CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA

∞



Chuỗi số ∑ un hội tụ ⇔ ∀ε > 0, ∃ N : n > N ⇒ s − sn < ε

n =1



⇔ ∀ε > 0, ∃N : n > N ⇒ rn < ε

5. Các ví dụ

1)



∞



∑q



n



=1 + q + ... + q n + ... (tổng cấp số nhân vơ hạn)



n=0



Ta có tổng riêng S n = 1 + q + ... + q n . Xét các trường hợp sau

a) q ≠ 1

⎧∞,



q >1



1 − q n +1

, suy ra lim S n = ⎪⎨ 1

n →∞

1− q

⎪1 − q , q < 1

⎩



Ta có S n =

b) q = 1



Ta có S n = 1 + 1 + ... + 1 = n Do đó: lim Sn = +∞.

n →∞



c) q = -1



⎧1, n = 2k + 1

Ta có S n = 1 − 1 + 1 − ... = ⎨

. Do đó lim Sn khơng tồn tại

n→∞

0,

n

=

2

k

⎩

Vậy



∞



∑q



n



=



n =0



Chuỗi số



∞



1

, hội tụ, nếu | q |< 1 .

1− q



∑q



n



phân kỳ nếu | q |≥ 1 thì chuỗi phân kỳ



n =0



1

n =1 n( n + 1)

∞



2) Cho chuỗi số ∑

sn =



1

1

1

1

1

1 1

1 1

1

1

+

+

+ ... +

= (1 − ) + ( − ) + ( − ) + ... + ( −

)=

1.2 2.3 3.4

n(n + 1)

n n +1

2

2 3

3 4



= 1−



1

n +1



⇒ lim sn = 1 Vậy, chuỗi số đã cho hội tụ và có tổng bằng 1.

n →∞



6.1.2. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy

1. Tiêu chuẩn Cauchy

∞



Chuỗi số ∑ un hội tụ ⇔ ∀ε > 0, ∃ N > 0 : p > q ≥ N ⇒ s p − sq < ε .

n =1



2. Ví dụ



123



Dùng tiêu chuẩn Cauchy, chứng tỏ rằng chuỗi số



∞



∑

n =1



1

phân kỳ.

n



Giải

1

: ∀N , ∃ p = 2 N > q = N ≥ N : s p − s q = s 2 N − s N =

3

1

1

1

1

1

1

1

1

N

=

+

+ ... +

>

+

+ ... +

=

= > =ε

2N

2N 2N

2N

2N

2 3

N +1 N + 2



∃ε=



6.1.3. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ

1. Định lý

∞



Nếu chuỗi số ∑ un hội tụ thì lim u n = 0 .

n →∞



n =1



Chứng minh:

∞



Gọi s là tổng của chuỗi số hội tụ ∑ un

n =1



Suy ra



n →∞

⇒ sn ⎯⎯⎯→

s



n→∞ → s − s = 0

un = sn − sn −1 ⎯⎯⎯⎯



2. Hệ quả

∞



Nếu lim un ≠ 0 thì chuỗi số ∑ un phân kỳ.

n →∞



n =1



Ví dụ



n

n

1

→ ≠ 0 khi n → ∞

phân kỳ vì un =

n =1 2n + 1

2n + 1

2

∞



Chuỗi số ∑

3. Chú ý



∞



n→∞



un ⎯⎯⎯⎯

→ 0 chỉ là điều kiện cần mà không đủ để chuỗi số ∑ u n hội tụ.

n =1



∞



Chẳng hạn, xét chuỗi số ∑



n =1



sn =



1

n



1

1

1

n

1

1

1

1

1

+

+

+ ... +

>

+

+

+ ... +

=

= n

1

2

3

n

n

n

n

n

n



sn = + ∞ . Vậy, chuỗi số ∑∞ 1 phân kỳ.

Mà Lim n = + ∞ ⇒ nLim

→ +∞

n→∞

n =1



6.1.4. Tính chất cuả chuỗi số hội tụ

1.Tính chất 1



124



n



∞



∞



n =1



n =1



Nếu chuỗi số ∑ u n hội tụ có tổng là s, chuỗi số ∑ vn hội tụ có tổng là s’ thì các chuỗi

∞



∑ (un ± vn ) cũng hội tụ và có tổng là s ± s’



n =1



Chứng minh:

∞



∞



n =1



n =1



Gọi sn và s’n lần lượt là các tổng riêng thứ n của các chuỗi số ∑ u n và ∑ vn .

/

/

Khi đó, lim sn = s và lim sn = s ⇒ lim ( sn + sn ) = s + s ⇒ đ.p.c.m



/



n→∞



/



n →∞



n→∞



Ví dụ

3n + 4n

n

n =1 12

∞



Tính tổng của chuỗi số sau: ∑

Giải

Ta có

1

n

1

1

( ) = 4 = và

∑

1 3

n=1 4

1−

4

1

∞ n

n

∞

3 + 4n

1

1⇒

3

=

=

( ) =

n

∑

1 2 ∑

12

=

1

n

n =1 3

1−

3

∞



∞



1



n =1



4



∑ ( )n +



∞



1



1



1



5



( )n = + =

∑

3 2 6

n =1 3



2. Tính chất 2

∞



∞



n =1



n =1



Nếu chuỗi số ∑ u n hội tụ có tổng là s thì chuỗi số ∑ ku n cũng hội tụ và có tổng là ks.

Chứng minh:

∞



Gọi sn lần lượt là tổng riêng thứ n của chuỗi số: ∑ u n

n =1



⇒ Lim ksn = k Lim sn = ks ⇒ đ.p.c.m.

n→∞



n →∞



3. Tính chất 3



Tính hội tụ hay phân kỳ của 1 chuỗi số không thay đổi khi ta ngắt bỏ đi khỏi chuỗi số

đó 1 số hữu hạn các số hạng đầu tiên.

Chứng minh:

∞



∞



n=1



n = m +1



Nếu bớt đi từ ∑ un m số hạng đầu tiên, ta được chuỗi số ∑ u n



125



∞



∞



n =1



n = m +1



Gọi sn và s’k lần lượt là các tổng riêng thứ n và thứ k của các chuỗi số ∑ u n và ∑ un



⇒ s = sm + k − sm

/

k



∞



* Nếu chuỗi số ∑ u n hội tụ

∞



⇒



n =1



m+ k → ∞

sm+ k ⎯⎯⎯⎯⎯

→ s ⇒ sk/



k →∞



⎯⎯⎯⎯

→ s − sm ⇒



chuỗi số ∑ u n hội tụ.

n = m +1



∞



* Nếu chuỗi số ∑ u n phân kỳ ⇒ sm + k khơng có giới hạn khi

n =1



k → ∞ và do sm



∞



hữu hạn ⇒ s’k không có giới hạn khi k → ∞ ⇒ chuỗi số ∑ u n phân kỳ.

n = m +1



Ví dụ

∞



Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑



n =1



1

n+3



Giải

Chuỗi này suy từ chuỗi điều hoà bằng cách ngắt bỏ đi 3 số hạng đầu tiên. Mà chuỗi

∞

1

điều hoà phân kỳ nên chuỗi ∑

cũng phân kỳ.

n =1 n + 3

Bài tập

Tính tổng của các chuỗi sau

1

n =1 n( n + 4)

∞



∞



1



n =1



4n − 1



1) ∑



3) ∑



1

2) ∑

n =1 n ( n + 1)( n + 2)



2 n + 5n

5) ∑

n

n =1 10



∞



2n + 1

2

n =1 n ( n + 1)

∞



2



∞



4) ∑



2



∞



1



n =1



4n − 1



6) ∑



6.2. Chuỗi số dương

6.2.1. Định nghĩa

∞



Chuỗi số dương là chuỗi số



∑ u n , mà u



n =1



n



> 0, ∀n ≥ 1



Ví dụ

∞



∑

n =1



1

là chuỗi số dương.

n + 1.3n



6.2.2. Định lý



Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy (sn) bị chặn trên.

Chứng minh:



126



2



∞



Vì



∑ u n hội tụ nên dãy (sn) hội tụ. Mà vì u



n =1



n



> 0, ∀n ≥ 1 , suy ra dãy (sn) tăng, do đó



(sn) bị chặn trên. Ngược lại nếu (sn) bị chăn trên, thì tồn tại dưới hạn, vì dãy (sn) tăng, do

∞



∑ u n hội tụ.



đó chuỗi số



n =1



Ví dụ

Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau:

∞



1)



1



∑ n2

n =1



Ta có S n =



1

1

1 1 1

1

1

...

...

+

+

+

≤

+

+

+

=

2

−

≤2

( n − 1) n

n

12 2 2

n 2 1 1 .2



Suy ra sn bị chặn. Vậy chuỗi trên hội tụ.

∞



2)



∑



n =1



1

n



Ta có S n = 1 + 1 + ... + 1 ≥ 1 + 1 + ... + 1 = n = n

1

2

n

n

n

n

n

Suy ra sn không bị chặn. Vậy chuỗi phân kỳ.

6.2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ

1. Tiêu chuẩn so sánh

a. Định lý

∞



∞



n =1



n =1



Giả sử ∑ un và ∑ vn là 2 chuỗi dương thoả un ≤ vn ∀n ≥ n0 , khi đó

∞



∞



n =1



n =1



* Nếu chuỗi ∑ vn hội tụ thì chuỗi ∑ un hội tụ.

∞



* Nếu chuỗi ∑ u n phân kỳ thì chuỗi

n =1



∞



∑v

n =1



n



h phân kỳ.



Chứng minh:

Do tính chất 3 của chuỗi số hội tụ, có thể giả sử n0 = 1 , nghĩa là un ≤ vn ∀n

∞



∞



n =1



n =1



* Gọi sn và sn lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi ∑ un và ∑ vn

⇒ sn ≤ s’n ∀n



(1)



127



∞



Nếu chuỗi ∑ vn hội tụ và có tổng là s’, nghĩa là Lim sn/ = s /

n→∞

n =1



⇒ s’n ≤ s’ ∀n



(2)

∞



Từ (1) và (2) ⇒ sn < s ∀n ⇒ Chuỗi ∑ un hội tụ.

/



n =1



∞



⎯

* Nếu chuỗi ∑ un phân kỳ ⇒ sn ⎯n⎯

→

∞→+∞

n =1



Từ (3) và (1) suy ra:



sn/



(3)

∞



∑ vn phân kỳ.

⎯n⎯

→⎯

∞ → +∞ , nghĩa là chuỗi

n =1



b. Ví dụ



Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:

1



∞



1) ∑



n .2 n



n =1



1

1

≤ n ∀n

n

2

n .2



Do



1

n hội tụ ⇒ chuỗi đã cho hội tụ.

n =1 2

∞



mà chuỗi ∑



1



∞



2) Chuỗi số ∑



n −1



n =2



1

<

n



3)



phân kỳ vì



∞ 1

1

phân kỳ

∀n ≥ 2 mà chuỗi ∑

n =2 n

n −1



2n

∑

n

n =1 7 + 2n

∞



2n

2

Ta có: 0 < n

< ( ) n , ∀n ≥ 1

7 + 2n

7

n



⎛ 2⎞

Mà chuỗi ∑ ⎜ ⎟ hội tụ nên chuỗi

n =1 ⎝ 7 ⎠

∞



4)



∞



∑



n =2



ln n

n



Ta có:



ln n

1

, ∀n ≥ 3

>

n +1

n +1



128



∞



2n



∑ 5n + n

n =1



hội tụ.