á p dụng Ph ơng pháp đổi biến số:

4. á p dụng

:
GV nêu đề bài: Tính các tích ph©n.
3 1
1 4
x dx
+
∫
4 2
2 cotg xdx
π
∫
2 2
2 3
2 4
3 1
3 4
cos x
dx
cotg x dx
x
π π
−
+
−
∫
∫
5 Chøng minh r»ng:
2 2
14 4 3cos
8 dx
x


+
HS áp dụng các công thức đã học để giải bài tập.
3 3
2 1
1 2
2 2
2 4
4 2
4
1 4
4 12
2 1
2 1
sin 1
4 x
x dx
x
cotg xdx dx
x cotgx x
π π
π π
π π
π 
 +
= +
= 
 
 
 =
− 
 
 = −
− = −
∫
∫ ∫
2 1
2 2
2 1
1 2
2 2
2 1
2 3
3 2
2 2
4 4
3 4
3 1
1 1
5 2
2 3
3 2
4 cos
cos sin
11 3 3
2 5
3 x
dx x
dx x
dx x
x x
x cotg x
dx dx
x x
x tgx
cotgx
π π
π π
π π
− −
− −
− −
−
+ =
− − +
+ 
 
 = −
− +
+ =
 
 
 
 
− 
 =
− 
 
 =
+ =
−
∫ ∫
∫
∫ ∫
5 Ta cã:
2 2
2 2
0; 0 cos
1 0 3cos
3 2
1 1
1 4 4 3cos
7 7
4 3cos 4
x x
x x
x π
 
∀ ∈ ⇒ ≤
≤ ⇔ ≤ ≤
 
 
⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤
≤ +
Do ®ã:
2 2
2 2
1 1
7 4 3cos
4 dx
dx dx
x
π π
π
≤ ≤
+
∫ ∫
∫
2 2
14 4 3cos
8 dx
x
π
π π
⇔ ≤
≤ +
∫
®pcm
12
D - Chữa bài tập:
Đề bài Đáp số
Bài 1 128 . Tính các tích phân:
16 1
a xdx
1 1
e e
dx b
x
1 2
1 3
dx c
x
∫
8 3
2 1
1 4
3 d
x dx
x 
 −
 

Bài 2128
. Tính các tích phân:
2 2
3 1
2 x
x a
dx x
−
∫
2
1
2 5 7
e
x x
b dx
x + −
∫
2 2
cos 3 cos5 c
x xdx
π π
−
∫
2 2
sin 2 sin 7 d
x xdx
π π
−
∫
Bµi 3128
. Chøng minh r»ng :
1 2
4 5
1 2
2 x
a dx
+ ≤
≤
∫
1 3
1
2 2
9 8
7 dx
b x
−
≤ ≤
+
∫
3 4
2 4
4 3 2sin
2 dx
c x
π π
π π
≤ ≤
−
∫
2 2
sin 2 2 sin
d xdx
xdx


Đề bài Đáp số
13
Bài 4129
. Tính các tích ph©n:
3 3
2 ;
a x
dx
−
−
∫
2 2
2
1 ;
b x
dx
−
−
∫
4 4
3 ;
x
c x e dx
−
∫
4 2
sin .
4 d
x dx
π
π 
 −
 
 
∫
14
§ 3: Các ph
ơng pháp tính Tích phân Tuần dạy : TiÕt :
I. Mơc tiªu : 1. VÒ kiÕn thøc : HS nắm vững các phơng pháp tính tích phân: phơng pháp đổi
biến số dạng 1 và dạng 2, phơng pháp tích phân từng phần; biết cách áp dụng các phơng pháp đó để tính tích phân.

2. Về kĩ năng: -

- 3. Về t duy thái độ:
Tích cực xây dựng bài, rÌn lun t duy logÝc, cÈn thËn, chÝnh x¸c trong lập luận và tính toán
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh : - Giáo án
- Bảng phụ và các phiếu học tập, máy chiếu hắt Nếu có. - Học sinh xem lại bài cũ chuẩn bị đồ dùng học tập
III. Ph ơng pháp dạy học :
- Thuyết trình. - Lý thuyết tình huống
- Gợi mở và đan xen hoạt động học tập cá nhân hoặc nhóm.
IV. Tiến trình bài học : A. Các tình huống học tập :
- Hoạt động 1: - Hoạt động 2:
- Hoạt động 3:

B. Tiến trình lên lớp :

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
A- ổ
n định lớp, kiểm tra sĩ số. B - Kiểm tra bài cũ:
Tính các tÝch ph©n sau:
3 2
2 6
sin cos
dx a I
x x
π π
=
∫
2
1 cos 2 b I
xdx
=
Đáp số:
3 3
2 2
6 6
1 1
4 3 sin
cos 3
a I dx
tgx cotgx x
x
π π
π π
 
= +
= −
= 
 

∫
2 2
2 sin 2 sin
sin 4 2
b I x dx
xdx xdx
π π
π π
 
= =
− =
 


15
1 cos 2 2
x c I
dx
+ =
GV: trên đây là các tích phân có thể tính đợc bằng cách dùng định nghĩa
và các tính chất của tích phân, tuy nhiên với nhiều tích phân phức tạp
thì không thể tính đợc bằng cách đó.
C - Giảng bài mới:

1. Ph ơng pháp đổi biến số:

GV giới thiệu bài toán. Giả sử phải tính
b a
I f x dx
=
, với fx là hàm số liên tục trên đoạn [a; b].
2 2
cos cos
cos 2
c I x dx
xdx xdx
π π
π π
= =
− =
∫ ∫
∫
HS theo dõi và ghi chép
.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
a Đổi biến số dạng 1:
GV nêu định lý. ĐL.
Nếu: 1 Hàm số x = ut có đạo hàm liên tục
trên đoạn [
;
] 2 Hàm số hợp fut đợc xác định trên
đoạn [
;
] 3 u
= a, u
β = b
th× ta cã: .
b a
f x dx f u t u t dt
β α
= 
 

∫
. GV yêu cầu HS chứng minh định lý.
GV nêu quy tắc. Quy tắc đổi biến số dạng 1.
+ Đặt x = ut, với ut là một hàm số có
đạo hàm liên tục trên [
;
] và u
= a, u
= b, fut xác định trên [
;
].
+ Thay theo cách đặt vào tích phân cần tính råi tÝnh tÝch ph©n theo biÕn t.
GV lu ý HS đổi biến phải đổi cận. GV nêu ví dụ và hớng dẫn HS cách giải.
VD1: Tính
1 2
1 I
x dx =

. HS theo dâi vµ ghi chÐp.
HS suy nghÜ vµ chøng minh. HS đọc SGK130
HS theo dõi và ghi chép.
HS giải vÝ dơ díi sù híng dÉn cđa GV.
16
GV: ta còng có thể đặt x = cost.
VD2: Tính
1 2
1 dx
I x
= +
. Đặt x = sint
; 2 2
t


∈ − 
 
 
 
 .
Khi x = 0 th× t = 0, khi x = 1 th× t = 2
π .
Ta cã: dx = dsint = costdt. Do ®ã:
2 2
2 2
1 sin cos cos
... 4
I t
tdt tdt
π π
π
=
= = =

Đặt x = tgt ;
2 2 t
π 
 
 ∈ −
 
 
 
 
. Khi x = 0 th× t = 0, khi x = 1 th× t =
4 π
. Ta cã
2 2
1 1
cos dx dtgt
dt tg t dt
t =
= = +
.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
VD3: Tính
1 2
2
1 dx
I x
=
.
VD4: Tính
1 2
1 dx
I x
x =
+ +
∫
. Do ®ã:
4 4
2 2
1 1
1 4
I tg t dt
dt tg t
π π
π =
+ =
= +
∫
Đặt x = sint ;
2 2 t


∈ −
 
 
 
 
. Khi x = 0 th× t = 0, khi x =
1 2
th× t = 6
π .
Ta cã: dx = dsint = costdt. Do ®ã:
6 6
6 2
cos cos
cos 6
1 sin tdt
tdt I
dt t
t
π π
π
π
= =
= =
−
∫ ∫
∫
Ta cã:
2 2
1 3
1 2
4 x
x x
 
+ + = +
+

Đặt
1 3
2 4
x tgt
+ = ;
2 2 t
π π 
 
 ∈ −
 
 
 
 
. Khi x = 0 th×
1 6
3 tgt
t π
= ⇒ =
, khi x = 1 th×
3 3
tgt t
π =
⇒ = .
Ta cã:
2 2
3 1
3 1 3
1 4
2 2 cos
2 dx d
tgt dt
tg t dt t
 
= −
= =
+ 
 
 
 Do ®ã:
17
VD5: Chøng minh r»ng
2 2
cos sin
n n
xdx xdx n N

=

.
b Đổi biến số dạng 2:
Quy tắc đổi biến số dạng 2: + Đặt t = vx với vx là hàm số
có đạo hàm liên tục.
2 3
3 2
6 6
3 1
2 3 3
2 3
3 9
1 4
tg t dt I
dt tg t


+
= =
= +

Đặt 2
x t
π = −
. Ta cã:
; 0;
2 2
x t
x t
dx dt
π π
= ⇒ = = ⇒ =
= − Do ®ã:
2 2
2 2
cos cos
sin sin
2
n n
n n
xdx t
dt tdt
xdx
π π
π π
π

=
=
=



đpcm
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
+ Biểu thị fxdx theo t và dt. Giả sử: fxdx = gtdt.
+ Khi đó
v b v a
I g t dt
=
∫
. GV nªu vÝ dơ.
VD1: TÝnh
1 2
2 1
1 x
I dx
x x
+ =
+ +
.
GV yêu cầu HS tính theo cách khác không cần đổi biến mà dùng tính
chất tích phân của hàm số hợp.
VD2: Tính
1 2
3 2
5 1
xdx I
x =

HS theo dõi và ghi chép.
HS áp dụng quy tắc đổi biến số dạng 2, chọn biến mới thích hợp để giải các ví dụ.
Đặt t = x
2
+ x + 1. Khi x = 0 th× t = 1, khi x = 1 th× t = 3.
Ta cã: dt = 2x + 1dx
Do ®ã:
3 3
1 1
ln ln 3
dt I
t t
= =
=
∫
. C¸ch kh¸c:
2 1
1 1
2 2
2
1 2
1 ln
1 ln 3
1 1
d x x
x I
dx x
x x
x x
x + +
+ =
= =
+ + =
+ + + +

Đặt t = 1 - x
2
⇒ dt = -2xdx.
Khi x = 0 th× t = 1, khi x = 12 th× t = 34
18
VD3: TÝnh
2 1
1 ln
e
dx I
x x
= −
∫
Do ®ã:
3 3
3 2
4 4
4 3
2 1
1 1
5 5
5 1 35
. .
2 2 2
4 36
dt t
I t
t
−
= − = −
= =
−
∫
HS tÝnh theo c¸ch kh¸c, coi nh bài tập.
Đặt ln
dx t
x dt
x =
= .
Khi x =1 th× t = 0, khi x e
= th×
1 ln
2 t
e =
= Do ®ã:
1 2
2
6 1
dt I
t π
= =
−
∫
theo VD3 ở dạng 1
Hoạt động của GV Hoạt động của HS

2. Ph ơng pháp tích phân từng phần