Theo giả thiết, ta có với mọi k, hàm f(x) giảm trên đoạn [k, k+1] nên

+∞



đó



∫ f ( x)dx hội tụ.

1



+∞



(? ⇐ ) Giả sử



∫ f ( x)dx hội tụ. Khi đó {I n } bị chặn. Từ bất đẳng thức (*) suy ra {S }

n



1



bị chặn, cho nên chuỗi



∞



∑u

n =1



hội tụ.



n



b. Ví dụ

1



∞



∑ nα , α ∈ R



1) Xét sự hội tụ của chuỗi



(chuỗi Riemann)



n =1



- Nếu α > 0 : đặt f ( x) =



1

. Kiểm tra thấy f ( x) thoả tất cả các điều kiện của định lý.

xα

+∞



Ta biết rằng tích phân suy rộng



∫

1



- Nếu α ≤ 0 thì lim un = lim

Vậy chuỗi



∞



1



∑ nα , α ∈ R



1

dx hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1

xα



1

≠0

nα



hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1



n =1



∞



2)



ln n



∑3

n =1



n2



Ta có un =



ln n

3



n2



≥



1

3



n2



, với mọi n ≥ 3 . Mà chuỗi



phân kỳ.

3)



∞



∑



1



2

n =1

n3



phân kỳ, nên chuỗi đã cho



∞ 3



n4 −1

∑

n =1 n n + 1

Ta có



3



4



n −1

~

n n +1



4

n3

1

n.n 2



1

= 1 . Vì chuỗi

n6



∞



∑



n =1



1

1

n6



phân kỳ, nên chuỗi



∞ 3



n 4 − 1 phân kỳ.

∑

n =1 n n + 1



ln n

n =3 n

∞



4) ∑



Giải

Dùng tiêu chuẩn tích phân, xét hàm số f ( x) =



ln x

x



135



1 − ln x

, f / ( x) = 0 ⇔ x = e

2

x



D f = (0,+∞ ) , f / ( x ) =



Bảng xét dấu đạo hàm

0



x

f/



f



/



e 3

+



+∞



0 -



f



Hàm f ( x) liên tục, đơn điệu giảm, dương trong [3, + ∞)

+∞



∫



Mặt khác,



3



ln xdx

=

x



+∞



∫ ln xd (ln x) = lim



b→+∞



3



⎛ ln 2 x

=

ln

xd

(ln

x

)

lim

⎜

∫3

b→+∞

⎝ 2



+∞



b⎞

⎟

3⎠



∞ ln n

⎛ ln 2 b − ln 2 3 ⎞

⎟⎟ = +∞ . Vậy chuỗi ∑

Lim ⎜⎜

phân kỳ.

b → +∞

n =3 n

2

⎝

⎠



5)



∞



1



∑ n ln n

n =2



Xét hàm số f ( x) =

f / ( x) = −



1

liên tục, dương trên [ 2,+∞ ) và u n = f ( n) ∀n ≥ 2

x ln x



ln x + 1

< 0 ∀x > 1 ⇒ f ( x) giảm trên [ 2,+∞ )

x 2 ln 2 x

+∞



Mặt khác, ∫

2



dx

x ln x



b



b→+∞ ∫

2



= lim



d (ln x)

= lim [ln ln x ]b2 = lim ⎡⎣ln ln b = ln ln 2 ⎤⎦ = + ∞

b → +∞

b →+∞

ln x



⇒ Chuỗi đã cho phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân.



Bài tập

Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau

∞



1 3

1) ∑ 2 ⎛⎜ ⎞⎟

n =1 n ⎝ 4 ⎠



∞



2) ∑



n



n +1



n =1 n 2 + 2

∞



1.4.9...n 2

3) ∑

n =1 1.3.5.7...( 4 n − 3)

∞



4) ∑ ln

n =1



5n + 3

5n



n

5) ∑ 1 ⎛⎜1+ 1 ⎞⎟

n⎠

n =1 2 n ⎝

∞



136



2



∞

n

6) ∑

n =1 n 3 + 2



6.3. Chuỗi số đan dấu - Chuỗi số có dấu bất kỳ

6.3.1. Chuỗi đan dấu

1. Định nghĩa



Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng



u1 − u 2 + u 3 − ... hay − u1 + u 2 − u 3 + ... ,



(1)



Trong đó un > 0, ∀n ≥ 1

Ví dụ



1 1

1 − + − ...

2 3

Ta quy ước chỉ xét chuỗi đan dấu có dạng u1 − u 2 + u 3 − ... =



∞



n −1

∑ (− 1) u n .



n =1



2. Định lý Leibnitz

a. Định lý



Nếu dãy

∞



∑ ( −1)



n −1



n =1



{u n } là một dãy giảm và u



n



→ 0 khi n → ∞ thì chuỗi



∞



∑ ( −1)



n −1



n =1



un hội tụ và



un ≤ u1 .



Chứng minh:

Để chứng tỏ dãy tổng riêng (sn) hội tụ ta chứng minh nó có 2 dãy con hội tụ (s2m)

và (s2m+1)

Ta có s2(m+1) = s2m+2 =s2m + (u2m+1 - u2m+2 ) > s2m => (s2m) tăng

Mặt khác, ta cũng có



s 2 ( m +1) = u1 − [(u 2 − u 3 ) + (u 4 − u 5 ) + (u 6 − u 7 ) + ...(u 2 m − u 2 m +1 )] < u1

⇒ Dãy (s2m) hội tụ về s ≤ u1



Chú ý rằng s2m > 0 ∀ m

Ta lại có: s2 m +1 = s2 m + u2 m +1

Do u n → 0 ⇒ u 2 m +1 → 0



⇒ s2 m +1 → s + 0 = s

s2 m → s ⇔ ∀ε > 0, ∃ m1 : m > m1 ⇒ s2 m − s < ε



137



s 2 m +1 → s ⇔ ∀ε > 0, ∃ m2 : m > m2 ⇒ s 2 m +1 − s < ε

Đặt N = max ( 2m1 , 2m2 + 1)

Khi đó, ∀n > N có 2 khả năng



*



n = 2 k > 2 m1 ⇒ k > m1 ⇒ s 2 k − s < ε



* n = 2k + 1 > 2m2 + 1 ⇒ k > m2 ⇒ s 2k +1 = s < ε

Vậy ∀ε > 0, ∃N : n > N ⇒ sn − s < ε (đ.p.c.m)

b. Ví dụ

∞



Xét sự hội tụ cua chuỗi đan dấu ∑ (−1) n −1.

n =1



1

n



Giải

un =



1 n→∞

⎯⎯ ⎯

⎯→ 0 và dãy (un ) đơn điệu giảm ⇒ (u n ) hội tụ thưeo Leibnitz

n



và tổng s ≤ u1 = 1

c. Chú ý



Nếu chuỗi (1) thoả Leibnitz và hội tụ về s thì chuỗi



− (u1 − u2 + u3 − u4 + ...) hội tụ về -s

Như vậy nếu các giả thiết của định lý Leibnitz được thoả thì chuỗi đan dấu



± (u1 − u2 + u3 − u4 + ...) hội tụ và tổng s của nó thoả s ≤ u1 .

d. Tính gần đúng tổng của chuỗi đan dấu hội tụ



Nếu chuỗi đan dấu ± (u1 − u2 + u3 − u4 + ...) thoả Leibnitz thì chuỗi phần dư thứ n



u n +1 + u n + 2 + ... cũng hội tụ theo Leibnitz và theo chú ý ở trên ta có: rn ≤ un +1

Theo định lý Leibnitz, ta chỉ biết chuỗi đan dấu hội tụ nhưng không rõ

nhiêu nên nảy sinh vấn đề ước lượng tổng s .

Ta xem s ≈ sn sẽ vấp phải sai số tuyệt đối là: s − sn = rn ≤ un +1

Ví dụ

∞



Trở lại chuỗi ∑ ( −1)

n =1



n −1



1

. , nếu ta xem

n



s ≈ s5 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 ≈ 0,5 + 0.33 − 0,25 + 0,2 ≈ 0,78

2 3 4 5

1

Vấp phải sai số tuyệt đối là r5 ≤ u6 = ≈ 0,167

6

Thông thường ta gặp bài toán ngược lại



138



s bằng bao



“ Phải chọn n tối thiểu bằng bao nhiêu để giá trị gần đúng sn của chuỗi đan dấu chính

xác đến δ ( nghĩa là sai số tuyệt đối không vượt quá δ)’’.

Áp dụng vào ví dụ trên, ta phải chọn n sao cho: r5 ≤ u 6 ≤ δ

Chẳng hạn δ = 0.001 , thế thì n phải thoả



1

1

≤

⇔ n + 1 ≤ 1000 ⇔ n ≥ 999

n + 1 1000



Vậy, n tối thiểu là 999.

6.3.2. Chuỗi có dấu bất kỳ

1. Định lý

∞



∞



Nếu chuỗi số ∑ un hội tụ thì ∑ u hội tụ.

n =1



n =1 n



Chứng minh

∞



∞



Gọi sn và s’n lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi số ∑ u và ∑ un ,

n =1 n



nghĩa là sn = u1 + u 2 + u3 + ...u n và



n =1



sn/ = u1 + u2 + u3 + ... un



∞



Trong chuỗi ∑ u , ký hiệu

n =1 n



s n+ là tổng của tất cả các số hạng dương trong n số hạng đầu tiên

s



−

n



là tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các số hạng âm trong n số hạng đầu tiên. Ta



có

/

+

−

sn = sn+ − sn− và sn = sn + sn

−



−



+

/

+

Rõ ràng ( sn ) v à ( s n ) là những dãy tăng và sn ≤ sn , sn ≤ sn



∞



/



(1)



/

/

Theo giả thiết, chuỗi số ∑ un hội tụ ⇒ s n → s và sn < s ∀n (2)



/



/



n =1



+



−



Từ (1) và (2) ⇒ sn < s ∀n, sn < s ∀n

Suy ra rằng các dãy số



/



/



( sn+ ) và (sn− ) đều hội tụ (vì đều tăng và bị chặn trên.)



Do đó ( sn ) cũng hội tụ.

2. Định nghĩa

∞



∞



Chuỗi số ∑ u được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số ∑ un hội tụ.

n =1 n



n =1



3. Ví dụ



139



sin nx

hội tụ tuyệt đối.

3

n =1 n

∞



∑



Giải

Ta có



sin nx

sin nx

1

=

≤ 3 ∀n

3

3

n

n

n

∞



mà chuỗi số ∑



n =1



1

hội tụ ( Chuỗi Riemann với α = 3 > 1)

n3



4. Chú ý

∞



Điều kiện ∑ u n hội tụ chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần để chuỗi số

n =1



∞



∞



∞



n =1



n =1



∑ un hội tụ. Nghĩa là có trường hợp chuỗi số ∑ un hội tụ nhưng chuỗi số ∑ un phân



n =1



∞



kỳ, ta nói chuỗi số ∑ un bán hội tụ.

n =1



Ví dụ

∞



Chuỗi số ∑ ( −1) n −1.

n =1



∞

1 ∞ 1

1

bán hội tụ vì chuỗi số ∑ (−1) n −1 = ∑ là chuỗi điều hồ phân

n =1

n n =1 n

n



kỳ.

Ví dụ

Xét tính hội tụ của các chuỗi số



sin n

2

n =1 n

∞



1)



∑



Ta có |

2)



sin n

1

| ≤ 2 , do đó chuỗi đã cho hội tụ

2

n

n



+ 1⎞

⎟

∑ (− 1) ⎜

⎝ 3n + 1 ⎠

n ⎛ 2n



n



Ta có

n



| un | =



2n +1



2

→ < 1 =>Chuỗi đã cho hội tụ.

3n +1 3



Chú ý



∑ | u n | phân kỳ thì chưa kết luận chuỗi ∑ u n hội tụ hay phân kỳ. Tuy

nhiên, nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy mà biết được ∑ | u n | phân kỳ thì

∑ u n cũng phân kỳ.

Nếu chuỗi



Thật vậy, từ



140



un +1

> 1 ⇔ un +1 >| un |>| un |> 0, ∀n ≥ n0 > 0 , do đó un khơng dần về 0, tức là un

un

khơng tiến về 0, suy ra chuỗi phân kỳ.

0



Ví dụ

2



en

−

1

(

)

∑

n!

n



u

e( n +1) n !

1 2 n+1

e → +∞ . Do đó chuỗi đã cho phân kỳ.

. n =

Ta có n +1 =

un

( n + 1)! e n + 1

2



2



Trường hợp ∑ | u n



∑ u n được gọi là bán hội



| phân kỳ nhưng ∑ u n hội tụ thì chuỗi



tụ.

Ví dụ

∞



∑ ( −1)

n =1



n −1



1

là bán hội tụ.

n



Bài tập

1) Chứng tỏ rằng các chuỗi số sau bán hội tụ

a)



∞



∑ (−1) n−1

n =1



d)



∞



∑ (−1) n

n =1



n+1

2

n +n+1



b)



2n 2 + 1

n3 + 3



e)



∞



∑ (−1) n−1

n =1

∞



∑ (−1) n

n =1



ln n

n



c)



∞



∑ (−1)



n



n =1



1

2n − 1



f)



∞



∑ (−1)

n =1



2n + 1

n2 + 1

n



n

n +1

2



cos nπ

n =1

n!

∞



2) Cho chuỗi số ∑



a) Chứng tỏ rằng chuỗi số này hội tụ theo Leibnitz, hơn thế nữa nó còn hội tụ tuyệt

đối.

b) Phải chọn n tối thiểu là bao nhiêu để sn là trị gần đúng của tổng của chuỗi với độ

chính xác δ = 0,001

6.4. Chuỗi luỹ thừa

6.4.1. Chuỗi hàm

1. Định nghĩa



Chuỗi hàm là chuỗi



∑u (x) , trong đó các u ( x) là các hàm của x.

n



n



Khi x = xo thì chuỗi hàm trở thành chuỗi số ∑ u n ( x0 ) . Nếu chuỗi số hội tụ thì điểm xo

gọi là điểm hội tụ, nếu nó phân kỳ thì xo gọi là điểm phân kỳ.

- Tập hợp tất cả các điểm x mà chuỗi hàm hội tụ được gọi là miền hội tụ của chuỗi

hàm.



141



n



- sn ( x) = ∑ uk ( x) : gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm.

k =1



- Nếu lim sn ( x) = s( x) thì S(x) gọi là tổng của chuỗi hàm. Trong trường hợp này,

rn ( x ) = s ( x ) − sn ( x ) : gọi là phần dư thứ n của chuỗi hàm. Do đó ta có

rn ( x ) = u n +1 ( x) + u n + 2 + ...

2. Ví dụ

∞



1)



∑ xn



n =0



Chuỗi này hội tụ với mọi x thoả |x| < 1 và có tổng S ( x) =



1

.

1− x



Vậy miền hội tụ của chuỗi trên là X = (-1; 1)

1



2)



∑n



3)



∑n



Ta có



x



có miền hội tụ là X = (1;+∞) (theo kết quả của chuỗi Riemann đã biết)



cos nx

3

+ x2



sin nx

1

1

, ∀x . Mà chuỗi

≤

≤

n3 + x 2 n3 + x 2 n3



∞



1



∑n

n =1



3



hội tụ nên



cos nx

hội tụ, ∀x

3

+ x2



∑n



Vậy miền hội tụ là X = R .

6.4.2. Chuỗi hàm hội tụ đều

1. Định nghĩa



Chuỗi hàm



∑ u n ( x) được goi là hội tụ đều tới hàm S(x) trên X, nếu



∀ε > 0, ∃n0 > 0 : n > n0 ⇒ S ( x ) − S n ( x ) = rn ( x ) < ε , ∀x ∈ X



2. Ví dụ



Chuỗi



∑



(− 1)n

x2 + n



hội tụ với mọi x (theo đlý Leibnitz)



Ta có rn ( x) ≤ un +1 ( x ) =

Như vậy rn ( x ) <



1

1

< ε ,∀ n > −1

n +1

ε



Do đó ∀ε > 0, lấy n0 >

Vậy chuỗi



∑



(− 1)n

x +n

2



1

1

, ∀x ∈ R

<

x + n +1 n +1

2



1



ε



− 1 . Khi đó ∀n ≥ n0 , rn ( x ) < ε , ∀x ∈ R



hội tụ đều trên R .



3. Tiêu chuẩn về sự hội tụ đều



142