 Hàm sóng ứng với các trạng thái dừng của electron chuyển động trong nguyên tử hiđro là

Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



b. Lượng tử số quỹ đạo l.

Số lượng tử l xuất hiện khi ta giải phương trình với điều kiện có chuyển động xuyên

tâm (chuyển động trên một quỹ đạo dừng theo mô tả bán lượng tử), còn theo lượng tử

thì l xuất hiện trong giá trị riêng của toán tử mômen động lượng L (liên quan đến

chuyển động theo quỹ đạo) và có giá trị theo (3.14) là:

L = h 2 l ( l + 1) = h l ( l + 1) , với l=0, 1, 2,..., n-1



Vì vậy, l được gọi là số lượng tử quỹ đạo (mặc dù vi hạt không có quỹ đạo). Với giá

trị n đã cho, nguyên tử chỉ có thể có n giá trị khả dĩ của mômen động lượng tính theo

công thức trên. Điều này cho thấy mômen động lượng được bảo toàn và lượng tử hoá.

c. Lượng tử số từ m

Như trên ta thấy, lượng tử số quỹ đạo l xác định độ lớn của vectơ mômen động lượng

u

r

L , nhưng không nói được thông tin về hướng của vectơ này. Khi giải phương trình



của thành phần góc (3.11) đã xuất hiện số lượng tử m. Thành phần này cho biết

u

r



u

r



hướng của vectơ L , thông qua việc cho biết hình chiếu của L lên một phương xác

định (kí hiệu là phương z). Thông thường người ta dùng từ trường để đánh dấu một

phương xác định trong không gian đang xét.

Với giá trị l đã cho, vectơ mômen động lượng có thể nhận tối đa là 2l+1 phương khả

dĩ thoả mãn điều kiện về hình chiếu Lz xuống trục z như sau:

Lz = hm



m = −l , −l + 1,..., 0,1,..., l − 1, l



m gọi là lượng tử số từ.



(3.21)



u

r



Góc giữa phương của vectơ L và trục z được xác định theo:



L

mh

m

cos θ = rz =

=

l(l + 1)h

l(l + 1)

L



(3.22)

u

r



Hình sau mô tả các phương khả dĩ của vectơ L trong các trường hợp l=0, l=1, l=2 và

l=3. Phương z (thẳng đứng) cho thấy độ lớn của hình chiếu của chúng.



39



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



u

r



Hình 3.2. Các phương khả dĩ của vectơ L trong các trường hợp l=0, l=1, l=2 và l=3

u

r



Ta thấy phương của L không thể tuỳ ý, mà chỉ có thể nhận một số phương xác định.

Điều này chứng tỏ sự lượng tử hoá không gian, cũng phù hợp với hệ quả từ thuyết

Bohr như đã xét ở chương 1.

3.5. Nhận xét chung

a. Năng lượng của electron trong nguyên tử hidro cũng như các ion tương tự với nó

bị gián đoạn thành các mức năng lượng rời rạc, phụ thuộc vào số nguyên n. Ta nói

năng lượng của e trong nguyên tử bị lượng tử hoá.

Từ công thức năng lượng En ở (3.20) ta có nhận xét sau: mức năng lượng thấp nhất

của electron trong nguyên tử ứng với n = 1 bằng :

E1 = −



Z 2 e 2 mk 2

2h 2



Thay các giá trị của e, m, k, h vào và đặt Z = 1 cho trường hợp nguyên tử hiđro,

ta có :

E1 = - 13,6 eV.

Do En tỉ lệ nghịch với n2 nên các mức năng lượng càng cao càng xít vào nhau, khi n

lớn tới một mức nào đó ta có thể coi năng lượng là liên tục.

Năng lượng En luôn có giá trị âm, điều này chỉ ra rằng điện tử vẫn đang bị nhốt

trong nguyên tử (định xứ). Khi n tăng thì En tăng và tiến dần đến 0 khi n tiến đến vô

cùng. Khi E bằng hay lớn hơn 0 thì các mức là liên tục, khi đó điện tử đã không còn

thuộc về nguyên tử nữa.



40



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



Mức ứng với n=1 gọi là mức K, n=2 gọi là mức L, n=3 là mức M, n=4 là mức N,

n=5 là mức O.

Năng lượng ion hoá của nguyên tử là năng lượng cần thiết để cho 1e bứt ra ra

khỏi nguyên tử, nghĩa là electron chuyển lên mức có năng lượng bằng 0. Như vậy,

năng lượng ion hoá nguyên tử hidro ở trạng thái cơ bản là: Eion= 0- E1 = 13,6 eV.

b. Theo kết quả thu được khi giải phương trình Schrödinger của electron chuyển

động trong nguyên tử, ta nhận thấy ứng với một mức năng lượng En có một bộ các

hàm sóng ψ nlm khác nhau (với các giá trị khác nhau của l và m). Ta bảo rằng có sự

trùng sinh (hay sự suy biến) các hàm sóng của hạt. Mỗi hàm sóng ứng với một trạng

thái khác nhau của electron có cùng năng lượng En nhưng khác nhau về giá trị của

momen động lượng L và về hình chiếu momen động lượng. Số các trạng thái trùng

sinh có thể tính được như sau: ứng với mỗi giá trị n, ta có l = 0, 1, 2, … , n – 1 và

mỗi giá trị l, ta có m = -l,-l+1, … ,l-1,l (tức la 2l + 1 giá trị). Vậy tổng cộng ta có

l = n −1



∑ (2l + 1) = n



2



(3.23)



l =0



Thí dụ :

Mức năng lượng E1 , n = 1

E1 = −



Z 2 e 2 mK 2

,

2h 2



có một hàm sóng ψ 100 .

Mức năng lượng E2, n = 2

Z 2 e 2 mK 2

,

E2 = −

2h 2 2 2



có 4 hàm với 4 trạng thái sau : ψ 200 ,ψ 210 ,ψ 21−1 ,ψ 211

v .v . . .

c. Ba chỉ số của hàm sóng ứng với cùng một mức năng lượng En là các số lượng tử :

n gọi là số lượng tử chính, l gọi là số lượng tử quỹ đạo, m gọi là số lượng tử từ (vì

có liên quan đến momen từ của hạt, sẽ nói đến ở phần sau).

d. Từ (3.20) ta thiết lập được hệ thức của bước sóng λ của photon phát xạ (hay hấp

thụ) giữa các trạng thái năng lượng n1 và n2 , bằng :



41



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



1



λ



=



⎛ 1

E n 2 − E n1

1 ⎞

= R∞ Z 2 ⎜ 2 − 2 ⎟

⎜n

hc

n2 ⎟

⎝ 1

⎠



2π 2 ( ke ) ( mc )

2



trong đó



R∞ =



( hc )



2



2



(3.24)



= 1, 09787.10−3 Å-1.



e. Bài toán hiệu chỉnh khi xét chuyển động của hạt nhân:

Trên đây ta thiết lập các công thức với giả thiết hạt nhân đủ nặng đối với electron

để có thể xem như khối lượng của nhân là vô cùng lớn so với electron. Nếu coi khối

lượng M của hạt nhân là hữu hạn thì ta đưa về bài toán một hạt có khối lượng rút

gọn μ =



mM

m

=

m + M 1+ m



chuyển động quay quanh khối tâm. Trong các công thức

M



trên, ta thay m bằng μ , còn các đại lượng khác vẫn giữ nguyên (nhưng phải hiểu r

là khoảng cách từ khối tâm của hệ đến khối lượng rút gọn, gốc tọa độ nằm ở khối

tâm). Lời giải vẫn như trước, và thay cho R ∞ là hằng số Rydberg RH có giá trị

bằng :

RH =



R∞

1+ m



-3



-1



= 1.0968.10 Å .

M



Giá trị này phù hợp với thực nghiệm.

3.6. Xác suất tìm thấy electron tại một điểm trong nguyên tử

Theo thuyết Bohr, electron chuyển động trên các quỹ đạo với bán kính Bohr

rn=n2.ao (=ao, 4ao, 9ao, ...với ao=0,53Å). Cơ học lượng tử cho thấy electron

không có quỹ đạo xác định, mật độ xác suất tìm thấy không phụ thuộc t, chỉ liên

quan đến biên độ hàm sóng.

Ψ nlm (r , θ , ϕ ) = Rnl (r )Θlm (θ )Φ m (ϕ )



Theo ý nghĩa của hàm sóng ở chương trước, xác suất tìm thấy electron trong một

đơn vị thể tích tỷ lệ với bình phương biên độ hàm sóng, viết gọn lại như sau :

2



2



2



Ψ = R Θ Φ



2



Ta xét từng thành phần của hàm sóng.

Φ xác định xác suất tìm thấy electron theo hướng có góc ϕ

2



42



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



1



vì Φ(ϕ ) =

Θ



2π

2



eimϕ



nên mật độ xác suất theo góc ϕ là như nhau và không đổi.



xác định xác suất tìm thấy electron theo hướng có góc θ trên mặt phẳng



kinh tuyến. Bài toán này nói chung là phức tạp, ta xét cho các trạng thái đơn giản, ví

dụ trạng thái s.

2



Với trạng thái s, l=m=0 => Θ = const, nghĩa là mật độ xác suất chỉ phụ thuộc

u

r



vào r hay ta có phân bố electron với đối xứng cầu. L đối xứng cầu thì trung bình L

= 0 phù hợp với l=0 ở trạng thái s). Trong trường hợp này, ta chỉ cần tìm hàm

xuyên tâm R(r) phụ thuộc n, l. Kết hợp với điều kiện chuẩn hoá, ta tìm được dạng

của hàm R.

Ví dụ với n = 1, l = 0 ta thu được:

3/ 2 − r

⎛ 1 ⎞

R1,0 (r ) = 2 ⎜ ⎟

⎝ ao ⎠



e



ao



2



Xác suất tìm thấy electron trong vùng không gian (r, r+dr) là dw = Rn,l (r ) r 2 dr . Như

vậy với trạng thái 1s ta có:

3



2r



⎛ 1 ⎞ −

dw = R1,0 (r ) r dr = 4 ⎜ ⎟ e ao .dr

⎝ ao ⎠

2 2



Hàm này có một cực đại tại r=a0 chính là bán kính Bohr thứ nhất.

Với trạng thái 2s, tương tự như vậy ta tìm được hàm dw có hai cực đại.

Tại các vị trí r cho mật độ xác suất dw cực đại, electron xuất hiện nhiều nhất, điều

này dẫn đến hình ảnh đám mây điện tử thay cho khái niệm quỹ đạo trong lý thuyết

cổ điển, được mô tả như hình 3.3.



43



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



Hình 3.3. Đồ thị 3 chiều của biên độ hàm sóng (trái) và mật độ xác suất tìm thấy

electron (phải) trong nguyên tử hidro.

3.7. Mômen từ của nguyên tử Hidro

Ta đã biết trong lí thuyết điện từ, một dòng điện kín có tác dụng như một nam châm.

Hai mặt khác nhau của dòng điện là hai cực Bắc, Nam của nam châm đó.Vì thế dòng

r



điện có một momen từ μ .

Trong nguyên tử, electron chuyển động trên quỹ đạo tròn. Do electron mang điện

nên khi chuyển động như vậy với một tần số lớn thì sự chuyển động đó tương đương

với một dòng điện có cường độ được tính bằng tích số của điện tích electron (e) nhân

với số lần electron đi qua một điểm cho trước trong một giây (f). Ta có:

I = e.f

r



Dòng điện này tạo ra một momen từ. Momen từ μ là một vectơ cùng phương và

ngược chiều với vectơ momen động lượng của electron, về độ lớn bằng :

μ = IS = ef .πr 2



với I là cường độ dòng điện , S- diện tích mạch (gần đúng là diện tích của phần giới

hạn trong quỹ đạo của electron).

Như vậy, theo điện động lực học cổ điển, điện tử chuyển động trên quỹ đạo quanh

hạt nhân có tác dụng tương tự như dòng điện, nó gây ra một mômen từ quỹ đạo.

Momen động lượng có giá trị bằng :

44



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



r

2m r

L = mvr = m(2πrf )r = 2mπr 2 f =

μ

e



Vậy, mômen từ được tính từ mômen động lượng theo biểu thức sau:

r



μ=−



e r

L

2m



(3.25)



r



μ



r

L



Hình 3.4



r



r



Mômen từ μ cùng phương với L , nhưng trái chiều vì điện tích của electron nhỏ hơn

r



r



không (e<0). Tỷ số giữa độ lớn của μ và L không đổi và được gọi là tỷ số từ hồi

chuyển, hay tỉ số từ cơ. Tỷ số từ cơ của mômen động lượng có giá trị bằng



e

.

2m



Do điều kiện lượng tử hoá ta có:

L = nh → μ = n



eh

= n μ0 ,

2me



μ0 =



eh

2me



(3.26)



μ0 = 9, 273.10−24 J / T = 5, 788.10−5 eV / T gọi là manheton Bohr, (được coi như là đơn vị



đo mômen từ trong nguyên tử).

Mômen từ ứng với mỗi n đã cho có giá trị tính theo (3.26), tức là bằng số nguyên lần

manheton Bohr.

Như vậy, khi điện tử chuyển động trên những quỹ đạo dừng thì mômen từ của

nguyên tử bằng số nguyên lần manhêton Bohr. Do quan hệ trùng phương nhưng trái

chiều của hai vectơ mômen động lượng và mômen từ nên từ tính chất lượng tử hoá

mômen động lượng (đã xét ở chương 1 và chương 3) ta cũng suy ra tính chất lượng tử

hoá mômen từ. Ta thấy mômen từ chỉ nhận những giá trị xác định gián đoạn, tính

chất này cũng giống như ở mômen quỹ đạo L.

Sự tồn tại mômen từ của nguyên tử cũng như hiện tượng lượng tử hoá không gian đã

được kiểm chứng bằng thí nghiệm Stern-Gelach.

Cho tới đây ta mới chỉ dùng điều kiện lượng tử hoá Bohr, chưa dùng cơ học lượng tử

để tính mômen từ.



45



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



Sử dụng kết quả của cơ học lượng tử cho toán tử mômen động lượng (xem 3.14) ta có

giá trị của mômen động lượng (quỹ đạo) là:

L = l (l + 1) h → μ = l (l + 1)



eh

= l (l + 1) μ0 (3.27)

2me



Công thức (3.27) cho ta giá trị của mômen từ của nguyên tử hidro theo cơ học lượng

tử, được xác định theo số lượng tử quỹ đạo l.

3.8. Hiệu ứng Zeeman

Do nguyên tử có mômen từ nên việc nghiên cứu sự tương tác của nguyên tử với từ

trường ngoài là một vấn đề lý thú. Từ năm 1862, Faraday đã tìm kiếm sự ảnh

hưởng của từ trường lên các vạch quang phổ, nhưng không thu được hiệu ứng.

Mãi tới năm 1896, nhờ từ trường mạnh, máy quang phổ tinh vi, nhà vật lí người

Hà lan Pieter Zeeman (1865-1943) đã tiến hành một thí nghiệm nghiên cứu ảnh

hưởng của từ trường ngoài lên quang phổ phát xạ của nguyên tử hiđro và thu được

kết quả như sau: khi nguyên tử phát sáng đặt trong từ trường, vạch quang phổ

nguyên tử bị tách thành nhiều vạch xít nhau.

Thí nghiệm được bố trí như sau: Đặt nguyên tử hidro giữa 2 cực nam châm,

đón bức xạ vuông góc với từ trường. Zeeman so sánh các vạch quang phổ của

nguyên tử hiđro khi không có từ trường ngoài và khi đặt trong từ trường ngoài.

Kết quả thu được là: từ 1 vạch phổ trở thành 3 vạch gần nhau.

Lorentz đã dùng thuyết điện từ để giải thích và thấy phù hợp với kết quả thực

nghiệm. Đó là hiệu ứng Zeeman thường.

Sau đó không lâu, năm 1897, T.Preston đã ghi nhận được có trường hợp tách

vạch phức tạp hơn, và không thể giải thích bằng thuyết điện từ cổ điển. Người ta

gọi trường hợp này là hiệu ứng Zeeman dị thường. Phải tới năm 1920 hiệu ứng

này mới được làm rõ cơ chế bằng sự tham gia của spin của electron.

Sự tách vạch quang phổ nói trên chỉ có thể do tương tác giữa momen từ của

nguyên tử hiđro với từ trường ngoài. Năng lượng tương tác này dẫn đến xuất hiện

các mức năng lượng phụ và do đó các vạch quang phổ bị tách ra thành nhiều vạch.

Sau đây ta xem xét sự tương tác đó.



46



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



a. Momen lưỡng cực từ cổ điển

r



Theo (3.25) ta đã thấy nguyên tử hidro có mômen từ μ = −



e r

L.

2m



v



Nguyên tử như một lưỡng cực từ. Khi đặt nó trong từ trường B , mômen từ sẽ chịu

một mômen lực, lái sao cho mômen từ song song với từ trường. Lúc đó, hệ sẽ có

thêm một thế năng có giá trị bằng:

r r

e r r

E B = − μ .B =

L.B

2m



(3.28)



độ biến thiên của thế năng này biểu diễn công mà lực thực hiện để thay đổi sự định

hướng của mômen từ.

Theo thuyết lượng tử, các mức năng lượng ban đầu sẽ bị dịch đi do có năng lượng

phụ này.

r



Chọn trục Oz dọc theo B , do điều kiện lượng tử hoá mômen từ, ta có :

u u

r r

EB = −( μ.B) = − μ z B cosθ = −mz μ B B



mz = −l , −l + 1,..,0,.., l − 1, l



(3.29)



Công thức (3.29) cho ta biết khoảng cách giữa các mức năng lượng bị tách ra khi có

từ trường ngoài, trong hiệu ứng Zeeman thường.

b. Momen lưỡng cực từ lượng tử.

Chuyển sang cơ học lượng tử, đại lượng momen lưỡng cực từ được biểu diễn bằng

toán tử momen lưỡng cực từ.

r

e )

μ =−

L

2m

)

r



(3.30)



Khi đặt lưỡng cực từ trong từ trường ngoài thì lưỡng cực từ có một thế năng. Chọn

r



truc OZ trùng với vectơ từ trường B , Thế năng đó biểu diễn bằng toán tử sau :

)

e )

EB =

BL z

2m



(3.31)

)



Trong hệ tọa độ cầu, biểu thức của L z là (xem chương 2)

)

∂

L z = − ih

∂ϕ

)



Nếu cho toán tử E B =



)

e )

BL z tác dụng lên hàm Yθϕ thì chỉ có L z tác dụng lên thừa

2m



số e imϕ của Yθϕ :



47



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



)

Lz Yθϕ = imYθϕ



Vì lí do trên, số lượng tử m được gọi là số lượng tử từ.

Thay điều kiện lượng tử của L vào (3.30) ta thu được giá trị của mômen từ ứng với

bộ số (n, l):

L = l (l + 1) h → μ = l (l + 1)



eh

= l (l + 1) μ0

2me



Đây chính là công thức (3.27).

c. Giải thích hiệu ứng Zeeman thường

Khi nguyên tử một electron được đặt trong từ trường ngoài thì năng lượng của hệ

sẽ tăng thêm một lượng bằng thế năng của mômen lưỡng cực từ. Chọn trục Oz trùng

r



)



với vectơ từ trường ngoài B . Biểu thức toán tử Hamilton của hệ gồm phần H 0 đã

)



biết và thêm toán tử thế năng momen lưỡng cực từ E B (3.31) :

)

)

)

)

eB )

H = H 0 + EB = H 0 +

LZ

2m



Phương trình Schrödinger dừng bây giờ là :

e ) ⎞

eB

⎛ )

H0 +

BLz ⎟ψ nlm ( r , θ , ϕ ) = Enψ nlm ( r , θ , ϕ ) +

mz hψ nlm ( r ,θ , ϕ )

⎜

2m

2m

⎝

⎠



(3.32)



trong đó mz nhận 2l +1 giá trị từ – l đến l. Nói khác đi, mỗi mức E(n,l) được tách ra

làm 2l + 1 mức con cách đều nhau và có khoảng cách tuỳ thuộc độ lớn của từ

trường ngoài B:

E (mz ) = E (n, l ) + ΔW = E (n, l ) + mz μ B B

(3.33)

mz = −l , −l + 1,..,0,.., l − 1, l



Những kết quả lí thuyết dự đoán trên đây hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm quan

sát được của hiệu ứng Zeeman thông thường. Xét mức năng lượng 2p, ta thấy rằng

trong từ trường mức năng lượng này bị tách ra làm 3 mức. Khi có sự chuyển mức

thoả mãn điều kiện của quy tắc lọc lựa:

Δmz = 0, ±1



(3.34)



thì có photon phát ra và người ta quan sát được 3 vạch quang phổ.

48



Bài giảng VL Nguyên tử, chương 3

Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN



Việc tách các vạch phổ là một bằng chứng về hiện tượng lượng tử hoá momen động

lượng quỹ đạo bởi vì nếu momen động lượng quỹ đạo không bị lượng tử hoá thì hình

chiếu của nó lên trục Oz sẽ nhận giá trị bất kì.

3.9. Thí nghiêm Stern-Gerlach

a. Thí nghiệm Stern-Gerlach.

Năm 1921 hai ông Stern và Gerlach tiến hành một thí nghiệm nhằm khảo sát tác

dụng của từ trường B phụ thuộc tọa độ lên chuyển động của nguyên tử có mômen

động lượng quỹ đạo tổng cộng của các electron bằng không (L=0). Hai ông cho

phóng một chùm nguyên tử bạc trung hoà đi qua một khe chuẩn trực tới màn chắn

là một phim ảnh. Trên phim ghi lai một vết của chùm nguyên tử bạc. Khi cho chùm

nguyên tử bạc đi qua một từ trường không đều trước khi tới màn chắn thì ảnh trên

phim tách thành hai vết đối xứng với vết cũ.(xem hình 4.6). Sự tách một vết thành

hai vết như vậy là rất khó hiểu bởi vì các nguyên tử bạc đã được xử lí để cho

momen động lượng của nguyên tử bằng không, tức là nguyên tử bạc có momen từ

quĩ đạo bằng không.



Hình 3.5 Thí nghiệm Stern-Gerlach

b. Giải thích.

Hiện tượng chùm nguyên tử bạc bị tách ra trong từ trường không đều chỉ có thể

do lực từ tác dụng lên một momen từ có trong nguyên tử đó. Kí hiệu momen từ

r



đó là μ s để khỏi lẫn với mômen từ quĩ đạo μ (mà ở trên đã nói là bằng không ở

r



nguyên tử Ag). Tốc độ biến đổi của từ trường B theo phương Oz (vuông góc với



49