II. Đa thức nội suy Lagrange

(2.1)

Trong công thức (2.1), các hệ số không phụ thuộc vào hàm số f(x), mốc nội suy

và bớc h. Do chúng đợc tính sẵn, lập bảng để sử dụng nhiều lần.

Công thức nội suy Lagrange trình bày nh trên có u điểm đơn giản nhng nếu thêm

mốc nội suy phải tính lại toàn bộ. Nhợc điểm này đợc khắc phục trong công thức nội

suy Newton v.v..

Sau đây ta sẽ dùng phần mềm maple 12 để tìm đa thức nội suy Lagrăng và tính

giá trị của hàm:



4



II.2. Lập trình sử dụng Maple 12 để tìm đa thức nội suy Lagrange



5



>



6



II.3. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho f(x) cho bởi bảng sau:

xi

-1



0

7



1



f(xi)



1/3



1



Tính: f(1/2)?



3



{ f(x) = 3 x }



>

Đa thức nội suy Lagrange:



Vậy f(1/2) = 1.83333333

Ví dụ 2: Cho f(x) cho bởi bảng sau:

xi

-2

-4/3

f(xi)

0

1

Tính f(1)?



0

2



4/3

1



2

0



3

27



4

64



>

Đa thức nội suy:



1.415625000

Vậy f(1) = 1,41562500.

Ví dụ 4: Cho f(x) cho bởi bảng sau:

xi

0

1

f(xi)

0

1

Tính f(6)? {f(x)=x3}



2

8



>

Đa thức nội suy:



8



5

125



Vậy f(6) = 216.

Ví dụ 5:Cho f(x) cho bởi bảng sau:

xi

0

1

4

f(xi)

0

1

2

Tính

f(3)?

{ f(x) = }



9

3



>

Đa thức nội suy:



1.828194444

Vậy f(3) = 1.82819444

Ví dụ 6: Cho f(x) cho bởi bảng sau:

9



16

4



25

5



36

6



49

7



xi

f(xi)



0

1



0



Tính ?



-1



0



{ f(x) = cosx}



>

Đa thức nội suy:



Vậy =0.964421377

Ví dụ 7: Cho f(x) cho bởi bảng sau:

xi

0

f(xi)

0

1



0



Tính ?



-1

{ f(x) = sinx}



10



>

Đa thức nội suy:



0.260017727

Vậy =0.26001772



11



III. Đa thức nội suy Newton tiến

III.1. Cơ sở lý thuyết

III.1.1. Sai phân và các tính chất

Giả sử f: là một hàm cho trớc và h = const . Ta gọi sai phân cấp 1 của f(x) là đại

lợng:

Tỷ sai phân cấp 1 của f(x) là

Một cách tổng quát

Các tính chất của sai phân:

1)



là toán tử tuyến tính, nghĩa là:



2) Nếu c = const thì .



3)



.



Từ tính chất (2) suy ra với mọi m > n

4) Nếu P(x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor



5)



Thật vậy

(ở đây 1 là toán tử đơn vị)



áp dụng nhiều lần ta đợc:



6)



Ta có



7) Giả sử



Khi đó

(5.1)

Ta chứng minh (5.1) bằng qui nạp.

12



Với n = 1, ta có công thức số gia hữu hạn

Giả sử (5.1) đúng với mọi . Ta chứng minh cho k = n+1.

Thật vậy trong đó . áp dụng công thức số gia hữu hạn cho , ta đợc:



Trong đó. Đặt , ta đợc







Hệ quả: Nếuthì khi h đủ nhỏ ( Đpcm).



III.1.2. Một số quy tắc nội suy hàm số trên lới đều

a. Bảng sai phân



Giả sử hàm số y = f(x) cho dới dạng bảng yi = f(xi) tại các môcác xi cách đều:

xi+1 xi = h = const ()

Khi đó sai phân của dãy yi đợc xác định nh sau:



Tính chất 5, 6 của mục III đợc viết lại nh sau:



b. Nội suy ở đầu bảng

Mốc nội suy đợc sắp theo thứ tự x0 < x1 < < xn.

Ta tìm đa thức nội suy dới dạng:

P(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)(x x1) + + an (x x0)(x xn-1)

13