III. Đa thức nội suy Newton tiến

Với n = 1, ta có công thức số gia hữu hạn

Giả sử (5.1) đúng với mọi . Ta chứng minh cho k = n+1.

Thật vậy trong đó . áp dụng công thức số gia hữu hạn cho , ta đợc:



Trong đó. Đặt , ta đợc







Hệ quả: Nếuthì khi h đủ nhỏ ( Đpcm).



III.1.2. Một số quy tắc nội suy hàm số trên lới đều

a. Bảng sai phân



Giả sử hàm số y = f(x) cho dới dạng bảng yi = f(xi) tại các môcác xi cách đều:

xi+1 xi = h = const ()

Khi đó sai phân của dãy yi đợc xác định nh sau:



Tính chất 5, 6 của mục III đợc viết lại nh sau:



b. Nội suy ở đầu bảng

Mốc nội suy đợc sắp theo thứ tự x0 < x1 < < xn.

Ta tìm đa thức nội suy dới dạng:

P(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)(x x1) + + an (x x0)(x xn-1)

13



Cho x = x0 ta đợc a0 = y0 ; x = x1

Nói chung đặt x = xi, ta có Đổi biến ta đợc:



(*)

Ta gọi (*) là công thức nội suy Newton tiến.



14



III.2. Lập trình sử dụng maple 12 tìm đa thức nội suy Newton tiến



15



III.3. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho f(x) cho bởi bảng sau:

x0

h

y0

0

1

0

Tính f(6)?



y1

1



y2

y3

8

27

{f(x) = x3 }



>

16



y4

64



y5

125



Đa thức nội suy:



216.

Vậy f(3) = 216

Ví dụ 2: Cho f(x) cho bởi bảng sau:

x

y

h

y

y

0



0



1



2



y4



3



y5



1/1 0 1002/10000 2013/10000 8045/10000 4108/10000

0

Tính f(14/100)



>



17



y6

5211/10000



Đa thức nội suy:



Vậy f(14/100) = 0.00941915520

Ví dụ 3: Cho f(x) cho bởi bảng sau:

x0

h

y1

y2

0

Tính ?



y3

0



y4

{ f(x) = cosx}



>



18



y5

-1



y6



y7

0



y8



Đa thức nội suy:



19



Vậy =0.964421377

20



Ví dụ 4: Cho f(x) cho bởi bảng sau:

x0

h

0

0

Tính ?



1



{ f(x) = sinx}



>



21



0



-1



Đa thức nội suy:



22



0.260017727

Vậy =0.26001772



Qua các ví dụ minh hoạ ở trên ta thấy việc dùng đa thức Lagrăng và Newton tiến

cho kết quả xấp xỉ nhau.

Nội suy cui bảng (Newton tiến) ở giữa bảng lm tơng tự.



23