⇒ ?
cosx = ? ⇒
? tgx = ?
⇒ ?
cotgx = ? ⇒
? C - Lun tËp - Cđng cè:
HS t×m ra đạo hàm của các hàm số sơ cấp dới sự híng dÉn cđa GV.
dx x C
= +
∫
1
1 1
x x dx
C
α α
α α
+
= +
≠ − +
∫
ln | | dx
x C x
x =
+ ≠
∫
x x
e dx e C
= +
∫
1 ln
x x
a a dx
C a
a =
+ ≠
∫
cos sin
xdx x C
= +
∫
sin cos
xdx x C
= − +
∫
2
cos dx
tgx C x
= +
∫
2
co sin
dx tgx C
x =
+
4

6. áp dụng

: GV nêu vÝ dơ vµ híng dẫn HS tính
nguyên hàm.
Ví dô 1: Fx =
2
2 5
x x
dx x
 
− +
 
 
∫
VÝ dô 2: Fx =
2
3 2cos
sin x
dx x




HS giải các ví dụ.
2 2
3 2
3 2
2 4
5 4
5 2
4 5
2 ln | | 3
2 4
5 2 ln | |
3 2
F x x dx
xdx dx
x dx
x dx xdx
x x
x x
C x
x x
C =
+ − +
= −
+ =
− +
+ =
− +
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2
2 cos 3
sin 2 sin
3co dx
F x xdx
x x
tgx C =
=
+ +

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Ví dụ 3: Fx =
2 3
2 3
4 x
dx x
−
∫
VÝ dô 4: Fx = 3sin 2
1 cotgx
x dx
− +
 
 
∫
VÝ dô 5: Fx =
2
x
e xdx
−
∫
6 3
2 3
2 2
2 6
3 3
3 3
16 7
2 3
3 3
16 7
2 1
1 1
3 3
3
19 10
1 3
3 3
8 16
8 16
8 16
8 16
16 7
2 1
1 1
3 3
3 3
24 48
19 10
x x
F x dx
x x
x x
dx x dx
x dx x dx
x x
x C
x x
x C
− −
− −
+ +
− +
− +
= 
 =
− +
 
 
= −
+ =
− +
+ +
+ − +
= −
+ +
∫
∫
∫ ∫
∫
cos 1
3. sin 2
1 2
1 sin
2 sin
3 sin 2
1 2
1 sin
2 3
ln | sin | cos2
1 2
xdx F x
x d
x x
d x
x d
x x
x x
C =
− +
+ =
− +
+ =
+ + +
∫ ∫
∫ ∫
2 2
2
1 2
1 2
x x
F x e d
x e
C
− −
= − −
= − +
∫
5
VÝ dô 6: Fx =
2 3
3
1 x dx
x +
∫
1 3
3 3
1 1
3 3
2 3 3
1 1
1 3
1 1 1
3 1
3 1
1 2
F x x
d x
x C
x C
− − +
= +
+ +
= +
+ =
+ +
6
D - Chữa bài tập:
Đề bài Đáp số
Bài 1 118 . Tìm nguyên hàm của các hàm sè:
3
1 3
a f x
x x
x =
− +
3
1 x
b f x
x −
=
3
1 1
c f x
x x
= −
1 1
d f x
x x
x =
+
+
Bài 2118 . Tìm nguyên hàm của các hàm sè:
1
x x
a f x e
e
−
= −
2
2 cos
x x
e b f x
e x
−
 
= +
 
 
2
x
c f x a
x =
+ 2
3
x x
d f x
= +
Bµi 3118 . TÝnh:
20
2 1
a x
dx +
∫
cos b
ax b dx a
+ ≠
∫
2 3
5 c
x x
dx +
∫
2
xdx d
x a
+
∫
e tgxdx
∫
3cos
sin
x
g e
xdx
∫
1 2 2
1 h
x xdx
+
∫
4
ln x
i dx
x
∫
4 2
1 3
ln | | 4
2 a
F x x
x x
C =
− +
+
5 2
3 3
3 3
5 2
b F x x
x C
= −
+
2 3
3 2
2 c
F x x
x C
= −
+
5 2
2 5
d F x
x x C
= + +
x
a F x e
x C = − +
2
x
b F x e
tgx C =
+ +
2 3
2 2
ln 3
x
a c F x
x C
a =
+ +
2 3
ln 2 ln 3
x x
d F x C
= +
+
21
1 2
1 42
a x
C =
+ +
1 sin
b ax b
C a
= + +
3 3
2
2 5
9 c
x C
= +
+
2
1 ln |
| 2
d x
a C =
+ + ln | cos |
e x
C = −
+
3cos
1 3
x
g e
C = −
+
3 2
2
1 1
3 h
x C
= +
+
5
1 ln
5 i
x C
= +
7
§ 2: Tích phân
Tuần dạy : TiÕt :
I. Mơc tiªu :
1. VỊ kiÕn thøc : HS hiÓu bài toán tính diện tích hình thang cong, nắm vững định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân.
HS biết cách tính một số tích phân đơn giản.

2. Về kĩ năng: