III. Ueber den Werth räumlicher Anschauung.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (486.82 KB, 198 trang )
Ganz anders stellt sich aber, die Frage
nach dem Werthe der räumlichen
Anschauung überhaupt. Ich stelle
denselben als etwas selbständiges hin. Es
gibt eine eigentliche Geometrie, die nicht,
wie die im Texte besprochenen
Untersuchungen, nur eine veranschaulichte
Form abstracterer Untersuchungen sein
will. In ihr gilt es, die räumlichen Figuren
nach ihrer vollen gestaltlichen
Wirklichkeit aufzufassen und (was die
mathematische Seite ist) die für sie
geltenden Beziehungen als evidente
Folgen der Grundsätze räumlicher
Anschauung zu verstehen. Ein Modell —
mag es nun ausgeführt und angeschaut oder
nur lebhaft vorgestellt sein — ist für diese
Geometrie nicht ein Mittel zum Zwecke
sondern die Sache selbst.
Wenn wir so, neben und unabhängig von
der reinen Mathematik, Geometrie als
etwas Selbständiges hinstellen, so ist das
an und für sich gewiss nichts Neues. Es ist
aber wünschenswerth, diesen
Gesichtspunct ausdrücklich einmal wieder
hervorzuheben, da die neuere Forschung
ihn fast ganz übergeht. Hiermit hängt
zusammen, dass umgekehrt die neuere
Forschung selten dazu verwendet wurde,
wenn es galt, gestaltliche Verhältnisse
räumlicher Erzeugnisse zu beherrschen,
und doch scheint sie gerade in dieser
Richtung sehr fruchtbar.
IV. Ueber
Mannigfaltigkeiten von
beliebig vielen
Dimensionen.
Dass der Raum, als Ort für Puncte
aufgefasst, nur drei Dimensionen hat,
braucht vom mathematischen Standpuncte
aus nicht discutirt zu werden; ebenso
wenig kann man aber vom mathematischen
Standpuncte aus Jemanden hindern, zu
behaupten, der Raum habe eigentlich vier,
oder unbegränzt viele Dimensionen, wir
seien aber nur im Stande, drei
wahrzunehmen. Die Theorie der mehrfach
ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, wie sie
je länger je mehr in den Vordergrund
neuerer mathematischer Forschung tritt,
ist, ihrem Wesen nach, von einer solchen
Behauptung vollkommen unabhängig. Es
hat sich in ihr aber eine Redeweise
eingebürgert, die allerdings dieser
Vorstellung entflossen ist. Man spricht,
statt von den Individuen einer
Mannigfaltigkeit, von den Puncten eines
höheren Raumes etc. An und für sich hat
diese Redeweise manches Gute, insofern
sie durch Erinnern an die geometrischen
Anschauungen das Verständniss
erleichtert. Sie hat aber die nachtheilige
Folge gehabt, dass in ausgedehnten
Kreisen die Untersuchungen über
Mannigfaltigkeiten mit beliebig vielen
Dimensionen als solidarisch erachtet
