1 Số giả nguyên tố

15

Ví dụ 2.1.2. Số nguyên 561 = 3 · 11 · 17 là số giả nguyên tố cơ sở 2. Thật

vậy, áp dụng Định lý Fermat nhỏ, ta có

2560 = (22 )280 ≡ 1 (mod 3),

2560 = (210 )56 ≡ 1 (mod 11),

2560 = (216 )35 ≡ 1 (mod 17).

Từ đó suy ra 2560 ≡ 1 (mod 561).

Nói chung các số giả nguyên tố ít hơn nhiều so với các số nguyên tố.

Chẳng hạn, có tất cả 455052512 số nguyên tố bé hơn 1010 nhưng chỉ có

14884 số giả nguyên tố cơ sở trong khoảng đó. Sự kiện này giải thích cách

nói ở trên: Các số thoả mãn Định lý Fermat nhỏ có nhiều khả năng là số

nguyên tố. Tuy nhiên đối với mọi cơ sở tuỳ ý, số các số giả nguyên tố là vô

hạn. Chẳng hạn, ta chứng minh điều đó đối với cơ sở 2.

Định lí 2.1.3. Có vô số số giả nguyên tố cơ sở 2.

Chứng minh. Giả sử n là một số giả nguyên tố cơ sở 2, ta sẽ chứng tỏ rằng

m = 2n − 1 cũng là số giả nguyên tố cơ sở 2. Theo giả thiết, n là hợp số,

chẳng hạn n = dt với 1 < d, t < n, và 2n−1 ≡ 1 (mod n). Dễ thấy rằng m

là hợp số, vì (2d − 1) | (2n − 1). Do n là giả nguyên tố, 2n ≡ 2 (mod n)

n −2



tức là tồn tại k sao cho 2n − 2 = kn. Ta có 2m−1 = 22



= 2kn , và do đó,



m = (2n − 1) | (2nk − 1) = 2m−1 − 1, tức là 2m−1 ≡ 1 (mod m). Vậy số m là

giả nguyên tố cơ sở 2.

Như vậy, để kiểm tra một số có phải là số nguyên tố hay không, trước

tiên ta xem nó có là giả nguyên tố cơ sở 2 hay không, sau đó có thể tiếp tục

kiểm tra đối với các cơ sở khác. Tuy nhiên, tồn tại các số giả nguyên tố với

mọi cơ sở, đó là các số Carmichael. Ta sẽ xem xét nó ngay ở mục sau đây.



16



2.1.2



Số Carmichael



Định nghĩa 2.1.4. Hợp số nguyên n thoả mãn bn−1 ≡ 1 (mod n) với mọi

số nguyên dương b sao cho (n, b) = 1 được gọi là số Carmichael.

Ví dụ 2.1.5. Số nguyên 561 = 3 · 11 · 17 là một số Carmichael. Thật vậy,

nếu như (b, 561) = 1 thì suy ra (b, 3) = (b, 11) = (b, 17) = 1. Theo Định

lý Fermat nhỏ, ta có

b2 ≡ 1 (mod 3),



b10 ≡ 1 (mod 11),



b16 ≡ 1 (mod 17).



Do đó, viết 560 = 2 · 280 = 10 · 56 = 16 · 35 ta được

b560 = b2

b560 = b10

b560 = b16



280

56

35



≡ 1 (mod 3),

≡ 1 (mod 11),

≡ 1 (mod 17).



Từ đó suy ra b560 ≡ 1 (mod 561).

Giả thuyết sau đây đã được chứng minh trong W. R. Alford, A. Granville

& C. Pomerance [4] : tồn tại vô hạn số Carmichael.

Chính xác hơn, như trong [4, Abstract], các tác giả nói rằng sẽ chứng

minh có khoảng x2/7 số Carmichael nhỏ hơn x, với x đủ lớn.

Ta điểm qua một số cột mốc chính trong lịch sử phát triển của các

nghiên cứu về số giả nguyên tố Fermat và số Carmicheal.

Vào ngày 18/10/1640, Fermat viết trong một bức thư gửi đến Frenicle,

rằng p chia hết a p − a với mọi số nguyên a, với p là một số nguyên tố.

Câu hỏi tự nhiên nảy sinh là : Liệu các số nguyên tố có là tất cả những số

nguyên lớn hơn 1 thỏa mãn tiêu chuẩn này?



17

Tuy nhiên, năm 1910, Carmichael đã chỉ ra 561 (bằng 3 × 11 × 17) chia

hết a561 − a với mọi số nguyên a. Năm 1899, Korselt đã lưu ý rằng có thể

dễ dàng kiểm tra những số nguyên như vậy bằng cách sử dụng

Tiêu chuẩn Korselt. n chia hết an − a với mọi số nguyên a

nếu và chỉ nếu n là số không có ước chính phương khác 1

(squarefree) và p − 1 chia hết n − 1 với mọi số nguyên tố p

chia hết n.

Trong loạt bài báo nghiên cứu những năm 1910, Carmichael bắt đầu

một nghiên cứu chuyên sâu về các hợp số với tính chất này, về sau được

gọi là các số Carmichael (Carmichael numbers). Năm 1912, Carmichael

trình bày thuật toán để xây dựng số như vậy, và phát biểu, có lẽ “danh

sách này (các số Carmichael) có thể được mở rộng vô hạn” Giả thuyết của

Carmicheal chỉ được chứng minh vào năm 1995, trong công trình của W.

R. Alhfors, A. Granville và C. Pomerance.

Năm 1939, Chernick đã lưu ý rằng nếu p = 6m + 1, q = 12m + 1 và

r = 18m + 1 là các số nguyên tố thì pqr là một số Carmichael.

Tính toán chưa công bố của Richard Pinch chỉ ra 8,241 số Carmichael

nhỏ hơn 1012 , 19,279 nhỏ hơn 1013 , 44,706 nhỏ hơn 1014 và 105,212 số

nhỏ hơn 1015 . Nếu gọi C(x) là số các số Carmicheal nhỏ hơn x thì nhiều

tác giả đã cung cấp chặn trên cho C(x)

C (x) ≤ x1−{1+o(1)} log log log x/ log log x

với x → ∞.

Năm 1994, trong [4], ba tác giả W.R. Alford, A. Granville, C. Pomerance đã chứng minh rằng C(x) > xα mọi số x lớn và với hằng số α nào đó.



18

Giá trị chính xác của α phụ thuộc vào hai hằng số khác xuất hiện trong Lý

thuyết số giải tích. Bây giờ chúng ta mô tả những hằng số này.

Giả sử π(x) là số các số nguyên tố p ≤ x, và giả sử π(x, y) là số các số

trong số đó mà p − 1 không có các nhân tử nguyên tố vượt quá y. Giả sử E

là ký hiệu tất cả các số E trong miền 0 < E < 1 mà tồn tại x1 (E), γ1 (E) > 0

sao cho

π(x, x1−E ) ≥ γ1 (E)π(x)



(2.1)



với mọi x ≥ x1 (E). Năm 1935, Paul Erd¨os chỉ ra sự tồn tại một số nguyên

dương nhỏ trong E . Các giá trị lớn hơn sau đó được tìm thấy bởi Wooldridge,

Goldfeld, Pomerance, Fouvry và Grupp, Balog và Friedlander. Kết quả tốt

√

nhất được biết đến (xem [4]) là bất kỳ số dương nào nhỏ hơn 1 − (2 e)−1

đều thuộc E .

Erd¨os có giả thuyết nói rằng mỗi số dươngnhỏ hơn 1 đều thuộc E , nghĩa

là E là khoảng mở (0, 1).

Ta nhận xét rằng nếu E ∈ E , thì (0, E] ∈ E . Thêm nữa, có thể chứng

minh rằng (sử dụng Bất đẳng thức Brun-Titchmarsh) rằng nếu E ∈ E thì

E ∈ E với E > E nào đó. Do vậy, E là một khoảng mở.

Định nghĩa π(x; d, a) là số các số nguyên tố nhỏ hơn hay bằng x thuộc

cấp số cộng a modulo d. Định lý số nguyên tố đối với cấp số cộng phát

biểu rằng

π(x; d, a) ∼



π(x)

ϕ(d)



với x → ∞,



(2.2)



với điều kiện (a, d) = 1, trong đó ϕ là hàm Euler. Một bài toán quan trọng

trong Lý thuyết số giải tích là tìm hiểu sự phụ thuộc có thể giữa d và a

trong quan hệ tiệm cận này. Ví dụ, có thể d cũng dần tới vô hạn x dần đến

vô hạn, và nếu vậy, tốc độ nhanh như thế nào? Người ta phỏng đoán rằng



19

(2.2) xảy ra đều với mọi số nguyên tố cùng nhau a, d với 1 ≤ d ≤ x1−ε ,

với mỗi ε > 0 cố định. Nếu chấp nhận Giả thuyết Riemann đối với L-hàm

Dirichlet thì giả thuyết trên đây có thể được chứng minh cho miền hạn chế

hơn 1 ≤ d ≤ x1/2−ε . Tuy nhiên, kết quả mạnh nhất được biết là Định lý

Siegel-Walfisz mà trong đó khẳng định rằng (2.2) xảy ra đều với mọi cặp

số nguyên tố cùng nhau a, d với 1 ≤ d ≤ (log x)k , với mỗi k cố định.

Nếu ta sẵn sàng bỏ qua các bội của modul “đặc biệt” có thể, thì ta có thể

cải thiện đáng kể miền trong Định lý Siegel-Walfisz. Thật vậy, nếu ψ(x)

dần đến vô cùng chậm tuỳ ý thì (1.2) đúng với mọi cặp a, d nguyên tố cùng

nhau với 1 ≤ d ≤ xψ(x) , trừ ra có thể là với những d mà là bội số của một số

nguyên d1 (x) nào đó vượt quá một luỹ thừa của log x. Hơn nữa, nếu người

ta nới lỏng quan hệ cận tiệm cận trong (2.2), thì có thể lấy 1 ≤ d ≤ xB với

B > 0 nhỏ nào đó. Nếu cho phép nhiều moduli đặc biệt hơn, chúng ta có

thể nhận được giá trị lớn hơn của B.

Đặc biệt, nếu ký hiệu B là tập hợp các số B trong miền 0 < B < 1

mà với nó tồn tại một số x2 (B) và một số nguyên dương DB , sao cho nếu

x ≥ x2 (B), (a, d) = 1 và 1 ≤ d ≤ min xB , y/x1−B thì



π(y; d, a) ≥



π(y)

2ϕ(d)



(2.3)



mỗi khi d không chia hết cho bất kỳ phần tử nào của DB (x), là một tập

hợp có không quá DB số nguyên, mỗi số vượt quá log x.

Trong [4], các tác giả cũng chứng minh rằng (0, 5/12) ∈ B và chứng

minh một định lý khá mạnh đối với các số trong khoảng này.

Định lý về số Carmichael phụ thuộc nhiều vào tập E và B.

Định lí 2.1.6. Với mỗi E ∈ E và B ∈ B tồn tại một số x0 = x0 (E, B) sao



20

cho C(x) ≥ xEB với mọi x ≥ x0 .

√

Do 0, 1 − (2 e)−1 ⊂ E và (0, 5/12) ⊂ B, ta kết luận rằng C(x) ≥

xβ −ε với mỗi ε > 0 và mọi x lớn phụ thuộc việc chọn ε, trong đó

√

5

β = (1 − (2 e)−1 ) = 0.290306 . . .

12

Lập luận của bài báo dựa vào lập luận độc đáo của Erd¨os với những

sửa đổi nhất định. Ý tưởng là xây dựng một số nguyên L mà với nó tồn tại

rất nhiều số nguyên tố p sao cho p − 1 chia hết L. Giả sử rằng tích của một

số trong những số nguyên tố đó C = p1 . . . pk là đồng dư với 1 mod L. Khi

đó C là một số Carmichael, do mỗi p j − 1 chia hết L, mà L chia hết C − 1,

và ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Korselt như trên. Thật ra, càng có nhiều

tích như vậy chúng ta có thể tìm thấy càng nhiều số Carmichael. Ta cần có

tập các số nguyên tố p như vậy lớn đến mức nào để đảm bảo sự tồn tại của

những tích như trên? Chúng ta có thể xem các số nguyên tố p như các phần

tử của nhóm (Z/LZ)∗ của các thặng dư thu gọn theo mod L. Kết quả sau

đây, theo Emde Boas và Kruyswijk (và mở rộng một định lý độc lập theo

Kruyswijk và Olson) trả lời một phần câu hỏi trên.

Định lí 2.1.7. Nếu G là một nhóm abel hữu hạn mà bậc cực đại của một

phần tử là m, thì trong dãy có ít nhất m(1 + log(|G|/m)) (không nhất thiết

phân biệt) phần tử của G, tồn tại một dãy con khác rỗng có tích là đơn vị.

Để có thể áp dụng Định lí 2.1.7 tìm các số Carmichael bằng phương

pháp vừa đề xuất, ta sẽ cần một số nguyên L, với ít nhất

λ (L) 1 + log



ϕ(L)

λ (L)



≥ λ (L)



số nguyên tố p mà p − 1 chia hết L. Ở đây hàm lambda Carmichael λ (L) là

bậc lớn nhất của một phần tử trong (Z/LZ)∗ . Tuy nhiên, số các số nguyên



21

tố như vậy p không thể vượt quá τ(L), số các ước của L (do mỗi p như vậy

là 1 cộng với một ước của L), và λ (L) lớn hơn nhiều τ(L). Để tránh vấn đề

này chúng ta sẽ chọn L sao cho τ(L) là nhỏ, trong khi, đồng thời có nhiều

số nguyên tố p mà p − 1 chia hết L. Để làm điều này, ta chọn L là tích của

các số nguyên tố q mà mọi nhân tử nguyên tố của q − 1 không vượt quá y.

Prachar cũng chứng minh rằng có nhiều vô hạn số nguyên m với hơn

2c log m/ log log m ước có dạng p − 1, p nguyên tố. Ở đây c > 0 là một hằng

số nào đó phụ thuộc vào một số B ∈ B. Không thể làm thực sự tốt hơn,

do τ(m) ≤ 2(1+o(1)) log m/ log log m với mọi m khi m → ∞. Phương pháp của

Prachar là lấy một số L mà là tích của tất cả các số nguyên tố lớn đến một

điểm nào đó và chứng minh rằng có một số nguyên k với k < Lc và với

m = kL có nhiều ước có dạng p − 1. Với mục đích này, ta cần λ (kL) là nhỏ

so với kL. Nhưng việc đưa vào nhân tử k bí ẩn đó có thể làm hỏng mọi việc,

bởi vì không có nguyên nhân nào cho thấy λ (kL) không thể lớn tuỳ ý, ngay

cả khi ta xuất phát từ một L mà với nó λ (L) là rất nhỏ so với L.

Trong bài báo [4] các tác giả đã sửa đổi phương pháp của Prachar, để

khi cho L, ta có thể tìm một số nguyên k nguyên tố cùng nhau với L sao

cho có nhiều số nguyên tố p ≡ 1 mod k mà p − 1 chia hết kL.

Trong [4, Section 6] các tác giả cũng trình bày chứng minh cho Định lý

sau:

Định lí 2.1.8. Với mỗi B ∈ B, (0, B) ⊂ E .

Định lí 2.1.9. Cho ε > 0. Giả sử tồn tại một số xε sao cho

π(x; d, 1) ≥



π(x)

2ϕ(d)



với mọi số nguyên dương d ≤ x1−ε , x ≥ xε . Khi đó tồn tại một số xε sao



22

cho C(x) ≥ x1−2ε với mọi x ≥ xε . Đặc biệt, nếu một số xε như vậy tồn tại

với mỗi ε > 0, thì C(x) = x1−o(1) khi x → ∞.

Chứng minh của Định lí 2.1.6 là hiệu quả theo ý nghĩa nếu các giá trị

bằng số được cho với γ1 (E), x1 (E), và x2 (B), thì giá trị bằng số đối x0 (E, B)

có thể tính được. Tuy nhiên, giá trị lớn của E mà ngày nay chúng ta biết

là thuộc E đã được chứng minh thuộc E thông qua định lý không hiệu

quả Bombieri-Vinogradov. Rất có thể, Định lý Friedlander nói rằng mọi số

√

nguyên dương E < 1 − (2 e)−1 là thuộc E , có thể được chứng minh từ

một dạng yếu hơn, nhưng hiệu quả của định lý này, nhưng chúng ta không

đưa vấn đề này ở đây. Điều thú vị cần lưu ý là chứng minh độc đáo của

Erd¨os rằng E chứa số dương E nào đó chỉ sử dụng phương pháp của Brun

và do đó hiệu quả.

Ta có định lý sau.

Định lí 2.1.10. Với mỗi α trong miền 0 < α < 25/144, tồn tại một số có

thể tính toán hiệu quả x(α) sao cho C(x) ≥ xα với mọi x ≥ x(α).



2.2



Kiểm tra Miller và số giả nguyên tố mạnh



Định nghĩa 2.2.1. Giả sử n là số nguyên dương lẻ, n − 1 = 2st, trong đó

s là số nguyên không âm, t là số nguyên dương lẻ. Ta nói n trải qua được

j



kiểm tra Miller cơ sở b, nếu hoặc bt ≡ 1 (mod n), hoặc b2 t ≡ −1 (mod n),

với j nào đó, 0 ≤ j ≤ s − 1.

Ta chứng tỏ rằng, nếu n là số nguyên tố thì n trải qua được kiểm tra

Miller cơ sở b với mọi số b sao cho n | b. Thật vậy, giả sử n − 1 = 2st. Đặt

k



(s−k)t



xk = b(n−1)/2 = b2



,



với k = 0, 1, · · · s.



23

Vì n là số nguyên tố nên x0 ≡ 1 (mod n). Do đó x12 ≡ 1 (mod n), tức

là x1 ≡ 1 (mod n) hoặc x1 ≡ −1 (mod n). Tiếp tục quá trình như vậy

ta sẽ đi đến kết luận rằng, hoặc xk ≡ 1 (mod n) với k = 0, 1 · · · s, hoặc

xk ≡ −1 (mod n) với một số nguyên k nào đó. Như vậy n trải qua được

kiểm tra Miller cơ sở b.

Dễ thấy rằng, nếu n trải qua được kiểm tra Miller cơ sở b thì n sẽ là số

giả nguyên tố cơ sở b. Ta có định nghĩa sau.

Định nghĩa 2.2.2. Số nguyên n được gọi là số giả nguyên tố mạnh cơ sở b

nếu nó là hợp số và trải qua được kiểm tra Miller cơ sở b.

Như vậy các số giả nguyên tố mạnh lại còn ít hơn các số giả nguyên tố.

Tuy nhiên, ta có định lý sau.

Định lí 2.2.3. Tồn tại vô số số giả nguyên tố mạnh cơ sở 2.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử n là một số giả nguyên tố cơ sở 2. Khi đó,

với số nguyên lẻ k nào đó, ta có 2n−1 − 1 = nk. Đặt N = 2n − 1, khi đó nó

có ước là 2d − 1, với d là ước số nào đó của n. Mặt khác,

N − 1 = 2n − 2 = 2(2n−1 − 1) = 2nk,



2



N−1

2



= 2nk = (2n )k ≡ 1 (mod N).



Vậy với mỗi số giả nguyên tố n, ta xây dựng được số giả nguyên tố mạnh

N với các số n khác nhau cho ta các số N khác nhau. Như vậy định lý được

chứng minh, bởi vì có vô số giả nguyên tố cơ sở 2.

Ta có thể dùng kiểm tra Miller để kiểm tra nguyên tố những số không

lớn lắm. Ta biết rằng, số giả nguyên tố mạnh lẻ cơ sở 2 bé nhất là 2047.

Như vậy, nếu n lẻ và n < 2047, thì n là nguyên tố nếu nó trải qua kiểm tra

Miller. Tương tự như vậy, số 1373653, là số giả nguyên tố mạnh lẻ bé nhất