Phân loại đường cong và mặt cong đại số có kì dị

[S74] Shioda chứng minh rằng, nếu một mặt xạ ảnh trơn s là đơn hữu tỉ, thì

số Picard của s bằng số Betti thứ hai của nó. Artin và Shioda đưa ra dự đoán

chiều ngược lại cũng đúng cho các mặt K3 (xem chẳng hạn trong [S77]):

D ự đoán: Mọi mặt K3 siêu lạ đều là đơn hữu tỉ.

Trong bài báo này chúng tôi xét dự đoán trên trong trường đặc số 5. Giả

sử k là một trường có đặc số bằng 5. Xét không gian các đa thức biến X bậc

6, kí hiệu bởi k{xỉ6. Giả sử u là không gian con của k[xl6, bao gồm các đa

thức f(x) thuộc k[x]6 sao cho phương trình bậc năm f ’(x)=0 không có

nghiệm bội. Rõ ràng u là một tập con mở trù mật của k[xl6. Với m ỗ i/th u ộ c

u , kí hiệu Cf là đường cong xạ ảnh bậc 6 mà phần affine của nó được định

nghĩa bởi

y5 -f(x) = 0.

Giả sử Y f—>p 2 là phủ 2 lá của p 2 với phần rẽ nhánh là Cf, và giả sử x^ ->

Yf



là giải kì dị cực tiểu của Yf . Kết quả chính của bài báo là:



Định lý: N ế u f là một đa thức trong u , thì Xflà một mặt K3 siêu lạ với

ơ(Xf) < 3. Ngược lại, nếu X là một mặt K3 siêu lạ với ơ(Xf) < 3, thì tồn tại

đa thức f trong u sao cho X đẳng cấu với Xị .

Do phần affine của Yf định nghĩa bởi Y 2 - y5 - f(x), vì vậy trường hàm

V

k(Xf) bằng k(\v,x,y), và nó chứa trong mở rồng trường siêu việt thuần túy

k(w l/5,xl/5) của k. Từ đó ta có hệ quả sau:

Hệ q u ả : Mọi mặt K3 siêu lạ trong đặc số 5 với bất biến Artin < 3 đều là đơn

hữu tỉ.

Tính đơn hữu tỉ của một mặt K3 siêu lạ trong đặc số p > 0 với bất biến

Artin ơ được chứng minh trong các trường hợp sau:

(i ) p = 2,

(ii) p = 3 và ơ < 6,

(iii) p lẻ và ơ < 2.



3



Các trường hợp (i) và (ii) được chứng minh bởi Rudakov và Shafarevich

trong [RS78,RS81]. Trường hợp (iii) của suy ra từ việc kết hợp 2 kết quả của

Ogus và của Shioda [S77], Ogus chứng minh mỗi mặt K3 siêu lạ trong đặc

số p > 0 với bất biến Artin ơ< 2 là mặt Kummer, còn kết quả của Shioda là

mỗi mặt Kummer đều là đơn hữu tỉ.

Để chứng minh định lý trên, chúng tôi chứng tỏ rằng mỗi mặt K3 siêu lạ

trong đặc số p > 0 với bất biến Artin ơ< 3 song hữu tỉ với mặt K3 chuẩn tắc

với kì dị 5A4, mặt K3 này là một phủ 2 lá của p 2, và sau đó chứng tỏ rằng

mạt K3 này đẳng cấu với Yị với m ộ t /n à o đó thuộc u . Chứng minh bước thứ

nhất cần dùng đến định lý cấu trúc của dàn Néron-Severi của các mặt K3

siêu lạ (xem [RS78]). Để chứng minh bước thứ hai, chúng tôi khảo sát các

đường cong bậc 6 với kì dị 5A4.

Hiện tại cùng với giáo sư Ichiro Shimada, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu

dự đoán này. Trong tháng 3/2007, giáo sư Ichiro Shimada sẽ sang trường ta

giảng bài cho học viên, NCS; báo cáo xêmina; và thảo luận khoa học với

nhóm chúng tôi.



4



2.



Nghiên cứu giải kỳ dị và các bất biến tôpô của kỳ dị



Dưới đây là một vài nét chính trong hướng nghiên cứu này. Đây là nội dung

luận văn thạc sỹ của anh Lê Quý Thường [V3] dưới sự hướng dẫn của TS. Phó

Đức Tài. (Anh Thường đã viết lại luận văn thành một bài báo tiếng Anh gần 20

trang và đã gửi đăng tạp chí.)

Điểm kì dị của tập đại số là đối tượng cơ bản trong hình học đại số và là tâm

điểm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học lớn trong suốt thế kỷ qua. Các

nghiên cứu sâu sắc đã được thực hiện như giải kì dị, phân thớ Milnor, ...

Với mỗi siêu mặt V xác định bởi đa thức nhiều biến/(z) của C[z], z=(z0,

z„) có kì dị tại gốc toạ độ, J. Milnor đã xây dựng một phân thớ đặc trưng cho kì

dị đó, sau này gọi là phân thớ Milnor ([M68]). Phân thớ này cho phép nghiên

cứu kì dị một cách hiệu quả từ phương diện tôpô, mang lại những hiểu biết về

tôpô của siêu mặt V trong lân cận của các điểm kì dị. Khi nghiên cứu về phân

thớ đặc trưng của kì dị phức, Milnor rất chú ý đến các liên (link) K (liên hệ với

lý thuyết nút), các thớ F và đồng phôi đơn đạo h. Những kết quả của ông trong

lĩnh vực này đem đến cho chúng ta một cái nhìn đầy đủ và sâu sắc về tôpô của

kì dị phức, đặc biệt là kì dị cô lập.

Các nghiên cứu về đơn đạo của kì dị phức cho những kết quả hết sức

thú vị. Chẳng hạn, khi n khác 2, đa tạp K là một mặt cầu tôpô nếu và chỉ nếu

giá trị của đa thức đặc trưng A (?) của h* tại r= l khả nghịch trong z (xem

[M68], tr. 68); hoặc, khi n lẻ thì đa thức đặc trưng A(0 hoàn toàn xác định cấu

trúc khả vi của K (xem [M68], tr. 69), ... Bên cạnh đó, hàm zeta của đơn đạo h,

với mối quan hệ mật thiết với đa thức đặc trưng của /2 * và nhiều bất biến quan

trọng khác như số Milnor, đa thức Alexander, chuỗi Poincaré, các cặp Puiseux,

nửa nhóm của kì dị,



đã trở thành một trong những bất biến quan trong nhất



trong lý thuyết kì dị. Hơn nữa, với nguồn gốc từ lý thuyết số, hàm zeta của đơn

đạo còn phản ánh được các tính chất của trường hàm, vành địa phương của kì dị

và liên hệ được nhiều đối tượng khác nhau trong hình học và số học.

Được thúc đẩy bởi các nghiên cứu về phân thớ Milnor, hàm zeta của

đơn đạo được nghiên cứu rất mạnh mẽ từ những năm 70 của thế kỷ XX bởi

nhiều nhà toán học tên tuổi. Không lâu sau khi N. A'Campo ([AC75]) đưa ra



5



một phương pháp xuất sắc tính hàm zeta bằng giải kì dị, A. N. Varchenko đã

có được lời giải đầy đủ cho bài toán tìm hàm zeta của kì dị không suy biến của

các tập đại số (giải tích) phức. Cần nói thêm rằng, ở thời điểm đó, sự phát triển

của hình học xuyến và các phép giải xuyến (khởi đầu bởi G. Kempf, F.

Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat,...) đã hỗ trợ rất lớn cho công trình này

của Varchenko.

Hàm zeta sau đó còn được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học

khác như w. Ebeling, A. Campillo, s. M. Gusein-Zade, F. Delgado, K. Saito,

M. Oka, B. Teissier, ... Trong giai đoạn này hàm zeta được nghiên cứu trong

mối quan hệ với các đối tượng khác, như chuỗi Poincaré của vành địa phương,

đối ngẫu Saito, nửa nhóm của kì dị, ... Mặt khác, với việc xây dựng được các

tháp giải Tschimhausen bằng các phép biến đổi xuyến, A'Campo và Oka

([A 096]) đã chỉ ra một phương pháp khác tính hàm zeta của kì dị đường cong

phẳng phức bất khả quy suy biến và mở ra khả năng tính được kì dị suy biến

tổng quát của đường cong phẳng phức và các đa tạp đại số (giải tích) phức (nếu

mở rộng khái niệm về các đa thức xấp xỉ Tschimhausen).

Nội dung của hướng nghiên cứu này của chúng tôi là phát triển phương

pháp của A ’Campo và Oka để tìm hàm zeta của kì dị suy biến của đường cong

phức trong trường hợp tổng quát. Kết quả chính của nó là Định lý sau đây

Định lý chính: Hàm zeta của kì dị suy biến (C,0) bằng



ao= eeù(rf ) G^vự,)

nc<0 LlCcto,

trong đó <£,(/), < (0 được xác định như sau:

^c

f,(0 =



-(O

0

11

=



r > 0,



I-r

^. (



0



-



q~ì



=



ơ



’> •



m

J


/ =|

n



/ .



1 N



A ,



_



. 1_



J



_



J > ‘ p=\



11



= ml ự ) , với e là một cạnh nào đó "trên" G ĩ .



6



3. Đường cong elliptic và các ứng dụng

Dưới đây là một vài nét chính trong hướng nghiên cứu này. Đây là nội dung

luận văn thạc sỹ của chị Lê Thị Minh Hải [VI] dưới sự hướng dẫn của TS. Phó

Đức Tài.

Đường cong elliptic là một đối tượng quan trọng trong toán học. Lịch sử

phát triển của đường cong elliptic đã trải qua một thời gian dài và nhừng ứng

dụng của đường cong elliptic đang tiếp tục được khám phá. Gần đây, những

ứng dụng quan trọng của đường cong elliptic đã được phát hiện trong lý thuyết

mật mã (xem [W03]), trong sự phân tích các số nguyên lớn, trong việc giải các

phương trinh Diophante, chẳng hạn bài toán Fermat (xem [W03])... Đối với hai

ứng dụng đâu, việc tính toán thực hành trên các đường cong elliptic với hệ số

lớn là vấn đề mấu chốt. Vì vậy cần thiết phải có các thuật toán hiệu quả cho

việc tính toán. Một trong các vấn đề chính là đưa ra thuật toán để tính toán

nhóm M ordell-Weil, tức là nhóm của các điểm hữu tỉ trên các đường cong

elliptic.

Nhóm Mordell-Weil là một nhóm aben hữu hạn sinh. Phần hữu hạn của

nó, còn được gọi là nhóm xoắn, có thể tính được dễ dàng nhờ định lý NagellLutz, trong khi đó việc tính toán phần tự do thì lại vô cùng khó khán. Có hai

thuật toán chính để tính phần tự do. Thuật toán thứ nhất dựa theo ý tưởng của

Manin trong, từ đó Gebel và Zimmer đã lập trình trong phân mêm đại sô máy

tính SIMATH. Thuật toán thứ hai dựa theo ý tưởng của Birch và SwinnertonDyer trong [BS63], được Cremona viết thành chương trình mwrank trong C++

(xem [C77, Chương 3].

Nội dung chính của luận văn là trình bày một số thuật toán hay dùng cho

việc tính toán trên các đường cong elliptic, trọng tâm là thuật toán tính hạng

(thuật toán thứ hai nói trên), và giới thiệu gói lệnh Ellcurves cho Maple 10.

Ngoài ra, trong gói lệnh Eỉlcurves còn nhiều lệnh khác mà các thuật toán chúng

tôi xây dựng dựa theo lý thuyết từ các tài liệu [C77], [ST92] và [W03].

4. Nghiên cứu về nhóm đại số và lý thuyết biểu diễn

Đây là chủ đề mà NCS. Đào Phương Bắc, một thành viên của nhóm, đang

trong quá trình là nghiên cứu sinh.



7



Các nhóm con quan sát được và nhóm con Grosshans được xuất hiên tự

nhiên trong việc nghiên cứu bài toán số 14 của Hilbert về tính hữu hạn sinh của

vành hàm bất biến và những dạng mở rộng của bài toán này. Khi làm việc với

những nhóm đại số xác định trên trường đóng đại số thì đã có những tiêu chuẩn

đẹp của F. Grosshans [G97], A. Sukhanov [S90] và F. Bogomolov [B79]. Trong

hướng nghiên cứu này, chúng tôi có một số tiêu chuẩn mới nhận được cho

những nhóm này xác định trên trường số học (là những trường không đóng đại

số).

Một số tài liệu tham khảo chính cho hướng nghiên cứu này ngoài 3 tài liệu

trên, bao gồm: [B91], [K78] và [M94],

Anh Đào Phương Bắc và giáo sư hướng dẫn đã công bố một bài báo [NB05].

Trong năm 2006, anh Bắc đã có một số kết quả mới về chủ đề này và đã báo

cáo tại hội thảo khoa học. Hiện tại đang chuẩn bị công bố bài báo thứ hai.



5. Đường cong hữu tỉ có kỳ dị

Dưới đây là một vài nét chính trong hướng nghiên cứu này. Đây là nội dung

luận văn thạc sỹ của chị Nguyễn Thị Quyên [V3] dưới sự hướng dẫn của TS.

Phó Đức Tài.

Nội dung luận văn là trình bày ứng dụng của D-kết thức cho việc nghiên

cứu kì dị của đườns cong hữu tỉ. Mở đầu là các kết quả của A.van den EssenJ.T.Yu ([vdE97], 1997) và J.Gutierrez-R.Rubio-J.T.Yu ([GRY02], 2002), đều

đăng trên Proc. o f AMS. Một kết quả của họ cho biêt tọa độ của các điêm kì dị

có thể tính được thông qua tham sổ hóa của đường cong hữu tỉ. Chúng tôi đặt

vấn đề nghiên cứu xem liệu có bất biến nào của các điểm kì dị có thể tính được

thông qua tham số hóa này?

Dựa vào ví dụ phong phú của bảng phân loại đường cong hữu tỉ bậc bổn,

chúng tôi đã phát hiện ra bất biến ô của các kì dị của đường cong hữu tỉ bậc

bốn có thể đọc được thông qua khai triển của D-kết thức. Chúng tôi đưa ra dự

đoán cho trường hợp tổng quát:

D ự đoản: Cho đường cong c được cho dưới dạng tham sổ x=f(t), y=g(t). Giả

sử D-kết thức của f(t), g(t) có phân tích



8