c) Do và đồng dạng nên . Khi đó khác 0 khi và chỉ khi khác 0. Do đó khả nghịch khi và chỉ khi khả nghich.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.85 MB, 86 trang )
Sinh viên cho ví dụ minh họa.
3) Chứng minh rằng nếu một trong hai ma trận vuông cùng cấp A và B là không suy biến
thì AB và BA đồng dạng.
4) Hãy tìm tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường số thực mà chỉ đồng dạng với chính
nó.
5) Chứng minh các cặp ma trận sau đồng dạng bằng cách chứng minh rằng A I đồng
dạng với B I :
3 2 5
6 20 34
2 6 10 và B 6 32 51
a) A
1 2 3
4 20 32
6 6 15
37 20 4
1 5 5 và B 34 17 4
b) A
1 2 2
119 70 11
6) Chứng minh rằng:
a) Mọi ma trận vuông phức A đều đồng dạng với một ma trận Jordan J (sự đồng dạng này
là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các ô Jordan.
b) Mọi toán tử tuyến tính f trên không gian phức n chiều V đều có cơ sở Jordan, tức là cơ
sở của V mà trong đó ma trận của f đối với cơ sở này là ma trận Jordan.
7) Chứng minh rằng:
a) Nếu V là không gian vector trên trường số phức thì mọi phép biến đổi tuyến tính của
V đều có ít nhất một không gian con bất biến 1 chiều.
b) Nếu V là không gian vector trên trường số thực thì mọi phép biến đổi tuyến tính của
V đều có ít nhất một không gian con bất biến hoặc 1 chiều hoặc 2 chiều.
9.1 Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu:
a/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau.
b/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau.
c/ Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng
(hay các cột) còn lại của định thức.
9.2 Chứng minh rằng: Trong một định thức, tổng các tích của các phần tử của một
dòng (hoặc một cột) với phần bù đại số của các phần tử tương ứng của một dòng
(hoặc cột) khác đều bằng 0.
9.3 Giả sử A (aij ) nn , A 1 , A 2 ,, A n là các cột của A. Chứng minh rằng: detA 0
hệ véc tơ A 1 , A 2 ,, A n là hệ véc tơ độc lập tuyến tính.
9.4 Chứng minh rằng: các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên một ma trận không
là thay đổi hạng của ma trận đó.
9.5 Cho A aij mn , B là ma trận vuông không suy biến cấp m. Chứng minh rằng
rankB . A rankA.
Còn nếu A aij mn , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rankA.B rankA . Còn
nếu A aij
nn
, B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rankA.B rankB.A rankA .
9.6 Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n có A .B B.A thì:
a/ (A B) 2 A 2 2A .B B2 ; b/ (A B)(A B) A 2 B2 ;
c/ (A B) 3 A 3 3A 2 .B 3A .B2 B3
9.7 Chứng minh rằng: Nếu ma trận vuông A có A 2 thì các ma trận
A E vµ A E là những ma trận không suy biến.
9.8 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:
a/ Đổi dấu tất cả các phần tử của nó.
b/ Viết các cột (hay các dòng của nó) theo thứ tự ngược lại.
9.9 Cho A là ma trận vuông cấp n và nếu detA det(kA ) . Hãy tính k.
9.12 Chứng minh rằng: Nếu detA 2 thì các phần tử của ma trận nghịch đảo
không thể gồm toàn các số nguyên.
1 2
4 5
7 0
3 1; B 0 2 ; C 4 9
9.16 Cho các ma trận A
2 3
1 4
2 8
Hãy tính a/ 3A 2B ; b/ 5A 4B 2C
5 2
9.17 Cho A 7 4 ; B 3 1 Tìm A A C và B BC .
2 5
1 3
1 3
4 3
5 1; B 2 1 . Tìm X biết a/ 2A 3X B; b/ 3A 2 X ;
9.18 Cho A
3 1
1 2
3
9.19 Tính: a/ A4 với A 0 1 ;
0 0
b/ B3 với B cosa sina
sina cosa
9.20 Chứng minh rằng: ma trận X a b thoả mãn phương trình:
c d
X 2 (a d)X (ad bc)E , trong đó E 1 0 ; 0 0
0 1
0 0
9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho
AB BA E , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B.
f
9.22 Cho X 1 0. TÝnh (X ) X 2 4X 3E , trong đó E 1 0 .
2 3
0 1
9.23 Cho A 1 2 ; B 2 1 vµ f (X ) X 3 3X 2 5X E . Tính f(AB).
2 3
3 4
1 0 0
9.24 Chứng minh rằng: ma trận X 0 1 0 là nghiệm của đa thức
0 0 3
f ( X ) X 3 X 2 9X 9E .
1 2 0
9.25 Tìm (f(A))2 nếu A 0 1 2 và f (X ) X E .
1 0 3
Giải các phương trình sau:
9.26 det 2 3 x 0 ;
4 x 3
2 3 1
9.27 det x 1 2 det 2 / 3 1 .
31/ 3 2
1 3 x
6 12 x 2
9.28 det 8 4 x 0 0 .
x 3 0
0
9.29 Cho a1, a2, …, an–1 là các hằng số tuỳ ý cho trước, khác nhau và khác 0. Giải
phương trình:
x
a1
det a2
. . .
an1
x2
2
a1
a2
2
...
a2 1
n
x3
3
a1
a3
2
...
a3 1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xn
n
a1
n
a2 0
. . .
an
1
1
9.30 Tính các định thức sau: a/ D 1
1
1
b/ D
( 1) 2
( 1) 2
( 1) 2
( 1) 2
( 1) 2
( 2) 2
( 2) 2
( 2) 2
( 2) 2
( 2) 2
( 3)2
( 3)2
( 3) 2
( 3) 2
( 3) 2
a x
x
x
x b x x
x
x
c x
1 1
1
1 1 x
1
9.31 Giải phương trình: 1 1 2 x
. . . . . . .
1 1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
1
0
.
1
. . . . . .
. (n 1) x
Sử dụng tính các chất của định thức, tính các định thức từ bài 32 đến bài 36:
9.32 D 1273 2273
1272 2272
461 373 654
9.33 a/ D 2 2 2 ;
363 275 556
3
1
9.34 a/ D
4
2
7
9
4
1
6
2
8
4
2
1 ;
3
5
0
1
1
b/ D n
.
1
1
a0
a1
a
b/ D n1 2
...
an1
an
1
0
x
.
x
x
1
x
0
. .
0
0
1
x
0
.
x
x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
x
. .
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
x
x
.
0
x
1
x
x
.
x
0
.
.
.
.
.
.
0
0
0
.
x
0
0
0
0
. .
1
x
2
9.35 D 3
4
2
3
4
6
3
4
5
8
7
5
6 ;
10
8
1
2
3
9.36 a/ D n
4
.
n
2
2
3
4
.
n
3
3
3
4
.
n
4
4
4
4
.
n
.
.
.
.
.
.
1
2
2
c/ D n
2
.
2
2
2
2
4
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
.
2
.
n
2
2
2
2
.
2
2
2
3
2
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
n
n
; b/ D5
n
.
n
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
0
0
0
9.37 Cho ma trận A cấp 10 10 có dạng: A
0
1010
2
2
2
4
2
2
2
2 ;
2
5
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
, các phần tử
0 1
0 0
dạng a10,1 1010 ; ak , k 1 1 k 1,9 ; E là ma trận đơn vị cấp 10. Chứng minh rằng:
det(A E) 10 1010 .
9.38 a/ Dùng công thức khai triển định thức, tính các định thức sau:
3
0
a/ D 0
1
0
1
0
2
5
2
2
3
1
3
3
1
2
0
0
0
1
2
0 ; b/ D
0
0
1
3
0
0
0
0
2
4
0
0
0
0
0
0
2
6
0
0
0
5
1
1
0
0
0
0
5
6
9
1
2
3
1
8
10
2
5 1 3
9.39 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A 1 2 1
1 3 2
9.40 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận:
1
a/ A 2
1
1
2
5
4
3
1
1
2
3
1 1
0
0 1
2 ; b/ B 0 0
1
0 0
4
0 0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
3 1 2
1 ; c/ C 2 4 1 ;
1 2 2
1
1
9.41 Giải phương trình ma trận: a/ AX B
2 1 3
3 6
1 2 1 ; B 2 2
Với A
1 3 2
1 0
3 1 2
9 4 15
2 6 3
b/ AX B C với A 1 1 1 ; B 3 3 4 ; C 3 1 1 .
2 0 1
0 3 9
1 1 2
1
0
c/ AX B với A 0
.
0
1
1
0
.
0
1
1
1
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1 2
0 1
1
1 ; B 0 0
.
. .
0 0
1
3
2
1
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. n
. n 1
. n 2
. . . .
. 1
9.42 Với giá trị nào của thì các ma trận sau có ma trận nghịch đảo:
1 2 2
2 0
1 5 4
2 1
a/ A 3 0 ; b/ A 2 1 ; c/ A 3 1 ; d/ A 2 1 .
1 3
3 2
2 1 1
0 1
9.43 Dùng phương pháp định thức bao quanh, tìm hạng của ma trận:
1
1
a/ A 2
1
0
2
3
4
7
10
3
0
1
6
1
4
1
8 ;
9
10
1
0
B 0
0
1
1
1
2
0
0
3
3
2
1
3
0
6
3
3
2
3
4
12
5
1
2
3
0
2
1
9.44 Dùng các phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận:
1
A 2
1
3
2
1
3
3
1
1
2
2
1
2
1
3
1
4;
1
1
1
1
B 3
0
2
4
2
1
3
1
5
1
2
3
1
3
1
2
3
3
1
0
1
3
2
9.45 Chứng minh rằng một ma trận có hạng bằng r bao giờ cũng viết được thành
tổng của r ma trận có hạng bằng 1.
9.46 Cho hai ma trận cùng cấp A và B, chứng minh rằng rank(A B) rankA rankB .
9.47 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ
a/ A 1 (1,0, 3,1); A 2 (1, 2,1,3); A 3 (2,1,1, 1); A 4 (4, 3,3,5)
b/ B1 (1,0, 3,2); B2 (1, 2,1,0); B3 (2,0,1, 1); B4 (2, 3,3,1)
9.48 a/ Cho hệ véc tơ A 1 (2,3,5); A 2 (3,7,8); A 3 (1, 6, ); X (1,3,5) .
Tìm giá trị của để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A 1, A 2 , A 3 .
b/ Cho hệ véc tơ
A 1 (6,7,3, 2);A 2 (1,3,2,7);A 3 (4,18,10,3);X (1,8,5, )
Tìm giá trị của để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A 1, A 2 , A 3 .
c/ Cho hệ véc tơ A 1 (1, 1,a); A 2 (3,2,2); A 3 (4,3,1); C (2,1,3) .
Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A 1, A 2 , A 3 .
d/ Cho hệ véc tơ A 1 (4,5,3, 1);A 2 (1, 7,2, 3);A 3 ( 4,1, 1,3);C ( 2,8,a,4)
Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ A 1 , A 2 , A 3 .
9.49 Tìm hạng và một cơ sở của hệ véc tơ sau, biểu diễn các véc tơ còn lại theo cơ sở đó:
a/ A 1 (1,2, 1,3); A 2 (0,3, 3,7); A 3 (7,5,2,0); A 4 (2,1,1, 1)
b/ A 1 (2,1,1,3,5); A 2 (1,2,1,1,3); A 3 (7,1,6,0,4); A 4 (3,4,4,1,2);
A 5 (3,1,3,2,1)
9.50 Cho A 1,A 2 , ,A m là hệ m véc tơ n chiều độc lập tuyến tính. Nếu mỗi véc
tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n 1 thì hệ m véc tơ n 1 chiều mới là
độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
9.51 Cho A 1,A 2 , ,A m là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính. Nếu mỗi véc tơ
của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ n 1 chiều mới là độc lập tuyến tính
hay phụ thuộc tuyến tính?
Giải
n
9.2: Chứng minh:
akj A ij
j 1
.
chính là công thức khai triển theo dòng i của định thức:
a11
a21
...
ak1
...
ak1
...
a12
a22
...
ak2
...
ak2
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a1n
a2n
...
akn
...
akn
...
(*1)
dòng i
dòng k
trong đó n 2 . Mà định thức (*1) có hai dòng giống nhau nên định thức bằng không
n
akj A ij 0
j 1
9.3 Điều kiện cần: Cho A aij nn có detA 0 , ta cần chứng minh hệ véc tơ dòng
(hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính. Giả sử ngược lại hệ véc tơ dòng (hoặc cột)
của ma trận là phụ thuộc tuyến tính, theo hệ quả 9.3.5 thì detA 0 , mâu thuẫn với giả
thiết. Mâu thuẫn đó chứng tỏ hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính.
– Điều kiện đủ: Giả sử hệ n véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính, theo
định nghĩa của hạng của hệ véc tơ thì rank A 1 , A 2 ,..., A n n , theo định lý 9.5.1 thì
□
rankA n , theo định nghĩa hạng của ma trận thì detA 0 .
9.5 Do B là ma trận không suy biến nên tồn tại B1 . Xét ma trận ghép A B1 ,
nhân vào bên trái của ma trận này với B, ta được B . A B1 B.A B.B1 B.A E . Đó
chính là phép khử toàn phần thực hiện trên ma trận B1 nó là các phép biến đổi sơ
cấp thực hiện trên ma trận A để được B.A rankB . A rankA.
Để chứng minh rankA.B rankA, ta lấy chuyển vị B , (B1) vµ A aji nm . Xét ma trận
A (B1), nhân vào bên
B. A (B1) BA B.(B1) (AB) E
ghép
trái của ma trận này với
B , ta được
(vì B.(B1) (B1.B) E ). Như vậy từ ma trận A,
nhờ các phép chuyển vị và các phép biến đổi sơ cấp, ta đã thu được ma trận A.B
□
rankA.B rankA
9.7 Ta có det A E A E det A E det A E
(*1)
Vì AE EA nên det A E A E det A 2 E2 , do A 2 nên
det A 2 E2 det E2 (1)n 0 det A E 0 và det A E 0 các ma
trận A E và A E là những ma trận không suy biến.
9.8 a/ Việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n đồng nghĩa với việc đổi
dấu tất cả n dòng của định thức. Ta đã biết việc đổi dấu các phần tử trên một dòng
của định thức làm cho định thức đổi dấu. Vì vậy việc đổi dấu tất cả các phần tử của
định thức cấp n làm cho định thức được nhân với (1)n .
b/ Đối với định thức cấp chẵn ( n 2k ) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó)
theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k cho
nhau; dòng 2 và dòng 2k 1 cho nhau; … dòng k và dòng k 1 . Ta cũng đã biết: khi
đổi chỗ 2 dòng nào đó cho nhau thì định thức đổi dấu. Do đó khi viết các dòng của
định thức cấp 2k theo thứ tự ngược lại, định thức được nhân với (1) k . Chẳng hạn
khi làm như vậy đối với định thức cấp 2 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 4
thì định thức không đổi dấu.
Đối với định thức cấp lẻ ( n 2k 1) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo
thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k 1 cho
nhau; dòng 2 và dòng 2k cho nhau; … dòng k và dòng k 2 . Do đó khi viết các dòng
của định thức cấp 2k 1 theo thứ tự ngược lại, định thức cũng được nhân với (1) k .
Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 3 thì định thức đổi dấu, còn với định
thức cấp 5 thì định thức không đổi dấu.
Như vậy khi viết các dòng (hay các cột) của định thức theo thứ tự ngược lại thì các
định thức cấp 4k và 4k 1 không thay đổi, các định thức cấp 4k 1 vµ 4k 2 sẽ
đổi dấu (k nguyên dương).
9.9 Vì det(kA) k n det A nên k n det A det A . Nếu det A 0 thì det(kA) det A
đúng với mọi k. Còn nếu det A 0 thì k n 1 k 1 nếu n lẻ; k 1 nếu n chẵn.
9.10 Chứng minh rằng: Nếu A A 1 thì A 2n E; A 2n1 A n 0,1, 2, 3,
Từ giả thiết A A 1 A 2 A 1A E A 2n En E n nguyên dương
A 2n1 A n nguyên dương.
□
9.11 Chứng minh rằng: Nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thoả mãn AB BA
và detA 0 thì A 1B BA 1 .
A 1B A 1BAA 1 A 1ABA 1 BA 1 .
□
9.12 Chứng minh rằng: Nếu detA 2 thì các phần tử của ma trận nghịch đảo
không thể gồm toàn các số nguyên.
Do det A 2 0 tồn tại ma trận nghịch đảo A 1 A.A 1 E
(det A).(det A 1 ) det(A.A 1 ) det E 1 vì detA 2 det A 1 1 A 1 không thể
2
toàn các số nguyên.
9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho
AB BA E , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B.
Từ sự tồn tại của các ma trận AB và BA kéo theo A và B là các ma trận vuông cùng cấp.
Giả sử A aij nn ; B bij nn ; AB cij nn ; BA dij nn . Gọi VABBA là tổng các
n
phần tử trên đường chéo chính của ma trận AB BA VABBA (cii dii )
1
n
n
n
n
n
n n
aik bki bik aki aik bki aki bik 0 . Trong khi đó tổng các phần
i 1 k 1
k 1 i
i 1 k 1
k 1
tử trên đường chéo chính của ma trận đơn vị E là VE n . Vậy không tồn tại các ma
trận vuông cùng cấp A và B sao cho AB BA E .
x x2 x3 . . . x n
2
3
n
a
a1 a1 . . . a1
1
n
9.29 Phương trình det a2 a2 a3 . . . a2 0 (với điều kiện a1, a2, …, an–1
2
2
. . . . . . . . . . . . . . .
2
3
n
a
n1 an1 an1 . . . an1
là các hằng số khác nhau và khác 0) là phương trình bậc n nên nó có tối đa là n
nghiệm. Dễ dàng thấy x1 0, x 2 a1, x 3 a2 , , x n an1 là n nghiệm khác nhau của
phương trình, vì vậy nó chỉ có các nghiệm ấy mà thôi
1
1
9.30 a/ D 1
1
1
( 1)2
( 1)2
( 1)2
( 1)2
( 1)2
( 2)2
( 2)2
( 2)2
( 2)2
( 2)2
□
( 3)2
( 3)2
( 3)2
( 3)2
( 3)2
1 2 2 1 ( 2)2 ( 3)2 1 2 ( 2)2 ( 3)2
1 2 2 1 ( 2)2 ( 3)2 1 2 ( 2)2 ( 3)2
1 2 2 1 ( 2)2 ( 3)2 = 1 2 ( 2)2 ( 3)2 vì định thức (2)
1 2 2 1 ( 2)2 ( 3)2 1 2 ( 2)2 ( 3)2
1 2 2 1 ( 2)2 ( 3)2 1 2 ( 2)2 ( 3)2
(2)
(3)
có được từ định thức (3) bằng cách cộng vào cột 3 một tổ hợp tuyến tính của 2 cột đầu.
1
1
D 1
1
1
2
2
2
2
2
( 2)2
( 2)2
( 2)2
( 2)2
( 2)2
( 3)2 1 2 2 4 4 ( 3)2
( 3)2 1 2 2 4 4 ( 3)2
( 3)2 1 2 2 4 4 ( 3)2 0 Vì định
( 3)2 1 2 2 4 4 ( 3)2
( 3)2 1 2 2 4 4 ( 3)2
(5)
thức (5) có cột 4 bằng tổ hợp tuyến tính của 3 cột đầu.
b/ Nếu abcx 0 :
a x
x
x
1 x
x
1 x
x
D x b x x a0 b x x x 1 b x x
x
x
c x
0 x
c x
1 x
c x
1 0 x
1 1 x
1 0 x
1 1 x
ab 0 1 x ax 0 1 x xb 1 1 x x 2 1 1 x . Vì định thức cuối
0 0 c x
0 1 c x
1 0 c x
1 1 c x
cùng có hai cột giống nhau nên nó bằng 0. Định thức đầu tiên là định thức của ma
1 0 x
trận tam giác nên ab 0 1 x ab(c x) abc abx . Lại tách hai định thức giữa
0 0 c x
theo cột cuối, mỗi định thức thành hai định thức, ta được:
1 1 0
1 1 1
1 0 0
1 0 1
D abc abx acx 0 1 0 ax 2 0 1 1 xbc 1 1 0 x 2b 1 1 1 , ở đây lại thấy
0 1 1
0 1 1
1 0 1
1 0 1
1 1 1
1 0 1
1 1 0
1 0 0
0 1 1 0 ; 1 1 1 0 (có hai cột giống nhau); 0 1 0 1; 1 1 0 1
0 1 1
1 0 1
0 1 1
1 0 1
D abc abx acx xbc
1 0 x
Nếu chẳng hạn a 0 thì D xb 1 1 x bcx .
1 0 c x
a 0 0
Nếu x 0 thì D 0 b 0 abc . (Đáp số trong sách sai)
0 0 c
1 1
1
1 1 x
1
9.31 Phương trình: 1 1 2 x
. . . . . . .
1 1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
1
0 là phương trình bậc n 1
.
1
. . . . . .
. (n 1) x
nên nó có không quá n 1 nghiệm khác nhau. Nhưng dễ thấy phương trình có n 1
nghiệm khác nhau là x1 0; x 2 1; . . . ; x n1 n 2 phương trình chỉ có các
nghiệm đó mà thôi (Đáp số trong sách bài tập thiếu nghiệm – không điểm)
□
