Mà chuỗi hội tụ nên chuỗi hội tụ.

Mà chuỗi



1

phân kỳ nên chuỗi

n +1



∞



∑

n=2



∞



∑

n=2



ln n

phân kỳ.

n +1



2. Tiêu chuẩn tương đương

∞



∞



u

Giả sử ∑ un và ∑ vn là 2 chuỗi dương thoả lim n = k

n =1

n =1

n →∞



∞



1) Nếu 0 < k < +∞ thì hai chuỗisố ∑ un và,

n =1



∞



2) Nếu k = 0. và chuỗi số



∑ vn



∞



∑ vn



đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ.



n =1

∞



hội tụ thì



n =1



3) Nếu k = +∞ và chuỗi số



vn



∑ un



n =1



∞



∑ vn



hội tụ.



∞



phân kỳ thì



n =1



∑ u n phân kỳ.



n =1



Chứng minh



un

u

= k ta có ∀ε > 0, ∃n 0 > 0 : ∀n ≥ n 0 ⇒ n − k < ε .

n→∞ v

vn

n



1) Từ lim



un

< ε + k suy ra un < (ε + k )vn , ∀n ≥ n0 .

vn



Do đó



∞



Nếu



∑ vn hội tụ nên chuỗi



n =1

∞



∑u

n =1



n



Nếu



∞



∑ (ε + k )v n hội tụ. Theo định lý ở trên ta suy ra chuỗi

n =1



hội tụ.

∞



∑v



n



n =1



un

= k suy ra

n →∞ v

n



phân kỳ thì ta cũng làm tương tự, tuy nhiên chú ý từ lim

∞



vn 1

1

u n hội tụ thì t suy ra

= . Vì 0 < k < +∞ nên 0 < < +∞ . Do đo nếu chuỗi

n →∞ u

k

k

n

n =1



∑



lim



chuỗi



∞



∑v

n =1



n



hội tụ. Vậy



Vậy 2 chuỗi



∞



∑u

n =1



∞



∑ un ,

n =1



2) Giả sử k = 0 và



∞



∑v



n



n =1



∞



∑v

n =1



n



n



phân kỳ.



đồng hội tụ hoặc phân kỳ.



hội tụ.



129



Khi đó từ giả thiết lim



n →∞



Vì



∞



∑v



n



n =1



hội tụ, nên



∞



∑εv

n =1



n



u

un

= 0 ta có ∀ε > 0, ∃n0 > 0 : n < ε , ∀n ≥ n0 ⇒ un < ε vn , ∀n ≥ n0 .

vn

vn



hội tụ, do đó



∞



∑u

n =1



n



hội tụ.



3) Chứng minh hồn tồn tương tự như mục (2). Giả sử k = +∞ và



∞



∑v

n =1



n



phân kỳ. Từ



un

v

= +∞ suy ra lim n = 0 .

n →∞ v

n →∞ u

n

n



lim



∞



∑ u n phân kỳ, vì nếu



Do đó



n =1



∞



∞



∑ u n hội tụ thì theo (ii) suy ra ∑ vn hội tụ mâu thuẫn.



n =1



n =1



Chú ý

Thường ta so sánh với chuỗi số quan trọng chuỗi cấp số nhân và chuỗi điều hồ.

Ví dụ

Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:

1)



2n + n 2 + 1

∑

n

n =1 5 + 2n + 2

∞



2n + n 2 + 1

Ta có un = n

> 0 , với mọi n ≥ 1 . Ta sẽ so sánh với chuỗi số

5 + 2n + 2

hội tụ.



Dễ thấy rằng

lim



n→∞



2)



un

= 1 , do đó chuỗi số đã cho hội tụ.

vn

∞



ln n



n =1



n



∑



Ta có un =

Mà chuỗi



ln n

1

≥

, với mọi n ≥ 3 .

n

n



∞



∑

n =1



3)



∞



∑n

n =1



2



3n + 1

n +n+2



Ta có un =



130



1

phân kỳ ( ví dụ ở trên), nên chuỗi đã cho phân kỳ.

n



3n + 1

> 0 , với mọi n ≥ 1 .

n2 n + n + 2



∞

2

( )n

v

=

∑

∑

n

n =1

n =1 5

∞



1



u

> 0 . Ta có. Do lim n = 3 chuỗi

Chọn vn =

n→∞ v

n n

n



∞



∑ v n hội tụ, nên ∑ n

n =1



∞



n =1



n +1

3



+n+2



hội



tụ.

/



3. Tiêu chuẩn D Alembert

/



a. Định lý D Alembert

∞



Nếu chuỗi số dương ∑ un thoả nLim

→∞

n =1



∞

u n +1

= D thì chuỗi số ∑ un sẽ hội tụ khi D < 1 và

n =1

un



phân kỳ khi D > 1

∞



Khi D = 1 Chuỗi số dương ∑ un có thể hội tụ hoặc phân kỳ.

n =1



∞



Khi D = + ∞ chuỗi số dương ∑ un phân kỳ.

n =1



Chứng minh:



*



D <1



1 - D > 0 Chọn ε < 1− D ⇒ D + ε <1



un+1

u

= D ⇒ ∃ n0 : n > n0 ⇒ n+1 − D < ε

n → +∞ u

un

n

lim



⇒ u n +1 < ( D + ε )u n



∀ n > n0



n = n0 + 1 : un0 + 2 < ( D + ε )un0 +1



n = n0 + 2 : un0 + 3 < ( D + ε )un0 + 2 < ( D + ε )2 un0 +1



n = n0 + k : un0 + k +1 < ( D + ε )k un0 +1 ...

∞



k

Mà chuỗi số ∑ ( D + ε ) un0 +1 hội tụ do 0 < D + ε < 1

k =0



∞



∞



n = n0 +1



n =1



⇒ Chuỗi số ∑ u n hội tụ ⇒ Chuỗi số ∑ u n hội tụ.



* D >1

Chọn ε = D − 1 hay D − ε = 1

u n +1

u

= D ⇒ ∃ n0 : n > n0 ⇒ n +1 − D < ε

n → +∞ u

un

n

Lim



⇒



u n +1

> D − ε = 1 ∀n > n 0 ⇒ un +1 > un ∀n > n0 ⇒ Lim un ≠ 0

n →∞

un



131



∞



⇒ chuỗi số dương



∑ un phân kỳ.



n =1



* Khi D = +∞ : Với M=1, ∃N : n > N ⇒

→∞

⇒ un ⎯n⎯

⎯→ 0 ⇒ chuỗi số dương



u n +1

> 1 ⇒ un + `1 > un ∀n > N

un



∞



∑ un phân kỳ.



n =1



b. Ví dụ



Xét sự hội tụ của các chuỗi sau



(n + 1)! ∞

= ∑ un

∑

2n

n =1

n =1

∞



1)



un +1

(n + 2)

2n

n+2

= lim [ n +1 ×

] = lim

=∞

n →∞ u

n →∞

n

→∞

2

(

+

1)!

2

n

n



lim



( n + 1)!

phân kỳ.

n =1

2n

∞



⇒ Chuỗi số ∑

∞



∑



2)



n =1



∞

n

=

∑ un

5 n n =1



∞ n

⎡ n + 1 5n ⎤

un+1

n +1 1

= lim ⎢ n+1 . ⎥ = lim

= < 1 ⇒ Chuỗi số ∑ n hội tụ.

n →∞ u

n →∞ 5

n =1 5

5

n ⎦ n→∞ 5n

⎣

n



lim



3)



2n

∑

n =1 n !

∞



2n

2n +1

. Do đó

Ta có un = , un +1 =

(n + 1)!

n!



un +1

2

=

→ 0 , khi n → ∞ . Vậy chuỗi đã cho hội tụ.

un

n +1

4)



n3 − n 2 + 1

∑

n

n =1 2 + 3n + ln n

∞



n3 − n 2 + 1

n3

Ta có un = n

= vn

~

2 + 3n + ln n 2 n

v n +1 (n + 1) 3 2 n

1

=

. 3 → <1 .

n +1

vn

2

n

2

∞



Do đó chuỗi



∑ v n hội tụ

n =1



Chú ý



132



Khi D = 1 thì chưa có kết luận gì, nghĩa là chuỗi đó có thể hội tụ, cũng có thể là phân

kỳ.

Chẳng hạn, xét chuỗi



∞



e n n!



n =1



nn



∑



n



1⎞

⎛

e

Ta có u n +1 =

→ 1 khi n → ∞ . Vì ⎜1 + ⎟ < e với mọi n ≥ 1 nên un +1 > un ,

n

n⎠

⎝

un

1⎞

⎛

+

1

⎜

⎟

n⎠

⎝



với mọi n ≥ 1. Đặc biệt un ≥ u1 = e , suy ra lim un ≥ e . Do vậy chuỗi



∞



e n n!



n =1



nn



∑



phân kỳ.



Vậy chuỗi đã cho hội tụ.

4. Tiêu chuẩn Cauchy



Cho chuỗi số dương



∞



n u

n

∑ u n . Giả sử nlim

→∞



= L . Khi đó



n =1



∞



1) Nếu L < 1 thì



∑ un



hội tụ;



n =1

∞



2) Nếu L > 1 thì



∑ un



phân kỳ.



n =1



Chứng minh:

Giả sử: lim n u n = L .

n →∞



- Khi L < 1. Lấy r sao cho L < r < 1. Khi đó ∃ n0 > 0 : n un < r , ∀n ≥ n0 , nghĩa là

∞



u n < r , ∀n ≥ n 0 . Vì chuỗi

n



∑r



n



∞



hội tụ nên chuỗi



- Khi L > 1. Ta có



∑ u n hội tụ.

n =1



n = n0



∃n0 > 0 : n u n > 1, ∀n ≥ n0 , tức là u n > 1, ∀n ≥ n0 . Do đó u n



không dần về 0 khi n → ∞ . Vậy chuỗi



∞



∑ un



phân kỳ .



n =1



Chú ý

Khi L = 1 thì chưa có kết luận gì, nghĩa là chuỗi đó có thể hội tụ, cũng có thể là phân

kỳ.

Ví dụ

Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:



133



n



2

⎛ 2n + 1 ⎞

1) ∑ ⎜

⎟ hội tụ, vì l = < 1

3

n =1 ⎝ 3n + 2 ⎠

∞



⎛ n +1⎞

2) ∑ ⎜

⎟

n ⎠

n =1 ⎝

∞



n2



phân kỳ, l = e > 1



5. Tiêu chuẩn tích phân Cauchy

a. Định lý

∞



∑un . Đặt hàm số f(x) thỏa



Xét chuỗi số dương



n=1



f (n) = u n , ∀n ≥ 1



Giả sử hàm f(x) đó liên tục, dương, giảm trên [1;+∞ ) .

Khi đó chuỗi



∞



+∞



n =1



1



∑ u n hội tụ ⇔



∫ f ( x)dx



hội tụ.



Chứng minh:

Theo giả thiết, ta có với mọi k, hàm f(x) giảm trên đoạn [k, k+1] nên



u k +1 = f ( k + 1) ≤ f ( x ) ≤ f ( k ) = u k , ∀x ∈ [ k , k + 1] , theo định lý trung bình tích

phân ta có uk +1 ≤



k +1



∫



f ( x)dx ≤ uk . Do đó với mọi k nên ta có



k



2



3



1



2



u 2 ≤ ∫ f ( x)dx ≤ u1 , u 3 ≤ ∫ f ( x)dx ≤ u 2 , ..., u n ≤



n



∫ f ( x)dx ≤ u n−1 ,



n −1



Suy ra:

2



3



1



2



u2 + u3 + ... + un ≤ ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x) dx + ... +



n



∫



n −1



n



f ( x) dx = ∫ f ( x) dx

1



≤ u1 + u 2 + ... + u n −1

Do đó:

n



sn − u1 ≤ ∫ f ( x)dx ≤ sn −1

1



n



Đặt I n = ∫ f ( x)dx . Ta có, sn − u1 ≤ I n , I n ≤ sn −1



(*)



1



( ⇒ ? ) Giả sử chuỗi



∞



∑ u n hội tụ.

n =1



Theo định lý mục 2, suy ra dãy tổng riêng (sn-1) bị chặn. Do đó từ bất đẳng thức (*)

suy ra dãy {I n } cũng bị chặn. Hơn nữa lim I n dễ thấy dãy {I n } tăng. Do vậy tồn tại, do

n→∞



134



+∞



đó



∫ f ( x)dx hội tụ.

1



+∞



(? ⇐ ) Giả sử



∫ f ( x)dx hội tụ. Khi đó {I n } bị chặn. Từ bất đẳng thức (*) suy ra {S }

n



1



bị chặn, cho nên chuỗi



∞



∑u

n =1



hội tụ.



n



b. Ví dụ

1



∞



∑ nα , α ∈ R



1) Xét sự hội tụ của chuỗi



(chuỗi Riemann)



n =1



- Nếu α > 0 : đặt f ( x) =



1

. Kiểm tra thấy f ( x) thoả tất cả các điều kiện của định lý.

xα

+∞



Ta biết rằng tích phân suy rộng



∫

1



- Nếu α ≤ 0 thì lim un = lim

Vậy chuỗi



∞



1



∑ nα , α ∈ R



1

dx hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1

xα



1

≠0

nα



hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1



n =1



∞



2)



ln n



∑3

n =1



n2



Ta có un =



ln n

3



n2



≥



1

3



n2



, với mọi n ≥ 3 . Mà chuỗi



phân kỳ.

3)



∞



∑



1



2

n =1

n3



phân kỳ, nên chuỗi đã cho



∞ 3



n4 −1

∑

n =1 n n + 1

Ta có



3



4



n −1

~

n n +1



4

n3

1

n.n 2



1

= 1 . Vì chuỗi

n6



∞



∑



n =1



1

1

n6



phân kỳ, nên chuỗi



∞ 3



n 4 − 1 phân kỳ.

∑

n =1 n n + 1



ln n

n =3 n

∞



4) ∑



Giải

Dùng tiêu chuẩn tích phân, xét hàm số f ( x) =



ln x

x



135