C. BÀI TOÁN KHAI THÁC:

Dễ dàng chứng minh được tam giác AC’B’ vuông ở C’.

Nên ta có:

VS.AB'C' SA SB' SC' SB' SC' SB'.SB SC'.SC ( SA ) ( SA )

4a 2

1

=

. .

=

.

=

.

=

.

= 2 2=

2

2

2

2

VS.ABC SA SB SC SB SC

SB

SC

( SB ) ( SC ) 4a .3a 3

2



2



VS.AB 'C '

1

1

2

=

Vậy VS.AB'C' = VS.ABC ⇒ VA.BCC 'B ' = VS.ABC . Hay

VA.BCC ' B ' 2

3

3

Ví dụ 2:



Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’,

D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC

tại C’. Tính tỉ số thể tích



VS.AB'C ' D '

.

VABCDD 'C ' B'



Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC

và BD và I là giao điểm của

SO và B’D’. Khi đó AI cắt

SC tại C’.

Ta có:

VS.AB ' C ' SB' SC ' 1 SC'

=

.

=

VS.ABC

SB SC 2 SC

VS.AC ' D ' SC ' SD ' 1 SC '

=

.

=

VS.ACD

SC SD 2 SC



Suy ra:

1 SC'

1 SC'

VS.AB 'C ' + VS.AC ' D ' = .

(VS.ABC + VS.ACD ) = .

.VS.ABCD

2 SC

2 SC



Kẻ OO’//AC’ (O’∈SC). Ta có SC’ = C’O’ = O’C.

Do đó:

V

1

1 1

VS.A 'B 'C ' D ' = . .VS.ABCD Hay S.A ' B 'C ' D ' =

VS.ABCD

6

2 3



Suy ra: VABCDD 'C 'B ' =



VS.AB ' C ' D '

1

5

=

. Vậy

VABCDD 'C ' B ' 5

6



Trang: 3/23



Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC lấy M và N lần lượt trên các cạnh SA và SB sao

SM 1 SN

= ,

= 2 . Mặt phẳng (α) qua MN song song với SC chia

MA 2 NB

khối chóp thành hai phần, tìm tỉ số thể tích của hai phần đó.

cho



Lời giải:

Kéo dài MN cắt AB tại I, kẻ MD song song SC (D ∈ AC); E =DI ∩ CB.

Khi đó tứ giác MNED là thiết diện khối chóp cắt bởi (α).



Ta có:



VA.MDI AM AD AI 2 2 4 16

=

.

.

= . . =

VA.SCB

AS AC AB 3 3 3 27



Vậy VA.MDI =

1

3



16

VA.SCB

27

4

3



(Do kẻ MJ//AB ta có : ∆NMJ = ∆NIB , BJ = NJ ⇒ BI = AB ;AI = AB)

Ta lại có:



VIBNE

VIAMD



Suy ra: VI.BNE

⇒



VAMDEN



=



IB IN IE 1 1 1 1

.

. = . . =

IA IM ID 4 2 2 16



=



1

1 16

1

VA.MDI = . VS.ABC =

VS.ABC

16

16 27

27



= VAMDI − VIBNE =



16

1

5

VS.ABC − VS.ABC = VS.ABC

27

27

9



Gọi VSMDCEN là phần thể tích còn lại ta có :

4

9



VSMDCEN = VS.ABC − VAMDEN = VS.ABC



Trang: 4/23



Vậy:



VAMDBNE

VSMDCEN



5

V

9 S.ABC = 5

=

4

VS.ABC 4

9



Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a;

SA = SB = SC = 2a . Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là giao điểm

của đường thẳng SD và mặt phẳng (MBC). Gọi V, V1 lần lượt là thể tích

của các khối chóp S.ABCD và S.BCNM. Tính tỷ số



V1

.

V



(Trích đề thi HSG Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu - 2009)

Lời giải:

Do (MBC) chứa BC//(SAD) nên N là

giao điểm của đường thẳng qua M song

song với AD. Suy ra N là trung điểm SD.

Ta có:



VS.ABC = VS.ACD =



V

2



(Do ABCD là hình thoi nên S∆ABC = S∆ACD )

VS.MBC SB SC SM SM 1

=

. .

=

=

VS.ABC SB SC SA SA 2



⇒



VS.MBC =



V

4



VS.MCN SM SC SN SM SN 1

V

=

. .

=

.

= ⇒ VS.MCN =

VS.ACD SA SC SD SA SD 4

8



Suy ra: V1 = VS.MBC + VS.NCM =



3V

V 3

. Vậy 1 = .

V 8

8



Trong quá trình tính thể tích của khối đa diện, không phải khi nào chúng ta cũng

có thể tính trực tiếp được một cách dễ dàng. Việc vận dụng bài toán mở rộng trên để

tính thể tích khối đa diện chúng ta gặp thường xuyên trong các đề thi nhất là các kỳ

thi ĐH và các kỳ thi HSG. Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán điển hình về ứng

dụng bài toán mở rộng trên để tính thể tích.



Trang: 5/23



II . ỨNG DỤNG ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH:

Ví dụ 1: Cho



hình



chóp



S.ABCD



có



đáy



ABCD



là



hình



thang,



·

·

BAD = ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) và SA=2a.



Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp

S.BCNM theo a?

(Trích đề thi ĐH & CĐ khối B năm 2008)

Lời giải :

Áp dụng công thức ta có:



VS.BCM SB SC SM 1 VS.CMN SM SN SC 1

=

. .

= ;

=

.

.

= .

VS.BCA

SB SC SA 2 VS.CAD

SA SD SC 4

VS.BCNM = VS.BCM + VS.CNM =



Ta có:



1

1

VS.BCA + VS.CAD .

2

4



1

VS.ABC = SA.S∆ABC

3

1

1

1

= SA. BA.BC = a 3

3

2

3



và:



1

VS.ACD = .SA.S∆ACD

3

1

1

= .SA. CA.CD

3

2

1

1

2

= .2a. a 2.a 2 = a 3

3

2

3



Vậy:



VS.BCNM = VS.BCM + VS.CNM =



1

1

a 3 2a 3 a 3

VS.BCA + VS.CAD =

+

=

2

4

2.3 4.3 3



Nên:



VS.BCNM = VS.BCM + VS.CNM =



1

1

a 3 2a 3 a 3

VS.BCA + VS.CAD =

+

= .

2

4

2.3 4.3 3



Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên

SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích

khối tứ diện CMNP theo a



Trang: 6/23



(Trích đề thi ĐH & CĐ khối A năm 2007)

Lời giải :



VCMNP CN CP 1

=

.

=

VCMBD CB CD 4



(1)



VCMBD VM.BCD MB 1

=

=

=

VCSBD VS.BCD

SB 2



Ta có:



(2)



Nhân theo vế (1) với (2) ta có:



VCMNP 1

1

= ⇒ VCMNP = .VS.BCD

VS.BCD 8

8

Gọi H là trung điểm của AD ta có SH ⊥ AD mà (SAD) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥(ABCD)

Do đó:



1

1 a 3 1 2 a3 3

VS.BCD = .SH.S∆BCD = .

. a =

3

3 2 2

12



Vậy:



VCMNP =



a3 3

(đvtt)

96



Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a; BC = a 2 .

Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = b. Gọi M là trung điểm SD, N

là trung điểm AD. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua BM và cắt mặt phẳng

(SAC) theo một đường thẳng vuông góc với BM. Chứng minh rằng: AC

⊥ (BMN) và tính thể tích khối đa diện S.KMHB.

Lời giải :

Dễ CM được AC ⊥ BN

Lại có:



MN // SA



⇒



MN ⊥ AC



(1)



(2)



Từ (1) và (2) ta có:

AC ⊥ (BMN)

Giả sử (P) cắt



(SAC) theo



giao tuyến (d) ⊥ BM.

Mà do (d) và AC đồng phẳng

⇒



(d) // (AC).



Trang: 7/23



Gọi:



O = (AC)∩(BD).



Trong mặt phẳng (SBD): SO cắt BM tại I.

Qua I kẻ đường thẳng (d) // (AC) cắt SA, SC lần lượt tại H, K ⇒ Mặt

phẳng (MHBK) là mặt phẳng (P) cần dựng.

Lại vì I là trọng tâm ∆SDC và HK//AC nên:

SH SK SI 2

=

=

=

SC SA SO 3



(3)



Theo công thức tính tỉ số thể tích ta có:

VSMBK

VSDBA



=



SM SB SK 1

. .

= ;

SD SB SA 3



VSMHB

SM SH SB 1

=

.

.

= .

VSDCB

SD SC SB 3



⇒ VSKMHB =VSKMB + VSMHB =



1

1

1

( VS.DBC + VS.DBA ) = .VS.ABCD = 2.a 2 b (đvtt)

3

3

3



Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm

các cạnh BD và AC .Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên DN lấy điểm Q

sao cho PQ song song với CM. Tính thể tích khối tứ diện AMNP .

(Tích đề thi HSG tỉnh Nghệ An 2009 )

Lời giải :Qua B kẻ đường thẳng d song

song CM. Gọi K là giao điểm

của đường thẳng CD và d. Khi

đó Q là giao điểm của DN và

AK. Từ Q kẻ đường thẳng d’

song song với AK. Khi đó P là

giao của d’ và AB. Gọi I là

giao của AM và DP ta có NI,

CM, PQ đôi một song song.

Trong mặt phẳng (ACM) kẻ

NI//CM ( I ∈ AM );

Gọi E là trung điểm PB suy ra ME // PI và P là trung điểm AE nên ta có:



Trang: 8/23



AP 1

=

AB 3

MC là đường trung bình tam giác DBK nên:

BK = 2CM = 3



Suy ra:



PQ AP 1

1

3

=

= ⇒ PQ = P =

BK AB 3

3

3

VAMNP AM AN AP 1 1 1

=

.

.

= . =

VAMCB AM AC AB 2 3 6



Do M là trung điểm BD nên:

VAMCB =



1

VABCD

2



Tứ diện ABCD có cạnh bằng 1 nên:



VABCD =

Vậy:



2

1 2

2

(ĐVTT) ⇒ VAMCB = .

=

12

2 12 24



1

2

(ĐVTT)

VAMNB = VAMCB =

6

144



Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a; SA = a 3 và SA

vuông góc với đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC và cắt SB,

SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a

.

(Trích đề thi HSG Tỉnh Hải Dương 2012)

Lời giải :

Ta có:



BC ⊥ AB; BC ⊥ SA



⇒



BC ⊥ (SAB);

SC ⊥ (P) ⇒ SC ⊥ AB’



⇒



AB’⇒ (SBC).



Tương tự ta cũng có:

AD’ ⊥ SD



Trang: 9/23



Lại có:



VS.AB ' C ' D ' = Vs.AB 'C ' + VS.AD ' C '

VS.AB 'C '

SA SB' SC ' SB.SB' SC.SC '

=

.

.

=

.

=

VS.ABC

SA SB SC

SB2

SC2

SA 2 SA 2 3 3 9

=

.

= . =

SB2 SC 2 4 5 20



VS.AD 'C '

SA SD ' SC' SD.SD ' SC.SC'

=

.

.

=

.

VS.ADC

SA SD SC

SD 2

SC 2

=



Do:



(1)



(2)



SA 2 SA 2 3 3 9

.

= . =

SD 2 SC 2 4 5 20



1 1

a3 3

VS.ABC = VS.ADC = . .a 2 .a 3 =

3 2

6



Khi đó cộng theo vế (1) và (2) ta có:



VS.AB 'C ' VS.AD 'C '

VS.AD ' C ' VS.AB ' C '

+ 3

= 9

9

9

+

=

+

= a3 3

a 3

VS.ADC

VS.ABC

20 20 10

6

6

⇒



VS.AB 'C ' D ' =



9 a 3 3 3 3.a 3

=

10 6

20



Việc chứng minh và ứng dụng các đẳng thức thức hình học không gian là rất

quan trọng song không hề dễ dàng để chứng minh các đẳng thức đó . Sau đây tôi xin

đưa ra một ra một số đẳng thức quan trong và việc chứng minh hết sức đơn giản

bằng việc vận dụng bài toán mở rộng trên .

III. ỨNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng

(α) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’.

Chứng minh rằng:



SA SC SB SD

+

=

+

.

SA ' SC' SB' SD '



Lời giải :



Trang: 10/23



Xét các hình chóp S.ABC và S.ADC ta có:

VS.A ' B' C ' SA ' SB' SC '

=

.

.

VS.ABC

SA SB SC



(1)



Và:



VS.A ' D ' C ' SA ' SD ' SC '

=

.

.

VS.ADC

SA SD SC



(2)



Vì:



VS.ABC = VS.ACD =



1

VS.ABCD .

2



Cộng theo vế (1) và (2) ta có:

VS.A ' B 'C ' D ' SA ' SB' SC' SA ' SD ' SC'

=

.

.

+

.

.

1

SA SB SC SA SD SC

VS.ABCD

2



(3)



Tương tự xét các hình chóp S.ABD và S.BCD ta có:

VS.A ' B ' D ' SA ' SB' SD '

=

.

.

VS.ABC

SA SB SD



(4)



và:



VS.B' C ' D ' SB' SC ' SD '

=

.

.

VS.BCD

SB SC SD



(5)



vì:



VS.ABD = VS.BCD =



1

VS.ABCD

2



Cộng theo vế (4) và (5) ta có:

VS.A ' B 'C ' D ' SA ' SB' SD ' SB' SC ' SD '

=

.

.

+

.

.

1

SA SB SD SB SC SD

VS.ABCD

2



(6)



Từ (3) và (6) ta có:



Trang: 11/23