3 – Nguyên lý bù trừ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.13 MB, 63 trang )
3.3 – Nguyên lý bù trừ
Tổng quát hơn, ta có:
Định lý: Giả sử , , ,…, là n tập hợp hữu hạn. Khi đó:
=
=
(2)
Chương 2.phép đếm
50
3.3 – Nguyên lý bù trừ
2. Chứng minh
Chúng ta biết rằng số các tập giao là , số các tập giao là , …. Tổng quát số các tập giao của r
tập là , r=1,2,…,n.
Công thức (2) được chứng minh bằng cách chỉ ra rằng mỗi phần tử của tập hợp được đếm
đúng 1 lần ở vế phải của (2).
Xét phẩn tử tùy ý x của tập hợp , giả sử x có mặt trong r tập của , ,…, trong đó r= 1,2,…,n.
Phần tử x này được đếm lần trong , đếm trong tổng , bởi vậy tổng các lần đếm của x ở vế phải
của (2) là:
Vậy x được đếm đúng 1 lần trong vế phải của (2).
Chương 2.phép đếm
51
3.3 – Nguyên lý bù trừ
Ví dụ: Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp. Có 24 HS học Tiếng Pháp, 26 học
sinh học Tiếng Anh. 15 học sinh học Tiếng Anh và Tiếng Pháp. Hỏi lớp có bao
nhiêu người ?
Giải
Gọi A là những học sinh học Tiếng Pháp
B là những học sinh học Tiếng Anh
Khi đó số học sinh của lớp là . Theo nguyên lý bù trừ ta có:
Chương 2.phép đếm
52
3.4 Nguyên lý chuồng bồ câu
Chương 2.phép đếm
53
3.4 – Nguyên lý CHUỒNG BỒ CÂU
1. Giới thiệu
Nguyên lý Dirichlet do nhà toán học người Đức là Dirichlet đề xuất từ thế kỉ XX đã
được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm trong nhiều bài toán tổ hợp. Nguyên
lý này được phát triển từ mệnh đề gọi là nguyên lý “nguyên lý quả cam” hay là
nguyên lý “chuồng chim bồ câu”: Giả sử có một đàn chim bồ câu bay vào chuồng.
Nếu số chim nhiều hơn số ngăn chuồng thì chắc chắn có ít nhất một ngăn có nhiều
hơn một con chim.
Chương 2.phép đếm
54
3.4 – Nguyên lý CHUỒNG BỒ CÂU
2. Nguyên lý Dirichlet cơ bản
Một cách tổng quát, nguyên lý Dirichlet được phát biểu như sau:
Nếu xếp nhiều hơn n+1 đối tượng vào n cái hộp thì tồn tại ít nhất một hộp chứa
không ít hơn hai đối tượng.
- Chứng bằng lập luận phản chứng: Giả sử không hộp nào chứa nhiều hơn một đối
tượng thì chỉ có nhiều nhất là n đối tượng được xếp trong các hộp, trái với giả thiết
là số đối tượng lớn hơn n.
Chương 2.phép đếm
55
