SS4. MẶT CẦU KHÚC XẠ.

Như vậy, theo định luật khúc xạ (1.5) ta có :

n1 (



OI

OI

OI

OI

) = n2 (

)

−

−

OC OA1

OC OA 2



OC là bán kính R của mặt cầu, OA 1 và OA 2 là khoảng cách đến vật và đến ảnh kể từ



đỉnh mặt cầu. Ta đặtĠ vàĠ. Thay vào biểu thức trên ta được cơng thức mặt cầu khúc xạ :

n 2 n1 n 2 − n1

p2 − p1 = R



Đại lượng bên vế phải ф =



(4.2)



n2 − n1

được gọi là tụ số của quang hệ. Giá trị của ф là giá trị

R



đại số, nó cho biết xu thế đi về gần quang trục hay đi ra xa của các chùm tia khúc xạ. đơn vị

đo tụ số là “điốp” nếu chiều dài tính ra mét

Chú ý : đối với mặt cầu khúc xạ, ta chỉ có ảnh rõ khi các tia tới đi gần trục chính.

2. Các tiêu điểm, mặt phẳng liên hợp và mặt phẳng tiêu.

a- Các tiêu điểm:



O

(n1)



O



F1



F2

(n2)



(n1)



(n2)



HÌNH 25

Cho chùm tia sáng song song với quang trục tới quang hệ. sau khi khúc xạ chùm tia hội

tụ tại F2 (H.25). F2 được gọi là tiêu điểm ảnh. F2 là thực nếu nó nằm trong khơng gian ảnh

thực. Tương tự, nếu có chùm tia xuất phát từ F1 trên quang trục, sau khi khúc xạ trở thành

chùm song song với quang trục (H.25), thì F1 được gọi là tiêu điểm vật. Tiêu điểm F1 là thực

nếu nó nằm trong khơng gian vật thực. Các đoạn thẳng OF2 =f2 và OF1 =f1được gọi là các

tiêu cự ảnh và tiêu cự vật. Các tiêu cự cũng mang dấu theo qui ước chung.

Dễ dàng dùng cơng thức (4.2) để xác định các tiêu cự

Kết quả là

− n1 R − n1

f1 = n −n =

φ

2

1



Tỉ số giữa hai tiêu cự :



và



n R n

f2 = n 2 n = 2

φ

2− 1



(4.3)



f2

n

= − n2

f1

1



−n



n



(4.4) hay φ = f 1 = f 2

1

2



Biểu thức (4.4) cho thấy độ dài tuyệt đối của các tiêu cự tỉ lệ với chiết suất của mơi

trường tương ứng và 2 tiêu điểm ln ln nằm về hai phía của mặt cầu khúc xạ.

b- Mặt phẳng liên hợp :

P1



B1



A1



P2

B2

A2



α



A2

(n1)



O

O'



(n2)



HÌNH 26

Chú ý vào H. 26, chúng ta tiếp tục phân tích như sau :

Điểm A2 là ảnh của điểm A1 nằm trên quang trục A1C. Hai điểm A1 và A2 được gọi là

hai điểm liên hợp. Xét quang trục khác, ví dụ CO’. Nếu vật đặt tại B1 sao cho CB1 = CA1

thì ảnh sẽ ở tại B2 (H. 26), với CB2 = CA2. Cặp điểm B1, B2 cũng là cặp điểm liên hợp.

Suy rộng ra, các mặt cầu có vết là các cung A1B1 và A2B2 là các mặt liên hợp.

Trong trường hợp gần đúng với gócĠ nhỏ có thể xem hai mặt phẳng P1 và P2 (H.26)

thẳng góc với quang trục qua A1 và A2 là hai mặt liên hợp.

c- Các mặt phẳng tiêu :



F2



F1

O

A2



A1



HÌNH 27

Hai mặt phẳng vng góc với quang trục đi qua F1 và F2 được gọi là mặt phẳng tiêu vật

và mặt phẳng tiêu ảnh. Các mặt phẳng tiêu liên hợp với các mặt phẳng ở vơ cực. Nếu có

chùm tia xuất phát từ điểm A1 trên mặt phẳng tiêu vật, ta thấy A1 nằm trên quang trục A1C

tương đương với F1 nằm trên quang trục chính F1C. Vì vậy, có thể suy ra rằng, chùm tia

khúc xạ là chùm song song với trục A1C (H.27). Bây giờ, nếu có chùm tia tới song song với

phương A2 quang trục CA2, thì chùm tia khúc xạ sẽ hội tụ tại điểm A2 trên mặt phẳng tiêu

ảnh. Các điểm A1, A2 trên các mặt phẳng tiêu được gọi là các tiêu điểm phụ. Các tiêu điểm

phụ thường được sử dụng để dựng hình.



3. Vẽ tia khúc xạ.

• Các tia đặc biệt :

- Tia tới song song với trục chính, tia khúc xạ đi qua tiêu điểm ảnh

- Tia tới qua tiêu điểm vật, tia khúc xạ song song với trục chính

- Tia tới qua tâm C sẽ truyền thẳng

• Tia tới bất kỳ:

I



I



F2'



F1



R



S



S

C



(∆)



R



O



(n1)



F1



(∆')



(n2)



C



F2

(n1)



(n2)



Hình 27bis

Tia khúc xạ song song với trục phụ ∆ (∆ đi qua tiêu điểm vật phụ F’1, giao điểm của tia

tới SI và mặt phẳng tiêu vật)

Tia khúc xạ đi qua tiêu điểm ảnh phụ F’2 (giao điểm của trục phụ ∆’ song song với tia

tới SI với mặt phẳng tiêu ảnh)

4- Cách dựng ảnh. Độ phóng đại.

B1

F1



F2

O



A1



HÌNH 28

Ta dựng ảnh của một vật A1B1 có kích thước nhỏ, đặt vng góc với quang trục. Muốn

vậy ta chỉ cần hai trong ba tia đặc biệt phát suất từ B1, vẽ hai tia ló tương ứng, ta được ảnh

B2 của B1. Hạ đường thẳng góc xuống trục quang học, ta được ảnh A2B2

Độ phóng đại được định nghĩa là :

β=



A 2 B2

A 1 B1



Từ hai tam giác có đỉnh F1, ta có :

β=−



f

OF1

= − x1

1

F1 A 1



với x 1 = F1 A1



Từ hai tam giác có đỉnh chung F2, ta có:

β=−



x

F2 A 2

= − 2 với x 2 = F2 A 2

f2

OF2



suy ra : x1x2 = f1f2

ta cũng có thể viết như sau :

β=−



OF1

f

f

OF1

=−

=− 1 =− 1

−f1 + p1

f1 − p1

F1 A 1

F1O+OA 1



hay từ β =



− F2 A2

OF2



suy ra β =



(4.5 a)



f 2 − P2

f2



(4.5 b)



hay từ :

n 2 n1

n1

p2 − p1 = φ = − f



n p p

f1 = n p 1 −1 n2 p

1 2

2 1



1



thế vào (4.5 a), ta được :

n1 p2

β= n p

2 1



Độ phóng đại β thường được gọi là độ phóng đại dài, đó chính là độ phóng đại theo

phương vng góc với quang trục. Chúng ta thử tính độ phóng đại Ġ dọc theo trục, được

gọi là độ phóng đại trục.

Nếu vật được đặt tại khoảng cách p1 có kích thước dọc theo trục là một đại lượng bé

∆ p1 , ảnh của vật ở tại khoảng cách p2 và có kích thước dọc theo trục là ∆ p 2 , thì độ phóng

đại trục là:

γ =



∆p2

∆ p1



Thực hiện phép tính vi phân đối với (4.2), ta được:



− n 2 dp 2 − n1 dp1

+

=0

2

p2

p12



ta có thể lấy ∆p2 ≈ dp2 và ∆p1 ≈ dp1

Vậy :

γ=



∆p2 n1p2

=

=

∆p1 n 2 p1



n2 2

n1 β = γ



5. Bất biến Lagrăng – Hemhơn (Lagrange - Helmholtz).

Hệ thức Lagrăng – Hemhơn



B1



(n1)



(n2)



I



B1



(+)

A2



A2



y1

i2



O



A1



A1



y2



u1



O



B2



(+)



u2

B2



Hình 29 a và b

O = đỉnh của chỏm cầu

A1A2 là trục

B1O và OB2 là một cặp tia liên hợp

Ta có : n1 sin i1 = n2 sin i2

đối với các tia đi gần trục, ta có :

p

n 1 y1 p2 = n 2 y 2

1



−y

y1

n1 − p = n 2 p 2

2

1



(46)



gọi u1 và u2 là các góc hợp bởi trục và các tia liên hợp A1I và IA2

Ta có :



tg (- u1) =



OI

≈ -u1

− p1



tg( u2 ) = OI ≈ u2

p

2



Suy ra : u1 p1 = u2 p2

p



u



hay p2 = u1

1

2

thay kết quả này vào (46), ta có biểu thức :

n1 y1 u1 = n2 y2 u2



(47)



Biểu thức (47) có tên gọi là bất biến La-giăng – Hem-hơn

Biểu thức cho thấy rằng trong hệ mặt cầu khúc xạ tích ba đại lượng n y u khơng đổi qua

các mơi trường. Trên đây chúng ta đã thu được một số biểu thức miêu tả qui luật tạo ảnh của

hệ mặt cầu khúc xạ – ta nhận thấy có sự tương tự trường hợp gương cầu.

- Một cách hình thức, nếu thay n1 = - n2, các biểu thức trên sẽ áp dụng đúng với gương

cầu.

Ví dụ, từ (42) :

n 2 n1 n 2 − n1

1 1 2

p2 − p1 = R , thay n1 = - n2, ta có : p2 + p1 = R



Đó là cơng thức của gương cầu.



Liên hệ giữa mặt phẳng và mặt cầu, chúng ta thấy rằng mặt phẳng là trường hợp riêng

của mặt cầu với R = ∞ . Vì vậy, tất nhiên các cơng thức của gương cầu và mặt cầu khúc xạ

nếu ta cho R = ∞ , sẽ áp dụng đúng với trường hợp gương phẳng và mặt phẳng khúc xạ.

SS 5. QUANG HỆ ĐỒNG TRỤC.

Là một quang hệ gồm các mặt phẳng, mặt cầu khúc xạ ngăn cách các mơi trường trong

suốt có chiết suất khác nhau, tâm của các mặt khúc xạ cùng nằm trên một đường thẳng –

đường thẳng đó được gọi là quay trục chính của hệ.

Chúng ta sẽ nghiên cứu qui luật tạo ảnh của quang hệ xuất phát từ tính chất của các điểm

đặc biệt của quang hệ.

1. Hai tiêu điểm và hai điểm chính.

S1



S



B



F'



F



y



B'



S'



y'

A'



A

(n)



(n1)



(n2)



(n')



HÌNH 30

Cũng như trước đây, chúng ta giới hạn xét các chùm tia gần trục, sao cho sự gần đúng về

chỗ đồng qui của chùm tia được bảo tồn. Trong trường hợp này, ta có bất biến Lagrăng

Hemhơn đối với mỗi mặt khúc xạ.

Có thể viết dãy đẳng thức :

nyu = n1y1u1 = n2y2u2 = n’u’y’

Nếu chỉ chú ý đến mơi trường trước và sau quang hệ, ta có:

nyu = n’y’u’

Trong trường hợp tính đồng qui của chùm tia được bảo tồn, chùm tia tới song song với

quang trục chính, sau khi ra khỏi quang hệ chúng sẽ hội tụ qua F’. F’ là ảnh liên hợp với vật

ở xa vơ cực nằm trên quang trục chính – F’ là tiêu điểm ảnh chính. Ta lập luận tương tự để

xác định tiêu điểm vật chính F (chùm tia phát xuất từ F ứng với chùm tia ló song song với

quang trục chính) (hình 30). Các tiêu điểm F và F’ đều có thể thực hay ảo (xác định bằng

khơng gian vật thực và khơng gian ảnh thực). Tương ứng với hai tiêu điểm F và F’, ta có hai

mặt phẳng tiêu. đó là hai mặt phẳng vng góc với quang trục chính tại F và F’. Các điểm ở

trên mặt phẳng tiêu, khác F hay F’, được gọi là các tiêu điểm phụ

2. Điểm chính 2 mặt phẳng chính.



J



S



K



K'



I'

J'



I



F'

F



H



H'



P



P'



HÌNH 31

Xét tia SJ song song với quang trục, tia ló là J’F’. Trong các tia tới đi qua F, ta chọn một

tia FI sao cho tia ló là IR (song song với quang trục) có cùng giá với tia SJ. Các điểm K và

K’ (giao điểm của SJ với FI và I’R với J’F’) là hai điểm liên hợp. Các mặt phẳng p và p’ đi

qua K và K’ và thẳng góc với trục quang học được gọi là hai mặt phẳng chính. p được gọi là

mặt phẳng chính vật. p’ được gọi là mặt phẳng chính ảnh. Các điểm H và H’ (giao điểm của

p và p’ với quang trục) được gọi là các điểm chính. H và H’ là hai điểm liên hợp. Nói chung

với các cặp điểm K và K’ bất kỳ trên mặt phẳng chính và ở gần quang trục, ta có HK =

H ' K ' , độ phóng đại γ =



H'K'

= +1 (ảnh vật bằng nhau và cùng chiều)

HK



Các khoảng cách HF =f và H ' F ' = f’ được gọi là các tiêu cự vật và tiêu cự ảnh. Thứ tự

về vị trí của các điểm F, H, H’, F’ trên hình 31 chỉ là một trường hợp có thể mà thơi.

3. Liên hệ giữa hai tia liên hợp qua hai điểm chính.

- Tia BK song song trục chính ( tia ló qua F’



- Tia tới BH qua điểm chính H, tia ló qua H’. Xét hai tia liên hợp qua H và H’ (là hai tia

BH và H’B’), áp dụng bất biến Lagrange Helmholtz với các điểm H và H’ (của vật là HK và

ảnh là H’K’) : nyu = n’y’u’

Vì y = y’ ⇒

hay



nu = n’u’

u' = n

u n'



(5.2)