Bài 6. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

Trang 8



HOẶC CỰC TIỂU) TẠI X = X0

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

+ Điều kiện cần: để hàm số y = f(x) đạt cực trị (hoặc cực đại, hoặc cực tiểu) tại x = x 0

là f ' ( x 0 ) = 0 . Từ đó tìm được các giá trị của m.

+ Điều kiện đủ: Với m tìm được, sử dụng điều kiện đủ để kết luận các giá trị của m.

A. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1: Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 2 x 2 + mx + 1 đạt cực

tiểu tại x =1.

Lời giải

Ta có y ' = 3x 2 − 4 x + m.

Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì y’(1)=0, suy ra m=1.

Với m=1 thì y = x3 − 2 x 2 + x + 1, y ' = 3 x 2 − 4 x + 1, y '' = 6 x − 4

Mà y’(1) =0 và y '' ( 1) = 2 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1

Vậy m=1 là giá trị cần tìm

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 3

2

2

2

Bài 1. Tìm m để hàm số y = x + ( m − m + 2 ) x + ( 3m + 1) x + m − 5 đạt cực trị tại

3

x = 2.

Bài 2. Cho hàm số y = ( x − m ) − 3x + m3 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có

3



hoành độ x = 0.

Bài 3. Tìm m để hàm số y = mx 3 + 3x 2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2.

x 2 + mx + 1

Bài 4. Xác định m để hàm số y =

đạt cực tiểu tại x = 2.

x+m

n

Bài 5. Tìm các số thực m, n sao cho hàm số f ( x ) = mx +

đạt cực đại tại điểm

x +1

x = -2 và f(-2) = -2



DẠNG 4. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM

SỐ



Trang 9

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

ax 2 + bx + c

1. Với hàm số: y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) và y =

( ad ≠ 0 )

dx + e

+ Điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có 2 cực trị, hoặc có cực đại và cực tiểu) là

phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt, giả sử là x1, x2.

3



2



+ Khi đó các điểm cực trị của hàm số là nghiệm phương trình y' = 0 .

S = x1 + x 2

Chú ý: Ta thường áp dụng hệ thức Viet để tìm 

P = x1.x 2



( từ pt y’=0)



4

2

2. Với hàm số: y = ax + bx + c ( a ≠ 0 )



+ Điều kiện để hàm số có đúng 3 cực trị là phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

+ Khi đó điểm cực trị của hàm số là nghiệm phương trình y' = 0 .

A. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m , với m là tham số thực.

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 − x2 ≤ 2 .

Lời giải.

Ta có y ' = 3x 2 − 6(m + 1) x + 9.

+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x 2

⇔ phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt là

⇔



x1 , x2



x 2 − 2(m + 1) x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là



x1 , x 2 .



 m > −1 + 3

⇔ ∆ ' = (m + 1) 2 − 3 > 0 ⇔ 

 m < −1 − 3





(1)



+) Theo định lý Viet ta có x1 + x 2 = 2( m + 1); x1 x 2 = 3.

Khi đó

x1 − x2 ≤ 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ≤ 4 ⇔ 4 ( m + 1) − 12 ≤ 4

2



⇔ ( m + 1) 2 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1



2



(2)



Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là −3 ≤ m < −1 − 3 và −1 + 3 < m ≤ 1.

Ví dụ 2: ĐỀ THI THỬ LẦN 1-2011- TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM

Cho hàm số y = x 3 − 3( m + 1) x 2 + 3(2m + 1) x − 4



(1)



1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m= - 1



Trang 10

2)Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu và hai điểm cực đại, cực tiểu của

đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua điểm I ( 0; 4)

Lời giải

2.Hàm số có CĐ, CT ⇔ pt y ' = 3x 2 − 6(m + 1) x + 6m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt

x1 = 1,



x2 = 2m + 1 với mọi m



Hai điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua điểm I (0 ,4) điều kiện cần

là



x1 + x2

= 0 ⇔ 2m + 2 = 0

2



⇔ m = −1



Điều kiện đủ : m=-1 hàm số khảo sát ở câu a có 2 điểm CĐ (-1 ;-2 ) CT(1;-6) đối

xứng qua điểm I (0 ;-4 )

Vậy m =-1 là giá trị cần tìm

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

3

2

2

2

Bài 1. Cho hàm số y = x + 2 ( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x − 2 ( m + 1) . Tìm m để hàm



số đạt cực trị tại 2 điểm x1 , x 2 sao cho



1

1 1

+

= ( x1 + x 2 ) .

x1 x 2 2



2 3

2

Bài 2. Cho hàm số y = x + ( cos α − 3sin α ) x − 8 ( 1 + cos 2α ) x + 1 . Chứng minh

3

rằng hàm số luôn có 2 cực trị. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 , x 2 , chứng minh rằng:

2

x1 + x 2 ≤ 18 .

2



Bài 3. Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 + 1 . Tìm quỹ tích điểm cực đại của đồ thị hàm số

khi m thay đổi.

3

2

Bài 4. Tìm m để đồ thị hàm số y = x + ( 1 − 2m ) x + ( 2 − m ) x + m + 2 có cực đại,



cực tiểu và hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

x 2 + 2x + m 2 + 2

Bài 5. Cho hàm số y =

. Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực

x +1

đại và cực tiểu với mọi m, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía đối

với trục hoành.

Bài 6. Cho hàm số y =



( m + 1) x 2 − 2mx − ( m3 − m 2 − 2 ) , với m là tham số khác -1.

x−m



Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng ( 0;2 ) .

1 3 1 2 3 2

Bài 7. Cho hàm số y = x + mx + ( m − 1) x

3

2

4



Trang 11

a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

2

2

b, Gọi x1, x2 là các điểm cực đại, cực tiểu. Tìm m để x1 + x2 = x1 + x2



DẠNG 5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ

THỊ HÀM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

ax 2 + bx + c

1. Với hàm số: y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) và y =

dx + e

3



2



( ad ≠ 0 )



Trang 12

 Điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có 2 cực trị, hoặc có cực đại và cực tiểu)

là phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.

 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A ( x1; y1 ) và B ( x 2 ; y 2 ) , trong đó x1; x 2 là

các nghiệm của phương trình y' = 0 .

Chú ý: Kĩ năng tính tung độ của các điểm cực trị khi hoành độ các điểm cực trị

không đẹp ( x1, x2 vô tỷ).

3

2

a) Với hàm số: y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 )



• Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được



y=y’.p(x)+r(x)



 y1 = r ( x1 )



• Do tại các điểm cực trị thì y’=0 nên 

 y2 = r ( x2 )



• Hệ quả : đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phương

trình là:



b) Với hàm số: y =



y=r(x)



ax 2 + bx + c

dx + e



hay



2

b 

bc 



y =  c − ÷x +  d − ÷

3

3a 

9a 





( ad ≠ 0 )



Ta có bổ đề sau:

Nếu y ( x ) =



u ( x)

và có

v( x)



 y ' ( x0 ) = 0

u ( x0 ) u ' ( x0 )



=

thì y ( x0 ) =



v ( x0 ) v ' ( x0 )

v ( x0 ) ≠ 0







Thật vậy:

y ' ( x0 ) = 0 ⇔



u ' ( x0 ) .v ( x0 ) − u ( x0 ) .v ' ( x0 )

=0

v 2 ( x0 )



⇔ u ' ( x0 ) .v ( x0 ) − u ( x0 ) .v ' ( x0 ) = 0 ⇔ u ' ( x0 ) .v ( x0 ) = u ( x0 ) .v ' ( x0 )

⇔



u ( x0 ) u ' ( x0 )

u ' ( x0 )

=

⇔ y ( x0 ) =

v ( x0 ) v ' ( x0 )

v ' ( x0 )



Coi u(x)= ax2 + bx + c và v(x)= dx + e

Áp dụng với hàm số trên tại các điểm cực trị A, B thì

 y ' ( x1 ) = 0





 y ' ( x2 ) = 0





u ' ( x1 ) 2a.x1 + b



=

 y ( x1 ) =

v ' ( x1 )

d



nên 

 y ( x ) = u ' ( x2 ) = 2a.x2 + b

2



v ' ( x2 )

d





Trang 13

Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu là

y=



u ' ( x ) 2a

b

=

x+

v '( x )

d

d



4

2

2. Với hàm số: y = ax + bx + c ( a ≠ 0 )



+ Điều kiện để hàm số có đúng 3 cực trị là phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

+ Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A ( 0;c ) ; B ( x1; y1 ) và C ( x 2 ; y 2 ) , trong đó 0 và

x1; x 2 là các nghiệm của phương trình y' = 0 .

+ Chú ý: Ta luôn xác định được cụ thể các điểm cực trị của đồ thị hàm số này.

A. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai

điểm cực trị nhỏ nhất.

Lời giải.

2. Giải phần a ta đã tìm được các điểm cực trị

Gọi điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2)

Xét biểu thức P=3x-y-2

Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P= - 4<0, thay tọa độ điểm B(2;-2)=>P=6>0

Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2, để

MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng

Phương trình đường thẳng AB: y = - 2x+2

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:



Ví dụ 2



4



x=



 y = 3x − 2



4 2

5

⇔

=> M  ; ÷



5 5

 y = −2 x + 2  y = 2



5





Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1



(1)



( với m là tham số)



Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân

Lời giải

TXĐ D=R



Trang 14

y = x 4 − 2 m 2 x 2 + 1 ⇒ y ' = 4 x 3 − 4m 2 x

x = 0

y' = 0 ⇔ 

 x = ±m

Để hàm số có ba cực trị ⇔ m ≠ 0



2

2

Giả sử ba điểm cực trị là A ( 0;1) , B ( m;1 − m ) , C ( −m;1 − m )

uuu

r

uuu

r

4

4

Ta có AB = ( m; −m ) , AC = ( −m; −m ) và AB = AC



Do vậy tam giác ABC vuông cân

uuu uuu

r r

m ≠ 0

m ≠ 0

⇔ AB. AC = 0 ⇔  2

⇔ 6

⇔ m = ±1

− m + m8 = 0  m = 1



Vậy với m= ± 1 thì 3 điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân

Ví dụ 3 Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1.

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m

thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng

d: x + 8y – 74 = 0.

Lời giải

Ta có y’ = - 3x2 + 6mx ;



y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2m.



Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ m ≠ 0.

Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1)

Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1)

uuu

r

r

Vectơ AB = (2m;4m3 ) ; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u = (8; −1) .

Hai điểm cực đại, cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d

I ∈ d

⇔

 AB ⊥ d



m + 8(2m3 − 3m − 1) − 74 = 0



r

⇔  uuu r

⇔m=2

 AB.u = 0





Ví dụ 4. Cho hàm số



y = x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 + m (1)



1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1



Trang 15

2. Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ

thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị

hàm số đến gốc tọa độ O.

Lời giải

2. Ta có



y , = 3 x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1)



Để hàm số có cực trị thì PT



y , = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt

⇔ ∆ = 1 > 0, ∀m



Khi đó y’=0 có hai nghiệm là x1 = m − 1, x2 = m + 1

Bảng biến thiên



x

y’

y



−∞

+



m-1

0

2-2m



−∞



−



+∞



m+1

0



+



+∞



-2-2m



Gọi điểm cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và điểm cực tiểu của đồ thị hàm

số là B(m+1;-2-2m)

Theo giả thiết ta có



 m = −3 + 2 2

OA = 2OB ⇔ m 2 + 6m + 1 = 0 ⇔ 

 m = −3 − 2 2





Vậy có 2 giá trị của m là m = −3 − 2 2 và



m = −3 + 2 2 .



Ví dụ 5 – ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2009-2010

3

2

Cho hàm số y = f ( x ) = x − 3x + 3 ( 1 − m ) x + 1 + 3m



( 1)



Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua

hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng x+y=0 một góc có

số đo 300.

Lời giải

2

Ta có y ' = 3x − 6x+3 ( 1-m )

2

Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình 3x − 6x+3 ( 1-m ) = 0 có hai nghiệm



phân biệt ⇔ m > 0

Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được:



Trang 16

x −1

− 2mx + 2m + 2

3

Tại các điểm cực đại, cực tiểu thì y’=0 nên phương trình đường thẳng đi qua điểm

cực đại và cực tiểu là y=-2mx+2m+2

Đường thẳng đi qua điểm CĐ và điểm CT tạo với đường thẳng x+y=0 một góc 300

y = 3 x 2 − 6 x + 3 ( 1 − m )  .







⇔



2m + 1



= cos300 =



4m 2 + 1. 2

⇔ 4m 2 − 8m + 1 = 0



2− 3

m =

2

⇔



2+ 3

m =



2



3

2



thoả mãn điều kiện





2− 3

m =

2

Kết luận: 

là giá trị cần tìm



2+ 3

m =



2

x 2 − ( m + 3) x + 3m + 1

Ví dụ 6: Cho hàm số y =

x −1

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số đều nằm

phía dưới trục hoành

Lời giải

TXĐ : D = ¡ \ { 1}

x 2 − ( m + 3) x + 3m + 1

x 2 − 2 x − 2m + 2

y=

⇒ y' =

2

x −1

( x − 1)



Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ x 2 − 2.x − 2m + 2 = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , ≠ 1 ⇔ m >

Giả sử A ( x1; y1 ) ;B ( x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số

Áp dụng bổ đề trên ta có y1 = 2x1 − ( m + 3) ; y 2 = 2x 2 − ( m + 3)

Mà x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1)

 x1 + x 2 = 2

Áp dụng hệ thức Viet với phương trình (1) ta có 

 x1x 2 = −2m + 2

 y1 + y 2 = −2m − 2

Do đó 

2

 y1y 2 = m − 6m + 5

 y1 < 0

 y + y 2 < 0 −2m − 2 < 0

⇔ 1

⇔ 2

Yêu cầu bài toán ⇔ 

 y 2 < 0  y1y 2 > 0

m − 6m + 5 > 0



1

2



Trang 17

1

Kết hợp điều kiện m > ta được

2



1

2 < m <1



m > 5



1

< m < 1 hoặc m>5 thỏa mãn đề bài

2

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Vậy



Bài 1: Cho hàm số:



1, y= x 3 − 3x 2 − mx + 2



2, y=x3+mx2-1

a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

b, Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu.

− x 2 + mx − m 2

Bài 2: Cho hàm số y = f ( x ) =

x−m

a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

b, Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu.

Bài 3. Cho y = − x 3 + mx 2 − 4 . Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số và M(1;

10) thẳng hàng.

Bài 4. Cho y = x 3 − 3x 2 − 6x + 8 , viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

của đồ thị hàm số.

1 3

2

Bài 5. Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + ( 4m + 1) x − 1 . Tìm m để hàm số có 2 cực

3

trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

3

1

Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − mx 2 + m3 có 2 điểm cực trị đối xứng

2

2

nhau qua d: y = x.

1 3

2

Bài 7. Chứng minh rằng với mọi m, hàm số y = x − mx − x + m + 1 luôn có cực

3

đại, cực tiểu. Xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồ

thị hàm số trên nhỏ nhất.

Bài 8. Cho hàm số y = x 3 − 6x 2 + 3mx − m + 2 . Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại tại

A(x1 , y1 ) và cực tiểu tại B ( x 2 , y 2 ) sao cho



y1 − y 2

<0

( x 1 − x 2 ) ( x 1x 2 + 2 ) .



3

2

Bài 9. Cho hàm số y = 2x + 3 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) x − 1 . Tìm m để đường thẳng đi



qua 2 điểm cực trị song song với đường thẳng y = −4x + 2010 .



Trang 18

Bài 10. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + 4 có các điểm cực đại, cực

tiểu lập thành tam giác đều.

1

Bài 11. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m có 3 điểm cực trị và 3 điểm cực

4

trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32 2 .

Bài 12. Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m – 1, tìm m để hàm số có 3 cực trị và các điểm

cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp

bằng 1.

1

Bài 13. Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + 2m − 1 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

4

Viết phương trình Parabol (P) đi qua 3 điểm cực trị đó. Chứng minh rằng (P) luôn đi

qua 2 điểm cố định.

x 2 − mx + m

Bài 14. Cho hàm số y =

. Chứng minh với mọi m hàm số luôn luôn có

x −1

cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị là không đổi.

x 2 − ( m + 1) x − m 2 + 4m − 2

Bài 15. Cho hàm số y =

. Tìm tất cả các giá trị của tham

x −1

số m thì hàm số đã cho có cực trị. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt

giá trị nhỏ nhất.

x 2 + 2mx + 2

Bài 16. Cho hàm số y =

.Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm

x +1

cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0

bằng nhau.

x 2 − ( 3m + 1) x + 4m

. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm

2x − 1

cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x + y + 1 = 0 .

Bài 17. Cho hàm số y =



3

2

Bài 18. Cho hàm số y = mx − 3mx + ( 2m + 1) x + 3 − m . Tìm m để hàm số có cực



trị. Tìm điểm cố định của đường thẳng đi qua các điểm cực trị

Bài 19. Cho hàm số y =



mx 2 + ( m 2 + 1) x + 4m3 + m



.

x+m

Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ II và một điểm

cực trị thuộc góc phần tư thứ IV.

3

2

Bài 20. Cho hàm số y = 2 x + 3 ( m − 3) x + 11 − 3m và B(0;-1). Gọi M1, M2 là hai



điểm cực trị của hàm số, tìm m để M1, M2 và B thẳng hàng.