III. ỨNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC:

Xét các hình chóp S.ABC và S.ADC ta có:

VS.A ' B' C ' SA ' SB' SC '

=

.

.

VS.ABC

SA SB SC



(1)



Và:



VS.A ' D ' C ' SA ' SD ' SC '

=

.

.

VS.ADC

SA SD SC



(2)



Vì:



VS.ABC = VS.ACD =



1

VS.ABCD .

2



Cộng theo vế (1) và (2) ta có:

VS.A ' B 'C ' D ' SA ' SB' SC' SA ' SD ' SC'

=

.

.

+

.

.

1

SA SB SC SA SD SC

VS.ABCD

2



(3)



Tương tự xét các hình chóp S.ABD và S.BCD ta có:

VS.A ' B ' D ' SA ' SB' SD '

=

.

.

VS.ABC

SA SB SD



(4)



và:



VS.B' C ' D ' SB' SC ' SD '

=

.

.

VS.BCD

SB SC SD



(5)



vì:



VS.ABD = VS.BCD =



1

VS.ABCD

2



Cộng theo vế (4) và (5) ta có:

VS.A ' B 'C ' D ' SA ' SB' SD ' SB' SC ' SD '

=

.

.

+

.

.

1

SA SB SD SB SC SD

VS.ABCD

2



(6)



Từ (3) và (6) ta có:



Trang: 11/23



SA ' SB' SC ' SA ' SD ' SC '

.

.

+

.

.

=

SA SB SC SA SD SC

SA ' SB' SD ' SB' SC' SD '

.

.

+

.

.

SA SB SD SB SC SD

⇔



SA ' SB' SC' SD '  SD SB 

.

.

+



÷=

SA SB SC SD  SD ' SB' 



SA ' SB' SC ' SD '  SC SA 

.

.

+



÷

SA SB SC SD  SC ' SA ' 

⇔



SD SB SC SA

+

=

+

. Suy ra điều phải chứng minh.

SD ' SB' SC ' SA '



Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC. Gọi G là trong tâm tam giác ABC. Mặt phẳng

(α) bất kì cắt các cạnh SA, SB, SC, SG lần lượt tại các điểm A’, B’, C’,

G’ khác S.

Chứng minh rằng:

SA SB SC

SG

+

+

=3

.

SA ' SB' SC'

SG '

Lời giải :

Do G là trọng tâm của tam

giác ABC nên:

VS.ABG = VS.BCG



1

= VS.ACG = VS.ABC

3

Ta có:

VS.A ' B 'C ' SA ' SB' SC '

=

.

.

VS.ABC

SA SB SC



(1)



Trang: 12/23



Mặt khác ta có:



VS.A 'B'C' VS.A ' B'G ' VS.A 'C 'G ' VS.B'C 'G '

=

+

+

=

VS.ABC

VS.ABC

VS.ABC

VS.ABC



1 V

V

V

=  S.A ' B 'G ' + S.A ' C 'G ' + S.B 'C 'G ' ÷

3  VS.ABG

VS.ACG

VS.BCG 

1  SA ' SB' SG ' SA ' SC ' SG ' SB' SC ' SG ' 

= 

.

.

+

.

.

+

.

.

÷

3  SA SB SG SA SC SG SB SC SG 

=



1 SA ' SB' SC ' SG '  SC SB SA 

.

.

.

+

+



÷

3 SA SB SC SG  SC ' SB' SA ' 



(2)



Từ (1) và (2) ta có:

SA SB SC

SG

+

+

=3

. Suy ra điều phải chứng minh.

SA ' SB' SC '

SG '

Ví dụ 3 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a ,AH là đường cao của tứ diện và O là

trung điểm của AH. Một mặt phẳng qua O cắt các cạnh AB, AC, AD lần

lượt tại M ,N ,P . CMR:



1

1

1

6

+

+

=

AM AN AP a



Lời giải

Ta có :



VA.MNP AM AN AN

=

.

.

VA.BCD AB AC AD



(1)



Mặt khác :



VA.MNP VA.MON + VA.NOP + VA.PON

=

VA.BCD

VA.BCD

=



VA.MON VA.NOP VA.PON

+

+

VA.BCD VA.BCD VA.BCD



=



VA.MON

V

V

1

+ A.NOP + A.PON ( Do VA.BCH = VA.CDH = VA.BDH = VA.BCD )

3VA.BCH 3VA.CDH 3VA.BDH

3



1  AM AN AO AN AP AO AP AM AO 

.

.

+

.

.

+

.

.

= 

÷

3  AB AC AH AC AD AH AD AB AH 

1 1  AM AN



AN AP



AP AM 



.

+

.

+

.

= . 

÷

3 2  AB AC AC AD AD AB 



Trang: 13/23



=



1 AM AN AP  AD AB AC 

.

.

+

+

÷

6 AB AC AD  AP AM AN 



Từ (1) và (2) ta có :



(2)



AM AN AN 1 AM AN AP  AD AB AC 

.

.

+

+

.

.

=

÷

AB AC AD 6 AB AC AD  AP AM AN 



1 a

a

a 

1= 

+

+

÷

6  AM AN AP 



Hay ta có :



1

1

1

6

+

+

=

. Suy ra điều phải chứng minh .

AM AN AP a



Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC, Lấy điểm M nằm trong tam giác ABC các đường

thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt các mặt bên lần lượt tại các

điểm A’, B’, C’.Chứng minh rằng:



VM.A ' B ' C ' MA ' MB' MC '

=

.

.

VS.ABC

SA SB SC



Lời giải :

Gọi A1, B1, C1 lần lượt là điểm

đối xứng với A’, B’, C’ qua M.

Khi đó ta có:

VM.A ' B 'C ' = VM.A1B1C1 . Trên các cạnh



SA, SB, SC lấy lần lượt các điểm

A 2 ; B2 ; C 2 sao cho:



SA 2 = MA ' ;SB2 = MB' ;SC 2 = MC'



Khi đó hình chóp S.A 2 B2C 2 là ảnh của hình chóp M.A1B1C1 qua phép

uu

ur

tịnh tiến theo véc tơ MS

Nên ta có:



VM.A ' B' C ' = VM.A1B1C1 = VS.A 2B2C 2 .

Khi đó:



VM.A ' B 'C ' VS.A2B2C2 SA 2 SB2 SC 2

=

=

.

.

.

VS.ABC

VS.ABC

SA SB SC



Trang: 14/23



Hay:



VM.A ' B ' C ' MA ' MB' MC'

=

.

.

.

VS.ABC

SA SB SC



Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

đáy.Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) là α .Một mặt phẳng đi qua A vuông

góc với SC và cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P.



S



2



V

 cos2α 

CMR: S.AMNP = 

÷.

VS.ABCD  cos α 



N

P



Lời giải :

Ta có ta có từ (gt) suy ra ∠BSC = α , BC ⊥ SB, SC ⊥ AN

Lại có :



VS.AMNP 2VS.AMN SA SM SN

=

=

.

.

VS.ABCD VS.ABCD SA SB SC

SM SN SM.SB SN.SC

.

=

.

SB SC

SB2

SC 2

SA 2 SA 2

=

.

SB2 SC2



C



D



M

O

a



B



A



=



( 1)



Mặt khác ta có :

SB = a.cot α ,SC =



a

.

sin α



 cos 2 α 

cos 2α

SA 2 = SB2 − AB2 = a 2 .cot 2 α − a 2 = a 2  2 − 1÷ = a 2

Nên

sin 2 α

 sin α 



SM SA 2

sin 2 α

cos 2α

2 cos 2α

. 2

=

Do đó

= 2 =a

2

2

SB SB

sin α a cos α cos 2 α



(2)



2

SN SA 2

2 cos 2α sin α

=

=a

.

= cos 2α

SC SC2

sin 2 α a 2



(3)

2



V

 cos2α 

Lấy (2) và (3) thay vào (1) ta có : S.AMNP = 

÷ .Vậy ta có điều phải CM .

VS.ABCD  cos α 



Đối với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một đại lượng biến thiên là không

hề dễ dàng. Bởi vậy việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một đại lượng biến thiên

đối với hình học không gian lại càng khó khăn. Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán

hay và khó mà việc vận dụng bài toán mở rộng để giải quyết thì thực sự thuận lợi và đơn

gian.



Trang: 15/23



D. BÀI TOÁN PHÁT TRIỂN:

Ví dụ 1:



Cho hình chóp đều S.ABC có SA = a.. Gọi G là trọng tâm tam giác

SBC, mặt phẳng (P) đi qua AG cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M, N.

Gọi V1, V lần lượt là thể tích khối chóp S.AMN và S.ABC.

Tìm giá trị lớn nhất của



S



V

V1



(Trích đề thi HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương năm

2012-2013 )



A

N



Lời giải :

M



Gọi J là giao điểm của SG và BC ⇒

J là trung điểm BC

Suy ra:



1

S∆ABJ = S∆ACJ = SABC

2



⇒



G



C



VS.ABJ = VS.ACJ =



B



1

V

VS.ABC =

2

2

Đặt:



x=



SM

SN

,y =

SB

SC



(x, y ∈ (0;1])



VS.AMG SA SM SG 2x

V 2x

=

.

.

=

⇒ VS.AMG =

VS.ABJ

SA SB SJ

3

2 3



Tương tự: VS.AGN =

V1

V



=



2y V

V

⇒ V1 = VS.AMG + VS.AGN = (y + x)

3 2

3



(1)



SA SM SN

.

.

= xy ⇒ V1 = Vxy

SA SB SC



(2)



Từ (1) và (2) ⇒ x + y = 3xy



(*)



Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có:

x + y ≥ 2 xy

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y

Từ (*) ta có:



Trang: 16/23



4

3xy ≥ 2 xy ⇔ xy ≥ .

9

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

x=y=



2

3



V

1 9

=

≤ .

V1 xy 4



Dấu “=” xảy ra x = y =

Vậy giá trị lớn nhất của

Ví dụ 2:



2

.

3

V 9

SM SN 2

=

= .

= ⇔

V1 4

SB SC 3



Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung

điểm SC. Mặt phẳng (α) qua AK cắt SB và SD lần lượt tại M và N. Đặt

V1 = VS.AMKN ; V = VS.ABCD .



Khi mặt phẳng (α) song song BD tỉnh tỉ số

Đặt x =



V1

.

V



SM

SN

V

1 V 3

, y=

. Tính 1 theo x và y. CMR: ≤ 1 ≤ .

3 V 8

SB

SD

V

(Dựa theo đề thi HSG tỉnh Khánh Hòa)



Lời giải :

a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD và I là giao điểm của AK và

SO;

Qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB và SD lần lượt ở M và

N.



Ta có:



SM 2 SN 2

= ;

= .

SB 3 SD 3



Vì S.ABCD có đáy là hình bình hành nên:

1

2



VS.ABC = VS.ADC = V.

Ta có:

VS.AMK SM SK 2 1 1

=

.

= . =

VS.ABC SB SC 3 2 3



Trang: 17/23